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1、1第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布章末复习章末复习学习目标 1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念.2.理解离散型随机变量及分布列，并掌握两个特殊的分布列二项分布和超几何分布.3.理解离散型随机变量的均值、方差的概念，并能应用其解决一些简单的实际问题.4.了解正态分布曲线特点及曲线所表示的意义1离散型随机变量的分布列(1)如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量；所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量(2)若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，xi，xn，X取每一个值xi(i1,2，n)的概率P(Xxi)pi，则称表Xx1x2xix
2、nPp1p2pipn为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，具有性质：pi 0，i1,2，n；pi1.ni1离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和2两点分布如果随机变量X的分布列为X10Ppq其中 00)PABPA在古典概型中，若用n(A)表示事件A中基本事件的个数，则P(B|A).nABnA(2)条件概率具有的性质：0P(B|A)1；如果B和C是两个互斥事件，则P(BC|A)P(B|A)P(C|A)5相互独立事件(1)对于事件A，B，若A的发生与B的发生互不影响，则称A，B是相互独立事件(2)若A与B相互独立，则P(B|A)P(B)，P(AB)P(B
3、|A)P(A)P(A)P(B)(3)若A与B相互独立，则A与 ， 与B， 与 也都相互独立BAAB(4)若P(AB)P(A)P(B)，则A与B相互独立6二项分布(1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的(2)在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(Xk)Cpk(1p)nk(k0,1,2，n)，此时称随机变量X服从二项分布，k n记为XB(n，p)，并称p为成功概率7离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量X的分布列为
4、Xx1x2xixn3Pp1p2pipn(1)均值称E(X)x1p1x2p2xipixnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平(2)方差称D(X) (xiE(X)2pi为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的ni1平均偏离程度，其算术平方根为随机变量X的标准差DX(3)均值与方差的性质E(aXb)aE(X)b.D(aXb)a2D(X)(a，b为常数)(4)两点分布与二项分布的均值、方差若X服从两点分布，则E(X)p，D(X)p(1p)若XB(n，p)，则E(X)np，D(X)np(1p)8正态分布(1)正态曲线：函数，(x)22() 2ex ，x(
5、，)，其中和为参数12(0，R R)我们称函数，(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线(2)正态曲线的性质：曲线位于x轴上方，与x轴不相交；曲线是单峰的，它关于直线x对称；曲线在x处达到峰值；12曲线与x轴之间的面积为 1 ；当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着 的变化而沿x轴平移，如图甲所示；当一定时，曲线的形状由确定，越小，曲线越“瘦高” ，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖” ，表示总体的分布越分散，如图乙所示(3)正态分布的定义及表示4如果对于任何实数a，b (a0.682 6，80 100P(2a27)成立的一个必要不充分条件是( )Aa1 或 2 Ba1 或 2Ca2
6、Da3 52考点 正态分布密度函数的概念题点 正态曲线性质的应用答案 B解析 XN(3,4)，P(Xa27)，(13a)(a27)23，a1 或 2.故选 B.5(2017福建莆田二十四中高二期中)投篮测试中，每人投 3 次，至少投中 2 次才能通过测试已知某同学每次投篮投中的概率为 0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( )A0.648 B0.432C0.36 D0.312考点 互斥、对立、独立重复试验的概率问题题点 互斥事件、对立事件、独立事件的概率问题答案 A解析 根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为 C 0.620.4C 0.630.648.2 33
7、36命题r：随机变量N(3，2)，若P(2)0.4，则P(4)0.6.命题q：随机变量B(n，p)，且E()200，D()100，则p0.5.则( )Ar正确，q错误Br错误，q正确Cr错误，q也错误Dr正确，q也正确考点 正态分布的应用题点 正态分布的综合应用答案 D16解析 因为随机变量N(3，2)，所以正态曲线关于x3 对称，又P(2)0.4，则P(4)P(2)0.4，所以P(4)0.6，所以r是正确的；随机变量B(n，p)，且E()np200，D()np(1p)100，所以 200(1p)100，解得p0.5，所以q是正确的故选 D.7节日期间，某种鲜花进货价是每束 2.5 元，销售价
8、是每束 5 元；节日卖不出去的鲜花以每束 1.6 元价格处理根据前五年销售情况预测，节日期间这种鲜花的需求量X服从如表所示的分布列X200300400500P0.200.350.300.15若进这种鲜花 500 束，则利润的均值为( )A706 元 B690 元C754 元 D720 元考点 离散型随机变量均值的概率与计算题点 离散型随机变量均值的计算答案 A解析 因为E(X)2000.23000.354000.35000.15340，所以利润的均值为 340(52.5)(500340)(2.51.6)706 元，故选 A.8某班 50 名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩
9、分组区间是40,50)，50,60)，60,70)，70,80)，80,90)，90,100从样本成绩不低于 80 分的学生中随机选取 2 人，这 2 人中成绩在 90 分以上(含 90 分)的人数为，则的均值为( )A. B.1 31 2C. D.2 33 4考点 常见的几种均值题点 与排列、组合有关的随机变量的均值答案 B17解析 由频率分布直方图知，30.006100.01100.0541010x1，解得x0.018，成绩不低于 80 分的学生人数为(0.0180.006)105012，成绩在 90 分以上(含 90 分)的学生人数为 0.00610503，的可能取值为 0,1,2，P(
10、0)，P(1)，P(2)C2 9 C 2 126 11C1 3 C1 9 C 2 129 22，E()012 .C2 3 C 2 121 226 119 221 221 2二、填空题9盒中有 10 支螺丝钉，其中 3 支是坏的，现在从盒中不放回地依次抽取两支，那么在第一支抽取为好的条件下，第二支是坏的概率为 考点 条件概率的定义及计算公式题点 直接利用公式求条件概率答案 1 3解析 记事件A为“第一支抽取为好的” ，事件B为“第二支是坏的” ，则P(A)，7 10P(AB) ，7 103 97 30P(B|A) .PABPA1 310甲、乙两人进行跳绳比赛，规定：若甲赢一局，比赛结束，甲胜出；
11、若乙赢两局，比赛结束，乙胜出已知每一局甲、乙二人获胜的概率分别为 ，则甲胜出的概率为 2 53 5考点 互斥、对立、独立重复试验的概率问题题点 互斥事件、对立事件、独立事件的概率问题答案 16 25解析 方法一 甲胜的情况为：举行一局比赛，甲胜出，比赛结束，举行两局比赛，第一局乙胜，第二局甲胜，其概率分别为 ， ，且这两个事件是互斥的，所以甲胜出的概2 53 52 5率为 .2 53 52 516 25方法二 因为比赛结果只有甲胜出和乙胜出两个结果，而乙胜出的情况只有一种，举行两局比赛都是乙胜出，其概率为 ，所以甲胜出的概率为 1.3 53 59 259 2516 251811一台机器生产某种
12、产品，如果生产一件甲等品可获得 50 元，生产一件乙等品可获得 30元，生产一件次品，要赔 20 元，已知这台机器生产出甲等品、乙等品和次品的概率分别为0.6,0.3 和 0.1，则这台机器每生产一件产品平均预期获利 元考点 离散型随机变量的均值的概念与计算题点 离散型随机变量均值的计算答案 37解析 设生产一件该产品可获利钱数为X，则随机变量X的取值可以是20,30,50.依题意，X的分布列为X203050P0.10.30.6故E(X)200.1300.3500.637(元)12一批玉米种子的发芽率是 0.8，每穴只要有一粒发芽，就不需补种，否则需要补种则每穴至少种 粒，才能保证每穴不需补种
13、的概率大于 98%.(lg 20.301 0)考点 互斥、对立、独立重复试验的概率问题题点 互斥事件、对立事件、独立事件的概率问题答案 3解析 记事件A为“种一粒种子，发芽” ，则P(A)0.8，P( )10.80.2.A因为每穴种n粒相当于做了n次独立重复试验，记事件B为“每穴至少有一粒种子发芽” ，则P( )C 0.80(10.8)n0.2n，B0n所以P(B)1P( )10.2n.B根据题意，得P(B)98%，即 0.2n2.43.lg 22 lg 211.699 0 0.699 0因为nN N*，所以n的最小正整数值为 3.三、解答题13一盒中装有 9 张各写有一个数字的卡片，其中 4
14、 张卡片上的数字是 1,3 张卡片上的数字是 2,2 张卡片上的数字是 3.从盒中任取 3 张卡片(1)求所取 3 张卡片上的数字完全相同的概率；(2)用X表示所取 3 张卡片上的数字的中位数，求X的分布列与均值19(注：若三个数a，b，c满足abc，则称b为这三个数的中位数)考点 常见的几种均值题点 与排列、组合有关的随机变量的均值解 (1)由古典概型的概率计算公式知所求概率P.C3 4C3 3 C3 95 84(2)X的所有可能取值为 1,2,3，则P(X1)，C2 4 C1 5C3 4 C3 917 42P(X2)，C1 3 C1 4 C1 2C2 3 C1 6C3 3 C3 943 8
15、4P(X3).C2 2 C1 7 C3 91 12故X的分布列为X123P17 4243 841 12从而E(X)123.17 4243 841 1247 28四、探究与拓展14某公司在迎新年晚会上举行抽奖活动，有甲、乙两个抽奖方案供员工选择方案甲：员工最多有两次抽奖机会，每次抽奖的中奖率均为 .第一次抽奖，若未中奖，则抽4 5奖结束若中奖，则通过抛一枚质地均匀的硬币，决定是否继续进行第二次抽奖规定：若抛出硬币，反面朝上，员工则获得 500 元奖金，不进行第二次抽奖；若正面朝上，员工则须进行第二次抽奖且在第二次抽奖中，若中奖，则获得奖金 1 000 元；若未中奖，则所获得的奖金为 0 元方案乙
16、：员工连续三次抽奖，每次中奖率均为 ，每次中奖均可获得奖金 400 元2 5(1)求某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金X(元)的分布列；(2)试比较某员工选择方案乙与选择方案甲进行抽奖哪个方案更划算？考点 均值、方差的综合应用题点 均值与方差在实际中的应用解 (1)由题意得，X的所有可能取值为 0,500,1 000，则P(X0) ，1 54 51 21 57 2520P(X500) ，4 51 22 5P(X1 000) ，4 51 24 58 25所以某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金X(元)的分布列为X05001 000P7 252 58 25(2)由(1)可知，选择方案甲进行抽奖所获奖金X
17、的均值E(X)500 1 000520，2 58 25若选择方案乙进行抽奖，中奖次数B，(3，2 5)则E()3 ，抽奖所获奖金Y的均值E(Y)E(400)400E()480，故选择方案2 56 5甲较划算15某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝 10 元的价格出售如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理(1)若花店一天购进 16 枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：枝，nN N)的函数解析式；(2)花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：日需求量n14151617181920频数10201616151310以 100
18、天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率若花店一天购进 16 枝玫瑰花，X表示当天的利润(单位：元)，求X的分布列、均值及方差；若花店计划一天购进 16 枝或 17 枝玫瑰花，你认为应购进 16 枝还是 17 枝？请说明理由考点 均值、方差的综合应用题点 均值与方差在实际中的应用解 (1)当日需求量n16 时，利润y80.当日需求量n16 时，利润y10n80.所以当天的利润y关于当天需求量n的函数解析式为yError!(nN N)21(2)X可能的取值为 60,70,80，并且P(X60)0.1，P(X70)0.2，P(X80)0.7.故X的分布列为X607080P0.10.20.7E(
19、X)600.1700.2800.776，D(X)(6076)20.1(7076)20.2(8076)20.744.方法一：花店一天应购进 16 枝玫瑰花理由如下：若花店一天购进 17 枝玫瑰花，Y表示当天的利润(单位：元)，那么Y的分布列为Y55657585P0.10.20.160.54E(Y)550.1650.2750.16850.5476.4，D(Y)(5576.4)20.1(6576.4)20.2(7576.4)20.16(8576.4)20.54112.04.由以上的计算结果可以看出，D(X)D(Y)，即购进 16 枝玫瑰花时利润波动相对较小另外，虽然E(X)E(Y)，但两者相差不大，故花店一天应购进 16 枝玫瑰花方法二：花店一天应购进 17 枝玫瑰花理由如下：若花店一天购进 17 枝玫瑰花，Y表示当天的利润(单位：元)，那么Y的分布列为Y55657585P0.10.20.160.54E(Y)550.1650.2750.16850.5476.4.由以上的计算结果可以看出，E(X)E(Y)，即购进 17 枝玫瑰花时的平均利润大于购进 16 枝时的平均利润故花店一天应购进 17 枝玫瑰花