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1、12.2.12.2.1 向量加法运算及其几何意义向量加法运算及其几何意义学习目标：1.理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的几何意义及其运算律(难点)2.掌握向量加法运算法则，能熟练地进行加法运算(重点)3.数的加法与向量的加法的联系与区别(易混点)自 主 预 习探 新 知1向量加法的定义定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法对于零向量与任一向量a a，规定 0a a0a a.a a2向量求和的法则三角形法则已知非零向量a a，b b，在平面内任取一点A，作a a，b b，则向ABBC量A叫做a a与b b的和，记作a ab b，即a ab bCABBCAC平行四边形法则已知两个不共线向量
2、a a，b b，作a a，b b，以，为邻边作ABADABADABCD，则对角线上的向量Aa ab b.C3向量加法的运算律(1)交换律：a ab bb ba a.(2)结合律：(a ab b)c ca a(b bc c)基础自测1思考辨析(1)a a(b bc c)(a ab b)c c.( )(2)0.( )ABBA(3)求任意两个非零向量的和都可以用平行四边形法则( )解析 (1)正确(2)正确(3)错误平行四边形法则只适用于求两个不共线的向量的和答案 (1) (2) (3)2.等于( )CBADBA2A. B.DBCAC. D.CDDCC C .CBADBACBBAADCD3如图 22
3、1，在平行四边形ABCD中，_.DADC图 221由平行四边形法则可知.DBDADCDB合 作 探 究攻 重 难向量加法运算法则的应用探究问题1求作两个向量和的法则有哪些？这些法则的物理模型是什么？提示：(1)平行四边形法则，对应的物理模型是力的合成等(2)三角形法则，对应的物理模型是位移合成等2设A1，A2，A3，An(nN N，且n3)是平面内的点，则一般情况下，的运算结果是什么？A1A2A2A3A3A4An1An提示：将三角形法则进行推广可知.A1A2A2A3A3A4An1AnA1An(1)如图 222，在ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，F为线段DE延长线上一点，DEBC，ABC
4、F，连接CD，那么(在横线上只填上一个向量)：图 222_；_；_.ABDFADFCADBCFC(2)如图 223 甲所示，求作向量和a ab b.如图 223 乙所示，求作向量和a ab bc c.甲 乙3图 223思路探究 (1)先由平行四边形的性质得到有关的相等向量，并进行代换，然后用三角形法则化简(2)用三角形法则或平行四边形法则画图(1) (1)如题图，由已知得四边形DFCB为平行四边形，由向量加ACABAC法的运算法则可知：.ABDFABBCAC.ADFCADDBAB.ADBCFCADDFFCAC(2)首先作向量a a，然后作向量b b，则向量a ab b.如图所示OAABOB法一
5、(三角形法则)：如图所示，首先在平面内任取一点O，作向量a a，再作OA向量b b，则得向量a ab b，然后作向量c c，则向量(a ab b)c ca ab bc cABOBBCOC即为所求法二(平行四边形法则)：如图所示，首先在平面内任取一点O，作向量a a，b b，c c，以OA，OB为邻边作OADB，连接OD，则OAOBOCa ab b.再以OD，OC为邻边作ODEC，连接OE，则ODOAOBa ab bc c即为所求OEODOC母题探究：1.在例 1(1)条件下，求.CBCF解 因为BCDF，BDCF，所以四边形BCFD是平行四边形，所以.CBCFCD2在例 1(1)图形中求作向量
6、.DADFCF解 过A作AGDF交CF的延长线于点G，4则作，连结，DADFDGGHCFDH则，如图所示DHDADFCF规律方法 1.向量求和的注意点：(1)三角形法则对于两个向量共线时也适用(2)两个向量的和向量仍是一个向量(3)平行四边形法则对于两个向量共线时不适用2利用三角形法则时，要注意两向量“首尾顺次相连” ，其和向量为“起点指向终点”的向量；利用平行四边形法则要注意两向量“共起点” ，其和向量为共起点的“对角线”向量提醒：(1)当两个向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是统一的；(2)三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半向量加法运算律的应用(1)设a
7、a()()，b b是一个非零向量，则下列结论正确的有ABCDBCDA_(将正确答案的序号填在横线上)a ab b；a ab ba a；a ab bb b；|a ab b|a a|b b|.(2)如图 224，E，F，G，H分别是梯形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，化简下列各式：图 224；DGEACB. EGCGDAEB思路探究 根据向量加法的交换律使各向量首尾连接，再运用向量的结合律调整向量顺序后相加解 (1)由条件得：()()0 0a a，故选.ABCDBCDA(2)；DGEACBGCBECBGCCBBEGBBEGE0 0.EGCGDAEBEGGDDAAEEDDAAEEAAE规律
8、方法 向量加法运算律的意义和应用原则：1意义：5向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现恰当利用向量加法法则运算的目的.,实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.2应用原则：利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连” ，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序.跟踪训练1已知正方形ABCD的边长等于 1，则|_.ABADBCDC2 |2|2.2ABADBCDCABBCADDCACACAC2向量加法的实际应用如图 225，用两根绳子把重 10 N 的物体W吊在水平杆子AB上，ACW150，BCW120，求A和B处所受力
9、的大小(绳子的重量忽略不计) 图 225思路探究 作出对应的几何 图形，构造有关 向量利用三角形法则或 平行四边形法则运算回答实际问题解 如图所示，设，分别表示A，B所受的力，10 N 的重CECF力用表示，则.CGCECFCG易得ECG18015030，FCG18012060.|cos 30105，CECG323|cos 6010 5.CFCG1 2A处所受的力为 5 N，B处所受的力为 5 N.3规律方法 利用向量的加法解决实际应用题的三个步骤6跟踪训练2如图 226 所示，一架飞机从A地按北偏东 35的方向飞行 800 km 到达B地接到受伤人员，然后又从B地按南偏东 55的方向飞行 8
10、00 km 送往C地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和. 图 226解 设，分别表示飞机从A地按北偏东 35的方向飞行 800 km，从B地按南偏ABBC东 55的方向飞行 800 km，则飞机飞行的路程指的是|；ABBC两次飞行的位移的和指的是.ABBCAC依题意，有|8008001 600(km)，ABBC又35，55，ABC355590，所以|AC|AB|2|BC|280028002800(km)2其中BAC45，所以方向为北偏东 354580.从而飞机飞行的路程是 1 600 km，两次飞行的位移和的大小为 800 km，方向为北偏2东 80.当 堂 达 标固 双 基1化简等于(
11、 )AEEBBCA. B.ABCEC. D.ACBEC C .AEEBBCAC72对于任意一个四边形ABCD，下列式子不能化简为的是( ) BCA. B.BAADDCBDDAACC. D.ABBDDCDCBAADC C 在 A 中；在 B 中；在 C 中BAADDCBDDCBCBDDAACBAACBCAB；在 D 中.BDDCADDCACDCBAADDCBDBDDCBC3在菱形ABCD中，DAB60，|1，则|_.ABBCCD1 在菱形ABCD中，连接BD(图略)，DAB60，BAD为等边三角形，又|1，|1，ABBD|1.BCCDBD4若a a表示“向东走 8 km” ，b b表示“向北走 8 km” ，则|a ab b|_，a ab b的方向是_8 km 东北方向 如图所示，作a a，b b，2OAAB则a ab b.OAABOB所以|a ab b|OB8(km)，82822因为AOB45，所以a ab b的方向是东北方向5如图 227 所示，设O为正六边形ABCDEF的中心，求下列向量：图 227(1)；OAOC(2).BCFE解 (1)由题图可知，四边形OABC为平行四边形由向量加法的平行四边形法则，8得.OAOCOB(2)由题图可知，BCFEODAO.BCFEAOODAD