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1、河南河南 洛阳（平顶山）李恒运洛阳（平顶山）李恒运微观经济学计算题微观经济学计算题 1.某君对消费品 x 的需求函数为P 100Q，分别计算价格 P60 和 P40 时的价格弹性系数.解：由P 100Q，得Q (100 P)2,Ed这样，dQ PP 2(100 P)(1)dP Q(100 P)22P100 PP60于是，Ed 260120 3100 6040 240804 100 40603EdP40即，当价格为 60 和 40 时的点价格弹性系数分别为-3 和 4/3.2.假设某商品的 50为 75 个消费者购买，他们每个人的需求弹性为2,另外 50为 25个消费者购买，他们每个人的需求弹性
2、为3,试问这 100 个消费者合计的弹性为多少？解：设被这 100 个消费者购得的该商品总量为 Q，其市场价格为 P.据题设，其中 75 人购买了其总量的一半，且他们每人对该商品的需求弹性为-2，这样，他们每人的弹性Edi 2 dQiPdQiQ,2i,i 1,2,75dPQidPP75且Qi Q/2i1又，另外25 人购买了其总量之另一半，且他们每人对该商品的需求弹性为-3，这样，他们每人的弹性QjPdQjEdj 3,3,j 1,2,25dPQjdPP且Qj Q/2j125dQj1由此，这 100 个消费者合计的弹性为dQ Pd(QiQj)PEddP QdPQ7525dQdQPj(i)Qi1d
3、Pj1dP将式（1）、（3)代入,得25QjQiPEd(2)(3)PPQi1j17523PQ Q iPjPi1Qj17525将式（2）、(4)代入，得2 Q3 QP)P2P2Q23Q P5()22P Q2Ed(3。若无差异曲线是一条斜率是b 的直线,价格为 Px、Py,收入为 M 时，最优商品组合是什么?解：预算方程为：Pxx+PyyM，其斜率为Px/Py MRSXY=MUX/MUY=b由于无差异曲线是直线,这时有角解.当 bPx/Py 时，角解是预算线与横轴的交点，如图 3-19（a)所示。这时，y0由预算方程得,x=M/Px最优商品组合为(M/Px，0）当 b0，求：2(1)当价格为 P1
4、 时的消费者剩余是多少?(2）当价格由 P1 变到 P2 时消费者剩余变化了多少？解:(1)由 gabP，得反需求函数为P 设价格为 p1 时，需求量为 q1,q1=abP12aq 1a q2q()dq p1q1q1bb消费者剩余=0a2bap1p122b2q10a qbp1q1（2）设价格为 p2时，需求量为 q2,q2a-bp2消费者剩余变化量q1a qa q)dq p2q2()dq p1q100bb2aq 1a2b2q22qp q(ap p1)0221b2b2(q22aq21qa2b22 p2q2(ap1p12)b2b2a2b2a2b2 ap p2(ap1p12)2b22b2b2b2p2
5、p1 ap2 ap122 5.X公司和 Y 公司是机床行业的两个竞争者。这两家公司的主要产品的需求曲线分别为：公司 X：Px1 000-5Qx,公司 Y：Py1 600-4Qy。这两家公司现在的销售量分别为 100 单位 X 和 250 单位 Y。(1)求 X 和 Y 当前的价格弹性。(2)假定 Y 降价后,使 Qy 增加到 300 单位,同时导致 X 的销售量 Qx 下降到 75 单位，试问 X公司产品 X 的交叉价格弹性是多少?解：（a)由题设，Qx100，Qy=250，则 Px1 0005Qx1 000-5100500 Py1 6004Qy1 600-4250600于是 x 之价格弹性E
6、dxdQxPx16003 dPxQy425053 y 之价格弹性EdydQyPy16003 dPyQy42505 (b）由题设，Qy300，Qx75这样，Py1 600-4Qy1 600-4300 =400QxQx-Qx75-100-25Py=PyPy =400-600 =200于是，X 公司产品 x 对 Y 公司产品 y 的交叉价格弹性ExyQx(Py Py)/2Py(QxQx)/2 25(6000 400)/2(100 75)/2200110008175125175 =5/7即交叉价格弹性为 5/7.6。令消费者的需求曲线为 pa-bp，a、b0，并假定征收 lOOt的销售税，使得他支付的
7、价格提高到 P(1+t）。证明他损失的消费者剩余超过政府征税而提高的收益。解：设价格为 p 时，消费者的需求量为 q1，由 p=a-bq1，得q1a pba(1t)Pb又设价格为 P(1+t）时，消费者的需求量为 q2，由 Pa-bq2得q2消费者剩余损失4(a bq)dq pq1(a bq)dq P(1t)q200q1q2(a bq)dq P(1t)q2 pq1q1q2b1(aq q2 qq2(1t)pq2 pq12bb2(aq1 q12)(aq2q2)(1t)pq2 pq122政府征税而提高的收益=(1+t）pq2-pq1消费者剩余亏损一政府征税而提高的收益bb2(aq1q12)(aq2q
8、2)(1t)pq222b pq1(1t)pq2 pq1 (aq1q12)2b2a(a b)ba p2(aq2q2)()2b2baa(1t)pba(1t)p2b2b2tp t2p22b2tp t2p2b,t,p 0 02b因此，消费者剩余损失总是超过政府征税而提高的收益。7.假定效用函数为 Uq0.5+2M,q 为消费的商品量,M 为收入。求：(1）需求曲线;（2）反需求曲线；(3）p=0.05，q25 时的消费者剩余.解:(1)根据题意可得,商品的边际效用MU U 0.5q0.5q单位货币的效用为U 2M若单位商品售价为 P，则单位货币的效用就是商品的边际效用除以价格，即=MU/P0.5q0.
9、5UU/P，即2 于是得，PMq进而得，q 1，这就是需求曲线。216p5（2)由q 11,得，这就是反需求曲线。p 16p24 q (3)当 p=0.05，q=25 时，消费者剩余=q011dq pq q224 q1q011 pq q2 pq 2520.0525 1.252211 8若某消费者对 X、Y 的效用函数如下:U（x）=20X-X2，U（y）=40Y-4Y2，且 Px=2 元，Py=4 元，现有收入 24 元，该消费者要花完全部现有收入并获得最大效用，应购买 X、Y 各多少？2x 4y 242x 4y 24解：MUXMUY202x408yPP24YXy 3解得：x 69.某消费者的
10、效用函数为 UXY,Px1 元，Py2 元，M=40 元,现在 Py 突然下降到 1 元。试问：(1)Y 价格下降的替代效应使他买更多还是更少的 Y?(2)Y 价格下降对 Y 需求的收入效应相当于他增加或减少多少收入的效应？收入效应使他买更多还是更少的 Y？(3)了价格下降的替代效应使他买更多还是更少的X?收入效应使他买更多还是更少的X?Y 价格下降对 X 需求的总效应是多少?对 Y 需求的总效应又是多少?解:(1)先求价格没有变化时，他购买的 X 和 Y 的量.这时已知,Px1，Py2，UXYMUxUU y,MUyXXYMUxMUyYX,即为PxPy12预算方程为:X+2Y40解 Y=X/2
11、 X+2Y=40得 X=20（即图中 0X1）Y=10（即图中 0Y1）再求购买 20 单位的 X、10 单位的 Y 在新价格下需要的收入。6 M=Pxx+Pyy120+11030(元）最后,求在新价格和新收入(30 元)下他购买的 X 和 Y 的量.Px=1,Py1，MUxY,MUyX MUx/Px=MUy/Py即为：Y/1=X/1预算约束为：X+Y30解 Y=X X+Y=30得 X=15 Y=15因此,Y 价格下降使他购买更多的 y，多购买（1510）=5 单位，在图中从 OY1 增加到 OY2。(2)先求 y 价格下降后，他实际购买的 X 和 Y 的量。Px=1，Py1，M40,MUxY
12、，MUyXMUxMUy即为：Y/1=X/1PxPy预算方程为:X+Y40解 Y=X X+Y=50得 X=20 Y=20可见，Y 价格下降的收入效应使他购买更多的 Y 即在图中从 OY2 增加到 OY3，购买（20-15）=5 单位。由于在新价格和收入为 30 元时，他购买 15 单位的 X、15 单位的 Y。在新价格下，要使他能购买 20 单位 X、20 单位 Y,需增加 10 元收入，即收入为40 元。所以,要增购 5 单位 Y 的话，必需增加 10 元收入，即图中预算线上升到 AB。因此,Y 价格下降对 Y 需求的收入效应相当于他增加 10 元收入的效应。(3）Y 的价格下降的替代效应使他
13、买更少的 X,少买(20 15)=5 单位，即图中 X 的购买量从 Ox1 降为 Ox2。收入效应使他购买更多的 X，多买（2015)5 单位，即图中 X 的购买量从 Ox2 恢复到 OX1。Y 价格下降对 X 需求的总效应为零。y 价格下降的替代效应使他多购买 5 单位 Y,收入效应使他也多购买 5 单位 Y.故 Y 价格下降对 Y 需求的总效应为 10 单位,即图中 Y1Y3=Y1Y2+Y2Y3.710。已知生产函数为Q 2L0.6K0.2，请问：(a）该生产函数是否为齐次函数？次数为若干?（b)该生产函数的规模报酬情况.（c)假如 L 与 K 均按其边际产量取得报酬,当 L 与 K 取得
14、报偿后，尚有多少剩余产值?解:(a）Q f(L,K)2L0.6K0.2 f(L,K)2(L)0.6(K)0.2 20.6L0.60.2K0.2 2L K0.8Q0.80.60.2该生产函数为齐次函数,其次数为 0。8。（b）根据 a)题f(L,K)0.8Q可知该生产函数为规模报酬递减的生产函数。(c)对于生产函数Q 2L0.6K0.20.2MPP0.6L0.41.2L0.4K0.2L 2KMPP0.2KK 2L0.80.80.2K0.8 0.4L K0.60.8这里的剩余产值是指总产量减去劳动和资本分别按边际产量取得报酬以后的余额，故剩余产值QLMPPLKMPPK 2L0.6K0.2 L1.2
15、L0.4K0.2 K 0.4L0.6K0.8 2L0.6K0.21.2L0.6K0.20.4L0.6K0.2 0.4L0.6K0.2 0.2Q11.已知生产函数为Q f(K,L)10KLK L（a）求出劳动的边际产量及平均产量函数.（b)考虑该生产函数的边际技术替代率函数(MRTS)的增减性。（c)考虑该生产函数劳动的边际产量函数的增减性.解：(a)劳动的边际产量函数 MPPLdQ/dL8d10KL()dL K L10K(K L)10KL2(K L)10K2(K L)2劳动的平均产量函数 APPLQ/L10KL1K L L10KK L（b)生产函数边际技术替代率指产量不变条件下一种生产要素增加
16、的投入量与另一种生产要素相应减少的投入量之比，即 K/L 或-dK/dL。为此，需要从生产函数中先求得 K和 L 之间的关系，然后从这一关系中求得 dK/dL.由生产函数 Q=10KK L得 QK+QL1OKL K(Q10L)QLK QLQ 10L则边际技术替代率 MRTS=dK/dLdQL()dL Q 10LQ(Q 10L)QL(10)(Q 10L)2 Q2 0(Q 10L)2当 dK/dL0 时，dK/dL0,即，故 Q4 是利润最大或亏损最小的产量。利润222dQdQdQTR-TCPQ(Q3-6Q2+30Q+40）=304(43642304 40)8，可见，当价格为 30元时，厂商会发生
17、亏损，最小亏损额为 8 美元。(3)厂商退出行业的条件是 PAVC 的最小值.TCQ3-6Q2+30Q+20,VC=Q3-6Q2+30Q AVC=VC/Q=Q26Q+30 要求 AVC 最低点的值，只要令 dAVC/dQ=0,即 dAVC/dQ 2Q60，Q3 当 Q3 时 AVC326330 21，可见，只要价格 P21，厂商就会停止生产。18。若很多相同厂商的长期成本函数都是 LTCQ34Q2+8Q，如果正常利润是正的，厂商将进入行业；如果正常利润是负的，厂商将退出行业.(1）描述行业的长期供给函数。(2）假设行业的需求函数为 QD2 000-100P，试求行业均衡价格，均衡产量和厂商的人
18、数。解：（1)已知 LTCQ34Q2+80 则 LACQ2-4Q+8,欲求 LAC 的最小值，只要令 dLAC/dQ=0 即 20-40 Q2 这就是说，每个厂商的产量为 Q2 时，长期平均成本最低,其长期平均成本为:LAC=22-42+8=4。当价格 P 等于长期平均成本 4 时,厂商既不进入，也不退出，即整个行业处于均衡状态。故行业长期供给函数即供给曲线是水平的，行业的长期供给函数为 P=4。(2)已知行业的需求曲线为 QD2 000100P，而行业的供给函数为 P4，把 P4 代入QD2 000-100P 中可得：行业需求量 QD2 00010041 600由于每个厂商长期均衡产量为 2
19、，若厂商有 n 个，则供给量 Qs=2n。行业均衡时，QDQs，即 1 6002n,n800。故整个行业均衡价格为 4，均衡产量为 1 600，厂商有 800家。15 19。假设一个垄断厂商面临的需求曲线为 P103Q，成本函数为 TCQ2+2Q。（1)求利润极大时的产量、价格和利润。（2）如果政府企图对该垄断厂商采取限价措施迫使其达到完全竞争产业所能达到的产量水平,则限价应为多少?(3）如果政府打算对该垄断厂商征收一笔固定的调节税，以便把该厂商所获得的超额利润都拿去,试问这笔固定税的总额是多少？解：(1)已知 P103Q，则 MR106Q 又知成本函数 TCQ2+2Q MC（TC)2Q+2利
20、润极大化的条件是 MC=MR即 2Q+2106Q得 Q1把 Q1 代入 P103Q 中得:P10317利润TRTCPQ(Q2+20)71-（12+21)4 (2）政府采取限价措施使垄断者达到完全竞争行业所能达到的产量水平。完全竞争条件下利润极大化的条件是 PMC 即 10-3Q20+2 Q1.6把 Q1.6 代入 P10-3Q 中得：P10-31。65.2.此时的利润TR-TCPQ(Q2+2Q）5.21。61.62+21。6）2。56说明在政府限价时，厂商亏损了。（3)如果政府征收的固定调节税恰好是把该厂商的超额利润都拿走，则政府对该厂商征收的固定调节税就是 4 单位，征税后产量、价格都没有变
21、,垄断厂商的超额利润为零。20假定行业需求曲线为Q250P，每家厂商的边际成本为 4。试求：（1)两个厂商的古诺反应函数。(2）古诺双寡头厂商的价格和产量。(3）若厂商数目无限增大，古诺均衡价格和产量是多少？解:（1）TR1=250-（Q1+Q2)Q1MR1=2502Q1-Q2同理，MR2=2502Q2Q1根据MR=MC，得到反应函数：250-2Q1-Q2=4250-2Q2Q1=4（2）解得:Q1=Q2=82,P=250（Q1+Q2）=8616（3）若厂商数目无限增大,P=MC=4，Q=250-4=24621。假设一个垄断厂商面临的需求曲线为 P103Q，成本函数为 TCQ2+2Q。(1)求利
22、润极大时的产量、价格和利润.(2）如果政府企图对该垄断厂商采取限价措施迫使其达到完全竞争亍业所能达到的产量水平，则限价应为多少？(3）如果政府打算对该垄断厂商征收一笔固定的调节税,以便把该厂商所获得的超额利润都拿去,试问这笔固定税的总额是多少？(4）如果政府对该垄断厂商生产的每单位产品征收产品税 1 单位，新的均衡点如何？解：(1）已知 P103Q，则 MR106Q 又知成本函数 TCQ2+2Q MC(TC）2Q+2 利润极大化的条件是 MC=MR即 2Q+210-6Q得 Q1把 Q1 代入 P103Q 中得：P10-317利润TRTCPQ-（Q2+20）71（12+21）4（2）政府采取限价
23、措施使垄断者达到完全竞争行业所能达到的产量水平.完全竞争条件下利润极大化的条件是 PMC 即 103Q20+2 Q1。6把 Q1。6 代入 P103Q中得:P10-31。65.2。此时的利润TR-TCPQ(Q +2Q)5.21。6-1。6+21。6）2。56说明在政府限价时，厂商亏损了。(3)如果政府征收的固定调节税恰好是把该厂商的超额利润都拿走,则政府对该厂商征收的固定调节税就是 4 单位，征税后产量、价格都没有变，垄断厂商的超额利润为零.(4）如果政府对垄断厂商的每单位产品征收 1 单位的产品税,这种单位产品税是随着产量变化而变化的一项可变成本，它会导致垄断厂商的 AC 曲线和 MC 曲线
24、向上移动,使原有的均衡位置发生变化.由于增加单位产品税如同增加 MC,故征税后均衡条件为：MC+1MR即(2Q+2）+110-60 Q7/80.875把 Q古代入 P10-328 中得：P=7。375征收单位产品税后的利润 TR-TCPQ（Q2+2Q）7。3750.875(0。8752+20.875）3.9375征收单位产品税之前，垄断厂商的均衡产量为 1 单位,制定的价格为 7 单位，利润为 4 单位。征收单位产品税后，均衡点位置发生了变化。垄断厂商新的均衡产量为0.875 单位,制定价格为 7.375 单位，利润为 3.9375 单位。172222。假定对劳动的市场需求曲线为 DL10W+
25、150,劳动的供给曲线为 SL20W，其中 SL、DL分别为劳动市场供给,需求的人数，W 为每日工资。问：(a)在这一市场中,劳动与工资的均衡水平为多少？(b）假如政府希望把均衡工资提高到 6 元/日，其方法是将钱直接补贴给企业,然后由企业给工人提高工资。为使职工平均工资由原来工资提高到 6 元/日，政府需补贴给企业多少？新的就业水平是多少?企业付给职工的总补贴将是多少？(c)假如政府不直接补贴给企业,而是宣布法定最低工资为 6 元/日,则在这个工资水平下将需求多少劳动?失业人数是多少？解:据题设,DL10W+150，SL20W (a)均衡时有 DLSL，-10W+15020W，得 W150/
26、305（元),QLDLSL205100（人）(b)如图 99 所示，当均衡工资提高到W6 时，QLSL620120，新的就业水平即为 120 人.设政府给企业的单位劳动补贴为 S 元，则补贴后的劳动需求曲线为 DL-10(Ws）+150将 W6，QL120 代入，得 S=W+DL/10-15=6+120/1015=3于是政府付给企业的补贴额为 sQL3120360 元,企业付给职工的补贴额为（WW）QL(65)120120 元（c）若政府宣布法定最低工资为 6 元/日,则此时劳动需求 DL10 6+15090 人，而劳动供给 SL=206120 人，故失业人数为 SL-DL1209030 人2
27、3.假设某国的总生产函数为 Q=ALrsK1rs。其中：Q 为实际国民生产总值，L 为劳动,K 为实物资本，r 为常数，s 为劳动力平均受教育年限.(a)试导出劳动所得在国民收入中所占份额的表达式(即总产出中付给劳动工资的份额比重)；（假定劳动市场为完全竞争市场）（b)显示劳动力平均受教育年限的增加对劳动所得份额的影响；（c)说明实物资本的积累对劳动所得份额的影响.解：(a)设 P 为一般物价水平,因劳动市场为完全竞争市场,故18 wVMPLPMPPLP于是劳动所得份额为QP，rsALrs1K1rsLWLPrs ALrs1K1rsL rsLrs1rsPQP AL K (b)L(rs)r,即劳动
28、力平均受教育年限增加 1，劳动所得份额将增加 r.ssL(rs)0，即实物资本的积累对劳动所得份额没有影响。KK0。5 (c)24.假设一厂商在完全竞争的产品和要素市场上从事生产经营。其生产函数为 Q=48L5K0。，其中 Q 为产品的年产出吨数，L 为雇佣的工人人数，K 为使用的资本单位数。产品的售价为每吨 50 元，工人的年工资为 14 400 元,单位资本的价格为 80 元.在短期，资本为固定要素，该厂商共拥有 3 600 单位的资本。（a)在短期,试计算：(i)该厂商劳动需求曲线的表达式；(ii）工人的均衡雇佣量;(iii）短期均衡时该厂商对劳动的点需求弹性；(iV)该厂商的年纯利润。
29、(b）在长期，设产品价格和劳动的工资率仍保持不变，该厂商所在行业具有成本递增性质，因为该行业扩张时资本价格会随之上涨。试计算：(i）资本的长期均衡价格;(ii）在长期该厂商雇佣的均衡工人数量。解；(a）由生产函数及给定 K3 600，得MPPLQ 24L0.536000.51440L0.5L因产品和要素市场均为完全竞争，故均衡时有 W=VMPL PMPPL,又由题设 P50，于是W VMPL 501440L0.5 72000L0.5 (i)L 720002W2 5184106W2 (ii）将 W14 400 代入已得到的劳动需求函数，得L 5184106144002 25(人)(iii）由(i
30、），得19dL 5184106(2)W3dWdLWW=-2(2)5184106W362dWL518410 W于是，短期均衡时的劳动点需求弹性为:（iV）将 L25,K=3 600 代入生产函数，得X 48250.536000.5 48560 14400于是，总收益 TRPX5014 40072 000总成本 TCTFC+TVC3 600 80+2514 400=648 000故该厂商年纯利润为TRTC=720 000648 00072 000（元)(b）(i)设资本的价格为 R,因在长期资本与劳动一样也成了可变要素，故均衡时有：MPPWLMPPRK24L0.5K0.5KW0.50.5LR24L
31、 K故 KLWR-1对劳动的需求曲线即为 VMPL曲线，即W VMPL 24L0.5K0.5P将 KLWR1代入上式,得W 24L0.5L0.5W0.5R0.5P再将给定 P=50、W=14 400 代入，得14400 24144000.550R0.5 1200R 100(元)0.514400 (ii)由于给定生产函数呈现固定规模报酬,同时要素市场又是完全竞争的，故在长期厂商的 LAC 是固定不变的，厂商的生产规模和雇佣的工人人数是不定的。25.假设劳动者每天的时间资源 24 小时用 T 表示,24 小时中提供劳动的时间用 W 表示，自留自用的时间即闲暇用 L 表示，劳动的单位价格即工资率用只
32、表示，劳动的收入用 y 表示,202劳动者从劳动收入和闲暇中获得的总效用函数为：U48L+Ly-L2，试求劳动供给曲线，并证明:当 R0 时,他完全不劳动；劳动供给W 随 R 上升而增加；不管工资率只有多高，劳动时间 W 不超过 12 小时。解:根据要素(劳动）供给原则是闲暇边际效用与劳动收入边际效用之比等于工资率,即dUdLdU RdyU 48 y 2LL根据题意，U Ly因此有：48 y 2L R(1）L而劳动收入 yWR，（2）闲暇 LT-W(3)将上述收入与闲暇的关系式（2）和(3）代入(1）48+WR2(TW）=R(TW）,化简得；W T(R 2)劳动供给函数2(R 1)证明：当 R0 时，由于人一天的时间资源 T 为 24 小时，因此，W 24(0 2)48 02(01)T 2(R 1)2T(R 2)24896 2T48 0所以,工作时间随工4(R 1)24(R 1)24(R 1)2dW/dR 资率提高而增加limW 12（因为W RTR 2T 48TR 48 48TR24，当 R时，22(R 1)2R 22R 22RRlimW 12,所以不管工资率有多高，他每天工作时间不超过 12 小时.21