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1、直线与圆的方程题型归类直线与圆的方程题型归类一、求直线方程一、求直线方程例 1.直线l过点1,2 且与直线 2x3y4=0 垂线,则l的方程是A3x2y1=0B3x2y7=0C2x3y5=0D 2x3y8=0分析：要求过已知点的直线方程只需求斜率,因而可以由与已知直线的垂直关系得到斜率;解：因为直线 2x3y4=0 的斜率为k 方程为y2 223,且直线l与它垂直,所以,kl,l的2333(x1),即3x2y1 0选 A2点评：本题考查直线的斜率、直线方程、两直线的位置关系,在学习中一定要弄清楚有关概念、直线方程的不同形式的特点、两直线平行与垂直所满足的条件,熟练掌握、灵活运用;二、求圆方程二
2、、求圆方程1 1直接求圆方程直接求圆方程例 2.1 以点 2,1 为圆心且与直线x y 6相切的圆的方程是_;分析：因为圆心知道,只需要求出圆的半径解：先将直线x y 6化为一般式x y6 0,再由圆心到直线的距离公式得：圆的半径r|216|5,11222所以圆的方程为(x2)(y1)252点评：此题考查圆的方程,首先要明确圆的标准方程、一般式方程、其中中包含哪些待定系数其次,要掌握求这些系数的办法;2 2利用对称关系求圆方程利用对称关系求圆方程2 已知圆C1：(x1)+(y 1)=1,圆C2与圆C1关于直线x y 1 0对称,则圆C2的方程为 BA(x2)+(y 2)=1B(x2)+(y 2
3、)=1C(x2)+(y 2)=1D(x2)+(y 2)=1分析：要求圆的方程,关键是求圆心坐标和半径;可以用对称关系代换、也可以列方程求解;解法 1;将圆C1方程中的x用y 1代换,y用x 1代换就会得选项 B;解法 2;设圆心C2(a,b),则由已知得 半径r21,C1(1,1)2222222222a 1b 11 02 2由于两圆关于直线x y 1 0对称得解得：C2(2,2)故选 Bb 1 1a(1)点评：对称是直线与圆一章中很重要的问题之一,在学习中要正确理解对称的概念,准确把握点点对称、点线对称、图形对称的本质,灵活运用;三、直线与圆三、直线与圆1 1直线与圆相切直线与圆相切例 3.1
4、 已知圆 C 与直线 x-y=0 及 x-y-4=0 都相切,圆心在直线 x+y=0 上,则圆 C 的方程为 B2222(x1)(y 1)2(x1)(y 1)2AB2222(x1)(y 1)2(x1)(y 1)2CD解析：1 由圆 C 夹在直线 x-y=0 及 x-y-4=0 之间,且圆心在直线 x+y=0 上可知,圆心在第四象限,参看选项;故选 B2 因为,直线 x-y=0 和 x-y-4=0 都是圆的相切线且圆心在直线 x+y=0 上,所以,直线 x-y=0 和x-y-4=0 平行且都与直线 x+y=0 相交,它们的交点是直径的两个端点,求交点坐标可得 B点评：本题考察的是圆及其切线,要弄
5、清楚切线的概念、切线与半径的垂直关系、圆心到切线的距离等于半径等;2 2直线与圆相交直线与圆相交y y例 4.在平面直角坐标系xoy中,已知圆C1:(x3)和圆C2:(x4)22(y 1)2 41 1O O1 1(y 5)2 41 若直线l过点A(4,0),且被圆C1截得的弦长为2程；3,求直线l的方x x2 设 P 为平面上的点,满足：存在过点 P 的无穷多对互相垂的直线l1和l2,它们分别与圆C1和圆C2相交,且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等,试求所有满足条件的点P 的坐标.分析：1 由弦长公式求斜率或由直角三角形列方程求斜率；2P 在以 C1C2的中垂线上,且
6、与C1、C2等腰直角三角形,利用几何关系计算可得点P 坐标;解：1圆C1被直线所截,弦长为2 3设直线l的方程为y k(x 4),即kx y 4k 0（3）（2k(3)1 4kk2(1)2)2 4解得 k=0或7247(x 4),所以,所求直线l的方程为y 0或y 242 依题意点 P 在 C1C2的中垂线上,且与 C1、C2等腰直角三角形,设点P(x,y)则C1(3,1),C2(4,5),取 C1C2中点为D1，32PD C1C2,PC1 PC2由KPD KC1C 1且KPC1 KPC2 1得：2点 P 坐标为(3 1351,)或(,);2 222点评：本题综合考察直线与圆的相关问题,其中牵
7、扯到直线的斜率、直线方程、两直线的位置关系、点到直线的距离、圆的方程、直线与圆的位置关系以及相关几何关系;学习时要对这些问题理解清楚、把握准确、熟练运用;四、圆与圆相交四、圆与圆相交2222x y 4x y 2ay 6 0(a 0)的 公 共 弦 长 为2 3,则例5.若 圆与 圆a=_.分析：因为,两圆相交连心线垂直公共弦,垂直于弦且平分弦,所以,由勾股定理可解;y 解：由已知,两个圆的方程作差可以得到相交弦的直线方程为1a,利用圆心 0,0 到直线1|a221为2 31,解得 a=1的距离 d|点评：本试题考查了直线与圆的位置关系以及点到直线的距离公式的运用;考察了同学们的运算能力和推理能力;