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1、知识点一、根的判别式知识点一、根的判别式从配方法那里我们知道不是所有的一元二次方程都是有实数解的,原因在于配方得到一元二次方程根与系数的关系一元二次方程根与系数的关系4b24acb2 ac的右边的项为；而当 0,是不能开方的是不能开方的,所以方程无实数解所以方程无实数解.而而4a24a2b24ac与 0 的大小关系又取决于b24ac；24a所以：当所以：当b 4ac 0时时,方程有两个不相等的实数根；方程有两个不相等的实数根；当当b 4ac 0时时,方程有两个相等的实数根；方程有两个相等的实数根；当当b 4ac 0时时,方程没有实数根方程没有实数根.由此可知由此可知b24ac的取值决定了一元二
2、次方程根的情况的取值决定了一元二次方程根的情况,我们把我们把b24ac称作根的判别称作根的判别式式,用符号用符号 表示；即：b 4ac根的判别式的作用：根的判别式的作用：定根的个数；求待定系数的值；应用于其它.2222例题精讲例题精讲【例1】不解方程,判别一元二次方程2x26x 1的根的情况是A有两个不相等的实数根B没有实数根C有两个相等的实数根D无法确定【例2】假 如 方 程(m 2)x2 2(m 1)x m 0只 有 一 个 实 数 根,那 么 方 程(m 1)x2 2mx m 2 0 A没有实数根B有 2 个不同的实数根C有 2 个相等的实数根D实数根的个数不能确定【例3】k的何值时？关
3、于x的一元二次方程x24x k 5 0：有两个不相等的实数根；有两个相等的实数根；没有实数根【例4】m为给定的有理数,k为何值时,方程x2 41 mx 3m2 2m 4k 0的根为有理数？12【例5】关于方程x (2k 1)x 4(k)02求证：无论k取何值,这个方程总有实数根；.c恰好是这个方程的两个实数根,求这假如等腰ABC的一边长为4,另两边长b、个三角形的周长针对练习针对练习1、方程 3x+2=4x 的判别式 b-4ac=,所以方程的根的情况是.222、一元二次方程 x-4x+4=0 的根的情况是 2A.有两个不等的实数根 B.有两个相等的实数根C.没有实数根 D.不能确定3、方程 a
4、x+bx+c=0有实数根,那么总成立的式子是 2A.b-4ac0 B.b-4ac0C.b-4ac0 D.b-4ac04、如果方程 9x-x+k+1=0 有两个相等的实数根,那么 k=.222225、试说明关于 x 的方程 x+x+k-1=0 必定有两个不相等的实数根.26、一元二次方程x+x+1=0 有两个不相等的实数根,求的取值 X 围.2227、关于 x 的方程 x+2kx+1=0 有两个不相等的实数根,如此 kA.k-1 B.k-1 C.k1 D.k08、当 k 为何值时,关于 x 的方程 kx 2k1 xk3=0 有两个不相等的实数根？29.关于 x 的方程x2k 2x2k 0,求证：
5、无论 k 取何值时,方程总有实数根；假如等腰ABC 的一边长为 1,另两边长恰好是方程的两个根,求ABC 的周长.知识点二、韦达定理知识点二、韦达定理当0 时,由求根公式可知x1、2bb24ac.2abb24acbb24ac可令x1,x22a2ax1 x2 注意：注意：前提：前提：对于ax bx c 0而言,当满足a 0、0时,才能用韦达定理.主要内容：主要内容：x1 x2 应用：应用：整体代入求值.2bc,x1x2.我们把方程两根与方程系数存在的这种关系式称为：韦达定理韦达定理aabc,x1x2aa例题精讲例题精讲.例题例题 1 1、x1、x2是方程 2x+3x4=0 的两个根,不解方程,那
6、么：错误错误!x1+x2=；错误错误!x1x2=；错误错误!21122+=；错误错误!x1+x2=；错误错误!x1x2=.x1x22针对练习针对练习.1、方程3x x1 0的两个根是 x1,x2,求代数式2x1x2的值.x21x112、设 x1,x2是方程 2x+4x-3=0 的两个根,利用根与系数的关系,求如下各式的值：1 x1+1 x2+122x2x1x1x2例题例题 2 2、x1,x2是一元二次方程2x 3x 1 0的两根,求以x1 x2,x1x2为根的方程.例题例题 3.3.关于 x 的一元二次方程 x-2kx+212k-2=0.2 求证:不论 k 为何值,方程总有两不相等实数根.2
7、设 x1,x2是方程的根,且 x1-2kx1+2x1x2=5,求 k 的值.例题例题 4.4.关于 x 的方程k2x22k 1x10有两个不相等的实数根x1,x2,1求 k 的取值 X 围；2是否存在实数k,使方程的两实数根互为相反数？假如存在,求出 k 的值；假如不存在,请说明理由.例题例题 5.5.如果关于 x 的方程x kx 2 0与方程x x 2k 0均有实数根,问这两方程是否有一样的根？假如有,请求出这一样的根与 k 的值；假如没有,请说明理由.2例题例题 6.6.一元二次方程x+2mx+m-3=0 有两个不相等的实数根,并且这两个根又不互为相反数,(1)求 m 的取值 X 围;当
8、m 在取值 X 围内取得最小偶数时,方程的两根为 x1,x2,求 3x1-4x2+1 的值.例题例题 7 7.关于 x 的方程 kx+k+1x+（1）求 k 的取值 X 围2是否存在实数 k,使方程的两个实数根的倒数和等于0?假如存在,求出 k 的值；假如不存在,请说明理由例题例题 8.8.方程 x-4x-2m+8=0 的两根一个大于 1,另一个小于 1,求 m 的取值 X 围.22例题例题9 9.:ABC的两边AB,AC是关于x的一元二次方程x-x+k+3k+2=0的两个实数根,第三边 BC 的长为 5,(1)k 为何值时,ABC 是以 BC 为斜边的直角三角形;22222k=0 有两个不相
9、等的实数根4.k 为何值时,ABC 是等腰三角形,并求出此时ABC 的周长.随堂练习：随堂练习：1.不解方程判断如下方程中无实数根的是 A.-x=2x-1 B.4x+4x+2252=0;C.2x x3 0 D.=-542.关于x的一元二次方程x2mxm2 0的根的情况是A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.无法确定3.关于x的一元二次方程x 3x2m 0的根的情况是A有两个不相等的实根 B有两个相等的实根 C无实数根 D不能确定2324.如果 x+x1=0,那么代数式 x+2x 7 的值是 A6 B8 C6 D825.一元二次方程一根比另一根大8,且两根之和为
10、6,那么这个方程是 A.x 6x2227=0B.x 6x+7=0C.x+6x7=0D.x+6x+7=0226.关于x的一元二次方程x 6xk 1 0的两个实数根是x1，x2,且x1 x224,如此222k的值是 A8B7C6D57.关于x的方程(a 6)x 8x6 0有实数根,如此整数a的最大值是A6B7C8D9228.x1、x2是方程 x 2mx+3m=0 的两根,且满足=22m 如此 m 等于 A.2 B.-9 C.-9 或 2 D.9 或 29.当 k 时,关于 x 的二次三项式x kx 9是完全平方式.10.当k取时,多项式3x2 4x 2k是一个完全平方式,这个完全平方式11.设方程
11、x 3x 4 0的两根分别为x1,x2,如此x1+x2=_,x1x2=_2222x1 x2_,x1 x2=_,x1 x1x23x1=_22212.假如方程 x-x+p=0 的两根之比为 3,如此 p=13.方程mx mx 2 0有两个不相等的实数根,如此 m 的值是.14.如果关于 x 的一元二次方程 2x-x+6=0 没有实数根,那么 k 的最小整数值是_215.假如一元二次方程x-4x-5=0 有两个不相等实数根,如此 k 的取值 X 围是_16.一元二次方程x231 x3 1 0的两根为x1、x2,如此11_x1x222217.关于 x 的方程 x 3x+m=0 的一个根是另一个根的2 倍,如此 m 的值为_2y kx2,18.k为何值时,方程组2y 4x2y1 0.1有两组相等的实数解,并求此解；2有两组不相等的实数解；.3没有实数解.