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1、1第第 2 2 节直接证明与间接证明节直接证明与间接证明一、学习目标：一、学习目标： 1. 了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、 特点。 2. 了解间接证明的一种基本方法反证法；了解反证法的思考过程、特点。二、重点、难点二、重点、难点 重点：了解分析法和综合法的思考过程、特点。 难点：运用分析法、综合法提高分析问题和解决问题的能力。三、考点分析：三、考点分析： 对两种直接证明方法的考查在选择题、填空题和解答题中都有出现，单纯的考查并不 常见，作为解决问题的工具，与其他知识综合运用的特点比较突出。它可以和很多知识， 如函数、数列、三角函数、导数等相联系，证明
2、时不仅要用到不等式的相关知识，还要用 到其他数学知识、技能和技巧，而且还考查了运算能力，分析问题和解决问题的能力。对 于反证法很少单独命题，但是运用反证法分析问题、进行证题思路的判断则经常用到，有 独到之处。三种证明方法的定义与步骤： 1. 综合法是由原因推导到结果的证明方法，它是利用已知条件和某些数学定义、公理、 定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立的证明方法。 2. 分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件， 直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定义、公理、定 理等）为止的证明方法。 3. 假设原命题的结论
3、不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，由此说明假设错误，从 而证明了原命题成立，这样的方法叫反证法；它是一种间接的证明方法。用这种方法证明 一个命题的一般步骤：（1）假设命题的结论不成立；（2）根据假设进行推理，直到推理 中导出矛盾为止；（3）断言假设不成立；（4）肯定原命题的结论成立。知识点一：知识点一：综合法综合法例例 1 1 对于定义域为0,1的函数( )f x，如果同时满足以下三个条件：对任意的 0,1x，总有( )0f x ；(1)1f；若12120,0,1xxxx，都有1212()()()f xxf xf x成立，则称函数( )f x为理想函数。（1）若函数( )f x为理想函数，
4、求(0)f的值；（2）判断函数( )21xg x （ 1 , 0x）是否为理想函数，并予以证明。思路分析：思路分析：（1）取021 xx可得0)0()0()0()0(ffff。由此可求出2f（0）的值。 （2）12)(xxg在0，1满足条件0)(xg； 也满足条件1) 1 (g。若01x，02x，121 xx，满足条件，收此知故 g（x）理想函数。解题过程：解题过程：（1）取021 xx可得0)0()0()0()0(ffff。 又由条件0)0(f，故0)0(f。 （2）显然12)(xxg在0，1满足条件0)(xg； 也满足条件1) 1 (g。若01x，02x，121 xx，则 )12() 12
5、(12)()()(2121 2121xxxxxgxgxxg 0) 12)(12(1222122121xxxxxx，即满足条件， 故)(xg为理想函数。 解题后反思：解题后反思：要证明函数( )21xg x （ 1 , 0x）满足三个条件，得紧扣定义，逐 个验证。知识点二：分析法知识点二：分析法 例例 2 2 ABC 的三个内角 A、B、C 成等差数列，求证：cbacbba311思路分析：思路分析：本题的关键是将cbacbba311等价转换，以及三个内角 A、B、C 成等差数列的应用。解题过程：解题过程：证明：要证cbacbba311，需证3 cbcba bacba。即证1cba bac。需证)
6、()()(cbbabaacbc，需证222bacacABC 三个内角 A、B、C 成等差数列。B60。由余弦定理，有60cos2222caacb，即acacb222。222bacac成立，命题得证。 解题后反思：解题后反思：注意分析法的书写“格式”是“要证只需证” ，而不是“因 为所以”知识点三：知识点三：反证法反证法例例 3 3 已知，, ,(0,1)a b c，求证：(1) ,(1) ,(1)a bb cc a不能同时大于1 4。思路分析：思路分析：求证：(1) ,(1) ,(1)a bb cc a不能同时大于1 4，可用反证法假设可以同时大于1 4，让三个等式左边右边分别相乘得到 111
7、164a bb cc a ，根据211124aaa a可以判断错误，故假设不成立，即得证。解题过程：解题过程：证法一：假设三式同时大于1 4，即114a b ，114b c ，3114c a, ,0,1a b c，三式同向相乘得 111164a bb cc a ，又211124aaa a，同理114b b ，114c c 111164a bb cc a ，这与假设矛盾，故原命题得证。证法二：假设三式同时大于1 4，01, 10aa， 1111,242aba b同理11,22bc11,22ca 三式相加得33 22 ，这是矛盾的，故假设错误， 所以原命题得证。解题后反思：解题后反思：“不能同时大
8、于1 4”包含多种情形，不易直接证明，可用反证法证明。 即正难则反： （1）当遇到否定性、唯一性、无限性、至多、至少等类型问题时，常用反证法。（2）用反证法的步骤是：否定结论ABC；而C不合理 与公理矛盾 与题设矛盾 与假设自相矛盾 ；因此结论不能否定，原结论成立。 反证法属于“间接证明法” ，是从反面角度思考问题的证明方法，即：肯定题设而否定 结论，从而导出矛盾推理。反证法就是从否定命题的结论入手，并把对命题结论的否定作 为推理的已知条件，进行正确的逻辑推理，使之得到与已知条件、已知公理、定理、法则 或者已经证明为正确的命题等相矛盾，矛盾的原因是假设不成立，所以肯定了命题的结论， 从而使命题
9、获得了证明。知识点四：知识点四：综合法、分析法综合应用综合法、分析法综合应用例例 4 4 设a，b，c为正实数，求证：32111333abccba。思路分析：思路分析：由333111 cba想到可应用不等式33 abccba。解题过程：解题过程：因为, ,a b c为正实数，由平均不等式可得33333331113111 cbacba，即 3331113 abcabc，所以3331113abcabcabcabc，而32323abcabcabcabc，4所以32111333abccba。解题后反思：解题后反思：综合法是从已知到未知的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或从已 证的命题出发，经过一系列
10、的推理，最后导出要证的结论。证明不等式常用的性质有)0, 0(2baabba，abba222等，但应用这些不等式证明时，要注意不等式应用的范围和“”取得的充要条件。例例 5 5 如图，倾斜角为的直线经过抛物线xy82的焦点F，且与抛物线交于A、 B两点。 （1）求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程； （2）若为锐角，作线段AB的垂直平分线m交x轴于点P，证明 2cosFPFP 为定值，并求此定值。思路分析：思路分析：使用常规思路，即可以采用综合法解决问题。解题过程：解题过程：（1）抛物线的标准方程为xy82，则焦点的坐标为（2，0） ，准线l的方程为2x。 （2）证明：如图，作lAC ，lBD
11、 ，垂足为C、D，则由抛物线的定义知 ACFA ，BDFB ，记A、B的横坐标分别为Ax，Bx，则FA4cos|22cos|2aFAppaFApxA解得4|.1 cosFAa类似地，解得aFBcos14|。记直线m与AB的交点为E，则2|FBFAFAAEFAFEaa aaFBFA2sincos4 cos14 cos14 21|)|(|21 ，所以aaFEFP2sin4 cos|。故。5解题后反思：解题后反思：本题是应用综合法解决解析几何问题，掌握综合法证明的基本方法是 “由因导果” ，即由已知条件出发，顺着推证，逐步推出求证的结论，综合法的特点是表述 简单，条理清晰，它常用的是“，” ，或“因
12、为，所以” ，或“”等表述方法。（天津高考）（天津高考）对实数a与b，定义新运算“”：,1, ,1.a ababb ab设函数 22( )2,.f xxxxxR若函数( )yf xc的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是（ ）A. 3, 21,2 B. 3, 21,4 C. 11,44D. 311,44 解题思路：解题思路：在新定义下给出分段函数，利用数形结合求出参数 C 的取值范围。解答过程：解答过程： 12,12, 2)(222222xxxxxxxxxxf 23, 1,231, 222xxxxxx或则 xf的图象如图6cxfy)(的图象与x轴恰有两个公共点，)(xfy 与cy 的
13、图象恰有两个公共点，由图象知2c，或431c。解题后反思：解题后反思：新定义问题考查的是即时反应能力，数形结合能使问题形象化。1. 分析法的特点是：从未知看需知，逐步靠拢已知。 2. 综合法的特点是：从已知看可知，逐步推出未知。 3. 分析法和综合法各有优缺点：分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方 法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，能较简捷地解决问题，但不便 于思考，实际证明时常常两法兼用，先用分析法探索证明的思路，然后再用综合法叙述出 来。 4. 对证明的考查往往会结合函数、数列、解析几何、导数等知识，既要掌握基本的证明 方法综合法和分析法，又要结合相关的数学知识，证明时把两种方法结合起来综合应 用。下节课同学们将学习直接证明当中的一种非常重要的方法数学归纳法，请同学们阅读 课本，思考：数学归纳法与多米诺骨牌之间有什么联系呢？根据多米诺骨牌的原理，你能 理解数学归纳法吗？