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1、- 1 -2 22.12.1 直接证明直接证明学习目标 1.了解直接证明的两种基本方法综合法和分析法.2.理解综合法和分析法的思考过程、特点，会用综合法和分析法证明数学问题知识链接1综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？答 综合法与分析法的推理过程是演绎推理，因为综合法与分析法的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想” 2必修 5 中基本不等式(a0，b0)是怎样证明的？ab 2ab答 要证，ab 2ab只需证ab2，ab只需证ab20，ab只需证()20，ab因为()20 显然成立，所以原不等式成立ab预习导引1直接证明直接从原命题的
2、条件逐步推得命题成立的证明通常称为直接证明综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题时常用的思维方式2综合法从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止，这种证明方法通常称为综合法3分析法从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止，这种证明方法通常称为分析法.要点一 综合法的应用- 2 -例 1 已知a，b是正数，且ab1，求证： 4.1 a1 b证明 方法一 a，b是正数且ab1，ab2， ， 4.abab1 21 a1 bab ab1 ab方法二 a，b是正数，ab20，a
3、b 20，1 a1 b1 ab(ab)4.(1 a1 b)又ab1， 4.1 a1 b方法三 1 1224.当且仅当ab时，取“” 1 a1 bab aab bb aa bb aa b规律方法 利用综合法证明问题的步骤：(1)分析条件选择方向：仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的优化解法(2)转化条件组织过程：把题目的已知条件，转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化，组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路(3)适当调整回顾反思：解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，并对一些语
4、言进行适当的修饰，反思总结优化解法跟踪演练 1 在ABC中，三个内角A、B、C对应的边分别为a、b、c，且A、B、C成等差数列，a、b、c成等比数列，求证：ABC为等边三角形证明 由A、B、C成等差数列，有 2BAC.因为A、B、C为ABC的内角，所以ABC.由，得B. 3由a、b、c成等比数列，有b2ac.由余弦定理及，可得b2a2c22accosBa2c2ac.再由，得a2c2acac，即(ac)20，因此ac，从而有AC.由，得ABC.所以ABC为等边三角形 3要点二 分析法的应用- 3 -例 2 设a，b为实数，求证：(ab)a2b222证明 当ab0 时，0，a2b2(ab)成立a2
5、b222当ab0 时，用分析法证明如下：要证(ab)，a2b222只需证()22，a2b222(ab)即证a2b2 (a2b22ab)，即证a2b22ab.1 2a2b22ab对一切实数恒成立，(ab)成立综上所述，不等式得证a2b222规律方法 分析法格式与综合法正好相反，它是从要求证的结论出发，倒着分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知(已知条件、已经学过的定义、定理、公理、公式、法则等)这种证明的方法关键在于需保证分析过程的每一步都是可以逆推的它的常见书写表达式是“要证只需”或“” 跟踪演练 2 如图所示，SA平面ABC，ABBC，过A作SB的垂线，垂足为E，过E作SC的垂线，垂足为F
6、.求证：AFSC.证明 要证AFSC，只需证SC平面AEF，只需证AESC(因为EFSC)，只需证AE平面SBC，只需证AEBC(因为AESB)，只需证BC平面SAB，只需证BCSA(因为ABBC)由SA平面ABC可知上式成立，所以AFSC.- 4 -要点三 综合法和分析法的综合应用例 3 已知a、b、c是不全相等的正数，且 0abc.ab 2bc 2ac 2由公式0，0，0，ab 2abbc 2bcac 2ac又a，b，c是不全相等的正数，abc.ab 2bc 2ac 2a2b2c2即abc成立ab 2bc 2ac 2logxlogxlogxb；ba；ab 2ababab 2ba；ba.ab
7、 2abab 2ab答案 3求证：g(x)恒4x2成立，则实数b的取值范围是_答案 (2，)10解析 由已知得3xb，h(x) 4x22所以h(x)6x2b.4x2h(x)g(x)恒成立，即 6x2b，4x24x23xb恒成立4x2在同一坐标系内，画出直线y3xb及半圆y(如图所示)，4x2可得2，即b2，故答案为(2，)b1010107在ABC中，三边a，b，c成等比数列，求证：acos2ccos2b.C 2A 23 2证明 左边a(1cosC) 2c(1cosA) 2 (ac) (acosCccosA)1 21 2 (ac) (ac)1 21 2a2b2c2 2abb2c2a2 2bc-
8、8 - (ac)b1 21 2acb 2b b右边b 23 2acos2ccos2b.C 2A 23 2二、能力提升8设 0xa，abc.29p，q(m，n，a，b，c，d均为正数)，则p，q的大小关系为abcdmancb md n_答案 pq解析 qabmadnnbcmcdab2abcdcdp.abcd10.如图所示，在直四棱柱A1B1C1D1ABCD中，当底面四边形ABCD满足条件_时，有A1CB1D1(注：填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑所有可能的情形)答案 对角线互相垂直解析 本题答案不惟一，要证A1CB1D1，只需证B1D1垂直于A1C所在的平面A1CC1，因为该四棱柱为直四棱
9、柱，所以B1D1CC1，故只需证B1D1A1C1即可11已知a0，b0， 1.求证：.1 b1 a1a11b证明 要证成立，1a11b只需证 1a，1 1b只需证(1a)(1b)1(1b0)，- 9 -即 1baab1，abab，只需证1，即 1.ab ab1 b1 a由已知a0， 1 成立，1 b1 a成立1a11b12求证抛物线y22px(p0)，以过焦点的弦为直径的圆必与x 相切p 2证明 如图，作AA、BB垂直准线，取AB的中点M，作MM垂直准线要证明以AB为直径的圆与准线相切，只需证MMAB1 2由抛物线的定义：AAAF，BBBF，所以ABAABB，因此只需证MM (AABB)，1
10、2根据梯形的中位线定理可知上式是成立的所以以过焦点的弦为直径的圆必与x 相切p 2三、探究与创新13设数列an的前n项和为Sn，已知a11，an1n2n ，nN N*.2Sn n1 32 3(1)求a2的值；(2)求数列an的通项公式；(3)证明：对一切正整数n，有 .1 a11 a21 an7 4(1)解 当n1 时，2a1a2 1 2，2S1 11 32 3解得a24.(2)解 2Snnan1n3n2n，1 32 3- 10 -当n2 时，2Sn1(n1)an (n1)3(n1)2 (n1)，1 32 3得 2annan1(n1)ann2n，整理得nan1(n1)ann(n1)，即1，1，当n1 时，an1 n1an nan1 n1an n211.a2 2a1 1所以数列是以 1 为首项，1 为公差的等差数列an n所以n，即ann2.an n所以数列an的通项公式为ann2，nN N*.(3)证明 因为 (n2)，1 an1 n21 (n1)n1 n11 n所以1 1 1a11a21an1121221321n214(1213) (1314)(1n11n)1412 .1n741n74