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1、理论力学十四虚位移原理第1页，本讲稿共25页广义坐标与自由度广义坐标与自由度广义坐标与自由度广义坐标与自由度y yx xO Ol lA A(x x,y y)y yx xO OA A(x x1 1,y y1 1)B B(x x2 2,y y2 2)ab广义坐标广义坐标广义坐标广义坐标 确定质点确定质点确定质点确定质点系位形的独立参变量。系位形的独立参变量。系位形的独立参变量。系位形的独立参变量。第2页，本讲稿共25页广义坐标广义坐标广义坐标广义坐标 确定质点系位形的独立参变。用确定质点系位形的独立参变。用确定质点系位形的独立参变。用确定质点系位形的独立参变。用 q q1 1，q q2 2，表示。
2、表示。表示。表示。自自自自 由由由由 度度度度 在完整约束条件下，确定质点系位置的独立参变在完整约束条件下，确定质点系位置的独立参变在完整约束条件下，确定质点系位置的独立参变在完整约束条件下，确定质点系位置的独立参变量的数目等于系统的自由度数。量的数目等于系统的自由度数。量的数目等于系统的自由度数。量的数目等于系统的自由度数。对于稳定的完整约束，各质点的坐标可以写成广义坐标的函数对于稳定的完整约束，各质点的坐标可以写成广义坐标的函数对于稳定的完整约束，各质点的坐标可以写成广义坐标的函数对于稳定的完整约束，各质点的坐标可以写成广义坐标的函数形式形式形式形式N=N=3 3n ns s 第3页，本讲
3、稿共25页做变换做变换做变换做变换其中其中其中其中 是广义坐标。是广义坐标。是广义坐标。是广义坐标。考虑如图所示不计摩擦的考虑如图所示不计摩擦的考虑如图所示不计摩擦的考虑如图所示不计摩擦的二自由度系统，参数二自由度系统，参数二自由度系统，参数二自由度系统，参数定义坐标定义坐标定义坐标定义坐标 后，可后，可后，可后，可得系统运动方程：得系统运动方程：得系统运动方程：得系统运动方程：可得解耦的等价可得解耦的等价可得解耦的等价可得解耦的等价系统：系统：系统：系统：它有更清晰的物理意义。它有更清晰的物理意义。它有更清晰的物理意义。它有更清晰的物理意义。第4页，本讲稿共25页约约约约 束束束束物体运动所
4、受到的限制物体运动所受到的限制物体运动所受到的限制物体运动所受到的限制1.1.几何约束与运动约束几何约束与运动约束几何约束与运动约束几何约束与运动约束y yx xO OA AA A0 0l l几何约束几何约束几何约束几何约束在质点系中，几何约束只能限制在质点系中，几何约束只能限制在质点系中，几何约束只能限制在质点系中，几何约束只能限制各质点在空间的位置或质点系的各质点在空间的位置或质点系的各质点在空间的位置或质点系的各质点在空间的位置或质点系的位形。位形。位形。位形。摆摆摆摆14-1 14-1 约束约束约束约束 虚位移虚位移虚位移虚位移 虚功虚功虚功虚功第5页，本讲稿共25页运动约束运动约束运
5、动约束运动约束在质点系中，所加的约束不仅限制各质点在空间的位置，还限制在质点系中，所加的约束不仅限制各质点在空间的位置，还限制在质点系中，所加的约束不仅限制各质点在空间的位置，还限制在质点系中，所加的约束不仅限制各质点在空间的位置，还限制它们运动的速度。它们运动的速度。它们运动的速度。它们运动的速度。O Oy yx xA Ax xB By yB Bx xA Ay yA AB Bv vA A圆轮只滚动不滑动的约束圆轮只滚动不滑动的约束圆轮只滚动不滑动的约束圆轮只滚动不滑动的约束导弹运动方向的约束导弹运动方向的约束导弹运动方向的约束导弹运动方向的约束C CO Oy yx xC C*第6页，本讲稿共
6、25页2.2.定常约束与非定常约束定常约束与非定常约束定常约束与非定常约束定常约束与非定常约束定常约束定常约束定常约束定常约束约束方程中不显含时间的约束：约束方程中不显含时间的约束：约束方程中不显含时间的约束：约束方程中不显含时间的约束：非定常约束非定常约束非定常约束非定常约束约束方程中显含时间的约束：约束方程中显含时间的约束：约束方程中显含时间的约束：约束方程中显含时间的约束：y yx xvO OM第7页，本讲稿共25页3.3.单单单单侧约束与双侧约束侧约束与双侧约束侧约束与双侧约束侧约束与双侧约束双侧约束（固执约束）双侧约束（固执约束）双侧约束（固执约束）双侧约束（固执约束）约束方程可以写
7、成等式的约束。约束方程可以写成等式的约束。约束方程可以写成等式的约束。约束方程可以写成等式的约束。单侧约束（非固执约束）单侧约束（非固执约束）单侧约束（非固执约束）单侧约束（非固执约束）约束方程不能写成等式、但是约束方程不能写成等式、但是约束方程不能写成等式、但是约束方程不能写成等式、但是可以写成不等式的约束。可以写成不等式的约束。可以写成不等式的约束。可以写成不等式的约束。B BB By yx xO Oy yx xO O双侧约束双侧约束双侧约束双侧约束单侧约束单侧约束单侧约束单侧约束第8页，本讲稿共25页y yx xO Oy yx xO OA AA AA A0 0l lA A0 0l l双侧
8、约束双侧约束双侧约束双侧约束单侧约束单侧约束单侧约束单侧约束第9页，本讲稿共25页4.4.完整完整完整完整约束与非完整约束约束与非完整约束约束与非完整约束约束与非完整约束完整约束完整约束完整约束完整约束 约束方程不包含质点速度，或者包含质点约束方程不包含质点速度，或者包含质点约束方程不包含质点速度，或者包含质点约束方程不包含质点速度，或者包含质点速度但约束方程是可以积分的约束。速度但约束方程是可以积分的约束。速度但约束方程是可以积分的约束。速度但约束方程是可以积分的约束。非完整约束非完整约束非完整约束非完整约束 约束方程包含质点速度、且约束方程不约束方程包含质点速度、且约束方程不约束方程包含质
9、点速度、且约束方程不约束方程包含质点速度、且约束方程不可以积分的约束。可以积分的约束。可以积分的约束。可以积分的约束。第10页，本讲稿共25页约束方程不可积分，所以导弹所约束方程不可积分，所以导弹所约束方程不可积分，所以导弹所约束方程不可积分，所以导弹所受的约束为非完整约束。受的约束为非完整约束。受的约束为非完整约束。受的约束为非完整约束。圆轮所受约束为完整约束。圆轮所受约束为完整约束。圆轮所受约束为完整约束。圆轮所受约束为完整约束。C CO Oy yx xC C*O Oy yx xA Ax xB By yB Bx xA Ay yA AB Bv vA A可以积分为：可以积分为：可以积分为：可以
10、积分为：第11页，本讲稿共25页虚位移虚位移虚位移虚位移xyOB BA AMF F质点系在给定瞬时，为质点系在给定瞬时，为质点系在给定瞬时，为质点系在给定瞬时，为约束所允许的无限小位约束所允许的无限小位约束所允许的无限小位约束所允许的无限小位移移移移虚位移虚位移虚位移虚位移（1 1）虚位移是假定约束不改变而设想的位移；）虚位移是假定约束不改变而设想的位移；）虚位移是假定约束不改变而设想的位移；）虚位移是假定约束不改变而设想的位移；（2 2）虚位移不是任何随便的位移，它必须为约束所允许；）虚位移不是任何随便的位移，它必须为约束所允许；）虚位移不是任何随便的位移，它必须为约束所允许；）虚位移不是任
11、何随便的位移，它必须为约束所允许；（3 3）虚位移是一个假想的位移，它与实位移不同；）虚位移是一个假想的位移，它与实位移不同；）虚位移是一个假想的位移，它与实位移不同；）虚位移是一个假想的位移，它与实位移不同；（4 4）在完整定常约束下，虚位移方向沿其速度方向。）在完整定常约束下，虚位移方向沿其速度方向。）在完整定常约束下，虚位移方向沿其速度方向。）在完整定常约束下，虚位移方向沿其速度方向。第12页，本讲稿共25页 虚位移与实位移的区别和联系虚位移与实位移的区别和联系虚位移与实位移的区别和联系虚位移与实位移的区别和联系（1 1）在完整定常约束下，实位移是诸多虚位移中的一个；）在完整定常约束下，
12、实位移是诸多虚位移中的一个；）在完整定常约束下，实位移是诸多虚位移中的一个；）在完整定常约束下，实位移是诸多虚位移中的一个；MMMM1 1d dr rd dr re er rd dr r 实位移实位移实位移实位移 r r 虚位移虚位移虚位移虚位移实位移实位移实位移实位移质点或质点系在其真实运动中，在一定的时间间质点或质点系在其真实运动中，在一定的时间间质点或质点系在其真实运动中，在一定的时间间质点或质点系在其真实运动中，在一定的时间间 隔内发生的位移。隔内发生的位移。隔内发生的位移。隔内发生的位移。（2 2）在完整定常约束下，虚位移方向沿其速度方向。）在完整定常约束下，虚位移方向沿其速度方向。
13、）在完整定常约束下，虚位移方向沿其速度方向。）在完整定常约束下，虚位移方向沿其速度方向。第13页，本讲稿共25页虚功虚功虚功虚功 质点或质点系所受的力在虚位移上所作的功质点或质点系所受的力在虚位移上所作的功质点或质点系所受的力在虚位移上所作的功质点或质点系所受的力在虚位移上所作的功虚功。虚功。虚功。虚功。W W=FF r r 理想约束理想约束理想约束理想约束 质点或质点系的约束反力在虚位移上所作的虚功等于零，我们质点或质点系的约束反力在虚位移上所作的虚功等于零，我们质点或质点系的约束反力在虚位移上所作的虚功等于零，我们质点或质点系的约束反力在虚位移上所作的虚功等于零，我们把这种约束系统称为理想
14、约束。把这种约束系统称为理想约束。把这种约束系统称为理想约束。把这种约束系统称为理想约束。W W=MM F FN Ni i r ri i =0 0第14页，本讲稿共25页F Fi iF FN Ni im m1 1m m2 2m mi i r ri iF Fi i 主动力主动力主动力主动力F FN Ni i约束反力约束反力约束反力约束反力 r ri i虚位移虚位移虚位移虚位移F Fi i +F+FN Ni i=0 0F Fi i r ri i+F+FN Ni i r ri i =0 0 F Fi i r ri i+F FN Ni i r ri i =0 0 F FN Ni i r ri i =0
15、 0 F Fi i r ri i=0 0 对于具有理想约束的质点系，其平衡条件对于具有理想约束的质点系，其平衡条件对于具有理想约束的质点系，其平衡条件对于具有理想约束的质点系，其平衡条件是：作用于质点系的主动力在任何虚位移是：作用于质点系的主动力在任何虚位移是：作用于质点系的主动力在任何虚位移是：作用于质点系的主动力在任何虚位移中所作的虚功的和等于零中所作的虚功的和等于零中所作的虚功的和等于零中所作的虚功的和等于零虚位移原理虚位移原理虚位移原理虚位移原理14-2 14-2 虚位移虚位移虚位移虚位移原理原理原理原理第15页，本讲稿共25页 F Fi i r ri i=0 0 上式称为虚位移原理的
16、上式称为虚位移原理的上式称为虚位移原理的上式称为虚位移原理的解析表达式解析表达式解析表达式解析表达式 应用虚位移原理解题时，主要是建立虚位移间的关系，通常采应用虚位移原理解题时，主要是建立虚位移间的关系，通常采应用虚位移原理解题时，主要是建立虚位移间的关系，通常采应用虚位移原理解题时，主要是建立虚位移间的关系，通常采用以下方法：用以下方法：用以下方法：用以下方法：（1 1）通过运动学关系，直接找出虚位移间的几何关系；）通过运动学关系，直接找出虚位移间的几何关系；）通过运动学关系，直接找出虚位移间的几何关系；）通过运动学关系，直接找出虚位移间的几何关系；（2 2）建立坐标系，选广义坐标，然后仿照
17、函数求微分的方法对）建立坐标系，选广义坐标，然后仿照函数求微分的方法对）建立坐标系，选广义坐标，然后仿照函数求微分的方法对）建立坐标系，选广义坐标，然后仿照函数求微分的方法对坐标求变分，从而找出虚位移（坐标变分）间的关系。坐标求变分，从而找出虚位移（坐标变分）间的关系。坐标求变分，从而找出虚位移（坐标变分）间的关系。坐标求变分，从而找出虚位移（坐标变分）间的关系。第16页，本讲稿共25页已知：已知：已知：已知：OA=rOA=r ,AB=l,AB=l,不计各杆质量不计各杆质量不计各杆质量不计各杆质量。求：求：求：求：平衡时平衡时平衡时平衡时F F与与与与M M 间的关系。间的关系。间的关系。间的
18、关系。B BA AO O解：解：解：解：取系统为研究对象取系统为研究对象取系统为研究对象取系统为研究对象 F Fi i r ri i=0 0 由运动学关系可知：由运动学关系可知：由运动学关系可知：由运动学关系可知：MF F例例14-1第17页，本讲稿共25页CBADMM 已知：已知：已知：已知：菱形边长为菱形边长为菱形边长为菱形边长为a a ,求：求：求：求：物体物体物体物体C C所受到的压力。所受到的压力。所受到的压力。所受到的压力。螺距为螺距为螺距为螺距为h h，顶角为，顶角为，顶角为，顶角为2 2 ，主动力偶为，主动力偶为，主动力偶为，主动力偶为M.M.F FN N r rA A r r
19、C C解：解：解：解：(1)(1)取系统为研究对象取系统为研究对象取系统为研究对象取系统为研究对象(2)(2)建立虚位移间的关系建立虚位移间的关系建立虚位移间的关系建立虚位移间的关系例例14-2第18页，本讲稿共25页xyCBADMM F FN N解法二：解法二：解法二：解法二：取建立图示坐标系取建立图示坐标系取建立图示坐标系取建立图示坐标系第19页，本讲稿共25页 r rC COABCDP PQ Q 图示操纵汽门的杠杆系统，图示操纵汽门的杠杆系统，图示操纵汽门的杠杆系统，图示操纵汽门的杠杆系统，已知已知已知已知OA/OB OA/OB=1/3=1/3，求此系统平衡时主，求此系统平衡时主，求此系
20、统平衡时主，求此系统平衡时主动力动力动力动力P P 和和和和Q Q 间的关系。间的关系。间的关系。间的关系。r rB B r rA A解：解：解：解：(1)(1)取系统为研究对象取系统为研究对象取系统为研究对象取系统为研究对象由运动学关系可知：由运动学关系可知：由运动学关系可知：由运动学关系可知：例例14-314-3第20页，本讲稿共25页图示系统中除连接图示系统中除连接图示系统中除连接图示系统中除连接HH点点点点的两杆长度为的两杆长度为的两杆长度为的两杆长度为l l 外外外外,其余各杆长度其余各杆长度其余各杆长度其余各杆长度均为均为均为均为 2 2l l,弹簧的弹性系数为弹簧的弹性系数为弹簧
21、的弹性系数为弹簧的弹性系数为k k,当当当当未加水平力未加水平力未加水平力未加水平力 P P 时弹簧不受力，且时弹簧不受力，且时弹簧不受力，且时弹簧不受力，且 =0 0 ，求平衡时水平力，求平衡时水平力，求平衡时水平力，求平衡时水平力P P 的大小。的大小。的大小。的大小。解：解：解：解：(1)(1)建立图示坐标系建立图示坐标系建立图示坐标系建立图示坐标系(2)(2)系统的虚功方程系统的虚功方程系统的虚功方程系统的虚功方程例例14-4第21页，本讲稿共25页(2)(2)系统的虚功方程系统的虚功方程系统的虚功方程系统的虚功方程第22页，本讲稿共25页求图示连续梁的支座反力。求图示连续梁的支座反力
22、。求图示连续梁的支座反力。求图示连续梁的支座反力。P PMMq ql ll l2 2l lABCD解：解：解：解：(1)(1)解除解除解除解除D D处约束，处约束，处约束，处约束，代之以反力代之以反力代之以反力代之以反力F FD D，并将，并将，并将，并将其视为主动力。其视为主动力。其视为主动力。其视为主动力。P PMMq qABCDF FD D s sE E s sD D其中其中其中其中解得解得解得解得例例14-514-5第23页，本讲稿共25页(2)(2)解除解除解除解除B B处约束，代之以反力处约束，代之以反力处约束，代之以反力处约束，代之以反力F FB B，并将其视为主动力。，并将其视
23、为主动力。，并将其视为主动力。，并将其视为主动力。F FB B s sB B s sC CP PMMq qABCD其中其中其中其中解得解得解得解得 s sE E由虚功方程，得由虚功方程，得由虚功方程，得由虚功方程，得代入虚功方程，得代入虚功方程，得代入虚功方程，得代入虚功方程，得第24页，本讲稿共25页P PMMq qABCDF FA A s sA A s sC C s sE E(3)(3)解除解除解除解除A A处约束，代之以反力处约束，代之以反力处约束，代之以反力处约束，代之以反力F FA A，并将其视为主动力。，并将其视为主动力。，并将其视为主动力。，并将其视为主动力。由虚功方程，得由虚功方程，得由虚功方程，得由虚功方程，得其中其中其中其中代入虚功方程，得代入虚功方程，得代入虚功方程，得代入虚功方程，得解得解得解得解得第25页，本讲稿共25页