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1、1141约束和约束方程约束和约束方程142自由度和广义坐标自由度和广义坐标143虚位移虚位移144理想约束理想约束145虚位移原理虚位移原理 146以广义坐标表示的质点系的平衡条件以广义坐标表示的质点系的平衡条件 147 质点系在势力场中平衡的稳定性质点系在势力场中平衡的稳定性第十四章第十四章虚位移原理虚位移原理2引引 言言ABCDEGF Fx xF F1 1y y 已已已已知知知知如如如如图图图图所所所所示示示示结结结结构构构构，ACAC=CECE=BCBC=CDCD=DGDG=G GE E=l l，各各各各杆杆杆杆自自自自重重重重不不不不计计计计。求求求求系系系系统统统统平平平平衡衡衡衡时
2、时时时力力力力F F和和和和力力力力F F1 1之之之之间的关系。间的关系。间的关系。间的关系。3引引 言言问题的提出问题的提出静力学问题是否可以借助动力学的分析方法来求解呢？静力学问题是否可以借助动力学的分析方法来求解呢？微小角度微小角度平衡条件：平衡条件：（a）杠杆杠杆由于在新的位置系统仍然平衡由于在新的位置系统仍然平衡（b）条件（条件（a）和条件（）和条件（b）是等价的）是等价的杠杆的平衡条件可用作用力在平衡附近的微小位移中所杠杆的平衡条件可用作用力在平衡附近的微小位移中所作的功来建立。作的功来建立。对于一般的非自由质点系是否能写出类似的对于一般的非自由质点系是否能写出类似的平衡条件呢？
3、答案是肯定的。平衡条件呢？答案是肯定的。4141 约束和约束方程约束和约束方程一、约束一、约束1 1 1 1、约束：约束：约束：约束：事先对质点或质点系的事先对质点或质点系的事先对质点或质点系的事先对质点或质点系的位置位置位置位置或或或或速度速度速度速度所加的限制条件。所加的限制条件。所加的限制条件。所加的限制条件。图图5141 约束和约束方程约束和约束方程2 2、约束方程：约束方程：约束方程：约束方程：将约束的限制条件将约束的限制条件将约束的限制条件将约束的限制条件通过质点或质点通过质点或质点通过质点或质点通过质点或质点系中各质点的坐标或速度系中各质点的坐标或速度系中各质点的坐标或速度系中各
4、质点的坐标或速度以数学方程来表示。以数学方程来表示。以数学方程来表示。以数学方程来表示。或或平面单摆平面单摆平面单摆平面单摆O OA AB Bryxl曲柄连杆机构曲柄连杆机构曲柄连杆机构曲柄连杆机构图图6141 约束和约束方程约束和约束方程纯滚动轮纯滚动轮纯滚动轮纯滚动轮图图7导弹导弹A追击目标追击目标B，要求导弹速度方向，要求导弹速度方向总指向目标。总指向目标。141 约束和约束方程约束和约束方程图图8141 约束和约束方程约束和约束方程初始时摆长初始时摆长初始时摆长初始时摆长 l l00,匀速匀速匀速匀速v v拉动绳子拉动绳子拉动绳子拉动绳子约束方程中显含时间约束方程中显含时间约束方程中显
5、含时间约束方程中显含时间t t t t 图图9141 约束和约束方程约束和约束方程10141 约束和约束方程约束和约束方程二、约束的分类二、约束的分类二、约束的分类二、约束的分类约束方程中不包含坐标对时间的导数，约束约束方程中不包含坐标对时间的导数，约束约束方程中不包含坐标对时间的导数，约束约束方程中不包含坐标对时间的导数，约束只限制质点的几何位置，而不限制速度。只限制质点的几何位置，而不限制速度。只限制质点的几何位置，而不限制速度。只限制质点的几何位置，而不限制速度。几何约束：几何约束：几何约束：几何约束：约束方程中包含坐标对时间的导数，约束除约束方程中包含坐标对时间的导数，约束除约束方程中
6、包含坐标对时间的导数，约束除约束方程中包含坐标对时间的导数，约束除了限制质点的几何位移还限制质点的速度。了限制质点的几何位移还限制质点的速度。了限制质点的几何位移还限制质点的速度。了限制质点的几何位移还限制质点的速度。运动约束：运动约束：运动约束：运动约束：几何约束几何约束运动约束运动约束几何约束几何约束几何约束几何约束可积分的运动约束可积分的运动约束可积分的运动约束可积分的运动约束不可积分的运动约束不可积分的运动约束不可积分的运动约束不可积分的运动约束完整约束完整约束完整约束完整约束-非完整约束非完整约束非完整约束非完整约束运动约束运动约束运动约束运动约束1 1、完整约束和非完整约束、完整约
7、束和非完整约束、完整约束和非完整约束、完整约束和非完整约束11141 约束和约束方程约束和约束方程2 2、定常约束和非定常约束、定常约束和非定常约束、定常约束和非定常约束、定常约束和非定常约束约束方程中不显含时间约束方程中不显含时间约束方程中不显含时间约束方程中不显含时间t t。定常约束定常约束定常约束定常约束(稳定约束）：稳定约束）：稳定约束）：稳定约束）：O OA AB Bryxl定常约束定常约束约束方程中显含时间约束方程中显含时间约束方程中显含时间约束方程中显含时间t t。非定常约束非定常约束非定常约束非定常约束(非稳定约束）：非稳定约束）：非稳定约束）：非稳定约束）：非定常约束非定常约
8、束12141 约束和约束方程约束和约束方程（用等式表示）（用等式表示）（用等式表示）（用等式表示）约束在两个方向都能起限制运动的作用。约束在两个方向都能起限制运动的作用。约束在两个方向都能起限制运动的作用。约束在两个方向都能起限制运动的作用。双面约束：双面约束：双面约束：双面约束：（不等式表示）（不等式表示）（不等式表示）（不等式表示）约束只在一个方向起作用，另一方向能约束只在一个方向起作用，另一方向能约束只在一个方向起作用，另一方向能约束只在一个方向起作用，另一方向能松弛或消失。松弛或消失。松弛或消失。松弛或消失。单面约束：单面约束：单面约束：单面约束：3 3、双面约束和单面约束、双面约束和
9、单面约束、双面约束和单面约束、双面约束和单面约束图图13141 约束和约束方程约束和约束方程双面约束双面约束双面约束双面约束单面约束单面约束单面约束单面约束本章我们主要研究本章我们主要研究本章我们主要研究本章我们主要研究完整的、定常的、双面约束。完整的、定常的、双面约束。完整的、定常的、双面约束。完整的、定常的、双面约束。约束方程一般形式为：约束方程一般形式为：约束方程一般形式为：约束方程一般形式为：图图图图14142广义坐标和自由度广义坐标和自由度一个自由一个自由质点质点在空间的位置：（在空间的位置：（x,y,z)需用需用3个个坐标表示坐标表示一个自由一个自由质点系质点系在空间的位置：在空间
10、的位置：(xi,yi,zi)(i=1,2n)需需用用3n个坐标表示，这个坐标表示，这3n个坐标是独立的。个坐标是独立的。对一个非自由质点系，受对一个非自由质点系，受s个完整约束，个完整约束，3n个坐标需满个坐标需满足足s个约束方程。只有个约束方程。只有（3n-s)个独立坐标。个独立坐标。通常，通常，n 与与 s 很很大而大而3n-s 很小。为了确定质点系的位置，用适当选择的很小。为了确定质点系的位置，用适当选择的3n-s 个相互独立的参数，要比用个相互独立的参数，要比用3n个直角坐标和个直角坐标和s个约束方程方个约束方程方便得多。便得多。一一、自由度自由度 确定一个确定一个受完整约束的质点系的
11、受完整约束的质点系的位置位置所需的独立坐标的所需的独立坐标的数目数目，称为该质点系的自由度的数目，简称为，称为该质点系的自由度的数目，简称为自由度。自由度。15142广义坐标和自由度广义坐标和自由度 对一个非自由质点系，受对一个非自由质点系，受s个完整约束，其自由个完整约束，其自由度为度为k=3n-s。例如：此球摆需满足一个例如：此球摆需满足一个约束方程约束方程此平面小球是受约束的，如此平面小球是受约束的，如是自由质点则需是自由质点则需2个坐标表示，个坐标表示，有有1个作用方程，个作用方程，2-1=1有一有一个个独立的坐标，所以，此球独立的坐标，所以，此球摆具有一摆具有一个个自由度自由度16O
12、 OA AB Bryxl142广义坐标和自由度广义坐标和自由度 又例如：曲柄连杆机构中，空间又例如：曲柄连杆机构中，空间A、B两个点两个点3n六六个坐标，个坐标，6-5=1，只有一个独立坐标，故此系统只有一个，只有一个独立坐标，故此系统只有一个自自由度由度17142广义坐标和自由度广义坐标和自由度二二、广义坐标广义坐标一般，用直角坐标系表示非自由质点系的位置不太方便，一般，用直角坐标系表示非自由质点系的位置不太方便，可选择任意变量来表示质点系的位置。可选择任意变量来表示质点系的位置。用来确定质点用来确定质点或质点或质点系位置的独立系位置的独立变量或变量或参数，参数，称为称为广义坐标广义坐标。广
13、义坐标的选择不是唯一的。广义坐标可以取线位移广义坐标的选择不是唯一的。广义坐标可以取线位移（x,y,z,s 等等）也可以取角位移也可以取角位移（如如,等等）。18142广义坐标和自由度广义坐标和自由度例例1：曲柄连杆机构中曲柄连杆机构中,可取曲柄可取曲柄OA的转角的转角为广义坐标，为广义坐标，广义坐标选定后，质点广义坐标选定后，质点系中每一质点的直角坐标都系中每一质点的直角坐标都可表示为广义坐标的函数。可表示为广义坐标的函数。则可惟一确定质点系的位置。则可惟一确定质点系的位置。在完整约束在完整约束情况下，情况下，广义坐标广义坐标的数目就等于的数目就等于自由度数目自由度数目。19例例2：双锤摆。
14、设只在铅直平面内摆动。双锤摆。设只在铅直平面内摆动。两个两个自由度自由度 取广义坐标取广义坐标，约束方程约束方程142广义坐标和自由度广义坐标和自由度在完整约束在完整约束情况下，情况下，广义坐标广义坐标的数目就等于的数目就等于自由度数目自由度数目。20 一般地，设有由一般地，设有由n个质点组成的质点系，个质点组成的质点系，受到受到s个完整、个完整、双面和定常约束，双面和定常约束，具有具有k=3n-1个自由度，取个自由度，取k个广义坐标个广义坐标q1、q2、qk确定质点系的位置确定质点系的位置，质点系内各质点的坐标及，质点系内各质点的坐标及矢径可表为广义坐标的函数。矢径可表为广义坐标的函数。14
15、2广义坐标和自由度广义坐标和自由度21143 虚位移虚位移 在给定瞬时，质点（或质点系）在给定瞬时，质点（或质点系）符合约束符合约束的的无限小无限小的的假假想的想的位移，称为质点（或质点系）在该瞬时的位移，称为质点（或质点系）在该瞬时的虚位移虚位移。一、虚位移一、虚位移虚位移可以是虚位移可以是线位移线位移，也可以是，也可以是角位移角位移。通常用变分符。通常用变分符号号 表示虚位移。表示虚位移。M22143 虚位移虚位移二、虚位移与微小实位移的区别和联系二、虚位移与微小实位移的区别和联系1、虚位移与微小实位移的虚位移与微小实位移的区别区别实实位移是在一定的时间内位移是在一定的时间内实际实际发生的
16、位移，发生的位移，与质点系的与质点系的受力受力和和初始条件初始条件有关，有有关，有确定的方向确定的方向；虚虚位移是位移是假想假想的、实际并的、实际并未未发生位移，并发生位移，并不不经历时间经历时间与质点系的与质点系的受力受力和和初始条件初始条件无关，无关，有多种可能的方向有多种可能的方向，是无限小量。是无限小量。2、虚位移与微小实位移的虚位移与微小实位移的联系联系实位移和虚位移都要满足实位移和虚位移都要满足约束约束。在在定常定常约束下，微小的实位移必然是虚位移之一；约束下，微小的实位移必然是虚位移之一；而在而在非定常非定常约束下，微小实位移不再是虚位移之一。约束下，微小实位移不再是虚位移之一。
17、23143 虚位移虚位移图图24143 虚位移虚位移图图25143 虚位移虚位移三、分析虚位移的方法三、分析虚位移的方法由于非自由质点系内各质点之间有约束联系，因此由于非自由质点系内各质点之间有约束联系，因此各质点的虚位移之间有一定的关系。而独立的虚位移各质点的虚位移之间有一定的关系。而独立的虚位移个个数数就等于质点系就等于质点系自由度数自由度数。1、几何法、几何法 在在定常约束定常约束下，微小的实位移必然是虚位移之一。下，微小的实位移必然是虚位移之一。因为虚位移是无限小位移，可选在可能发生的因为虚位移是无限小位移，可选在可能发生的速度方向上分析，故速度方向上分析，故可用运动学中求各质点可用运
18、动学中求各质点速速度度之间的之间的关系关系来分析各质点来分析各质点虚位移虚位移之间的之间的关系关系。26143 虚位移虚位移2、解析法、解析法质点系中各质点系中各质点质点的坐标可表示为的坐标可表示为广义坐标广义坐标的函数，质点系的任意的函数，质点系的任意虚位移可用广义坐标虚位移可用广义坐标（q1,q2,qk）的的k个独立的变分来表示，个独立的变分来表示，各质点的虚位移各质点的虚位移以及在直角坐标上的投影可以表示为：以及在直角坐标上的投影可以表示为：27143 虚位移虚位移质点系中各质点的坐标可表示为广义坐标的函数，质点质点系中各质点的坐标可表示为广义坐标的函数，质点系的任意虚位移可用系的任意虚
19、位移可用广义坐标广义坐标（q1,q2,qk）的的k个独个独立的变立的变来表示，来表示，求求变分变分的方法与求的方法与求微分微分类似。类似。各质点的虚位移各质点的虚位移以及在直角坐标上的投以及在直角坐标上的投影可以表示为：影可以表示为：28143 虚位移虚位移29143 虚位移虚位移例例1、分析图示机构在图示位置时，点、分析图示机构在图示位置时，点C、A与与B的虚位移。的虚位移。(已知已知 OC=BC=a，OA=l)看书看书p321例题例题11、几何法、几何法解：此为一个自由度系统，解：此为一个自由度系统，取取OA杆与杆与x 轴夹角轴夹角为广义坐标。为广义坐标。30143 虚位移虚位移将将C、A
20、、B点的坐标表示成点的坐标表示成广义坐标广义坐标 的函数，得的函数，得2、解析法、解析法对广义坐标对广义坐标 求变分，得各点虚求变分，得各点虚位移在相应坐标轴上的投影：位移在相应坐标轴上的投影：31144 理想约束理想约束一、虚功一、虚功力力在质点发生的虚位移在质点发生的虚位移上所作的功称为上所作的功称为虚功虚功，记为，记为。二、理想约束二、理想约束（书（书p257)如果约束力在质点系的任何虚位移上的虚功之和等于零，如果约束力在质点系的任何虚位移上的虚功之和等于零，则称这种约束为则称这种约束为理想约束理想约束。质点系受有理想约束的条件：质点系受有理想约束的条件：32144 理想约束理想约束理想
21、约束的例子：理想约束的例子：1、光滑支承面、光滑支承面2、光滑铰链、光滑铰链3、无重刚杆、无重刚杆4、不可伸长的柔索、不可伸长的柔索5、刚体在粗糙面上的纯滚动、刚体在粗糙面上的纯滚动一般，没有摩擦的约束都属于此类一般，没有摩擦的约束都属于此类33145 虚位移原理虚位移原理 一、虚位移原理一、虚位移原理（虚功原理）（虚功原理）具有具有双面双面、理想理想约束的质点系，约束的质点系，在给定位置在给定位置平衡的平衡的必要必要与与充分充分条件是：作用于质点系的所有条件是：作用于质点系的所有主动力主动力在任何在任何虚位移虚位移上所作上所作的的虚功之和虚功之和等于等于零零。即。即解析式：解析式：此方程又叫
22、此方程又叫静力学普遍方程静力学普遍方程34145 虚位移原理虚位移原理证明证明：(1)必要性：即质点系处于平衡时，必有必要性：即质点系处于平衡时，必有质点系处于平衡质点系处于平衡选取任一质点选取任一质点Mi也平衡。也平衡。对质点对质点Mi 的任一虚位移的任一虚位移，有，有由于是理想约束由于是理想约束所以所以对整个质点系：对整个质点系：35145 虚位移原理虚位移原理 (2)充分性：即当质点系满足充分性：即当质点系满足，质点系一定平衡。，质点系一定平衡。若若，而质点系不平衡，则至少有第，而质点系不平衡，则至少有第i个质点不平衡。个质点不平衡。在在方向上产生实位移方向上产生实位移，取，取，则，则对
23、质点系：对质点系：(理想约束下，理想约束下，)与前题条件矛盾与前题条件矛盾故故时质点系必处于平衡。时质点系必处于平衡。36145 虚位移原理虚位移原理A AB BF FFF2 2l l 例例例例2 2、如如如如图图图图所所所所示示示示，在在在在螺螺螺螺旋旋旋旋压压压压榨榨榨榨机机机机的的的的手手手手柄柄柄柄ABAB上上上上作作作作用用用用一一一一在在在在水水水水平平平平面面面面内内内内的的的的力力力力偶偶偶偶（F F，F F ），其其其其力力力力偶偶偶偶矩矩矩矩等等等等于于于于2 2FlFl。设设设设螺螺螺螺杆杆杆杆的的的的螺螺螺螺距距距距为为为为h h，求求求求平平平平衡时作用于被压榨物体上
24、的压力。衡时作用于被压榨物体上的压力。衡时作用于被压榨物体上的压力。衡时作用于被压榨物体上的压力。37145 虚位移原理虚位移原理图图38145 虚位移原理虚位移原理 研研研研究究究究以以以以手手手手柄柄柄柄、螺螺螺螺杆杆杆杆和和和和压压压压头头头头组组组组成成成成的的的的平平平平衡衡衡衡系系系系统统统统。若若若若忽忽忽忽略略略略螺螺螺螺杆杆杆杆和和和和螺螺螺螺母母母母间间间间的的的的摩摩摩摩擦擦擦擦，则则则则约约约约束束束束是是是是理想的。理想的。理想的。理想的。计计计计算算算算所所所所有有有有主主主主动动动动力力力力在在在在虚虚虚虚位位位位移移移移中中中中所所所所作作作作虚虚虚虚功功功功的
25、的的的和，列出虚功方程和，列出虚功方程和，列出虚功方程和，列出虚功方程 给给给给系系系系统统统统以以以以虚虚虚虚位位位位移移移移，将将将将手手手手柄柄柄柄按按按按螺螺螺螺纹纹纹纹方方方方向向向向转转转转过过过过极极极极小小小小角角角角，于于于于是是是是螺螺螺螺杆杆杆杆和和和和压压压压头头头头得得得得到到到到向向向向下下下下位位位位移移移移 s s。作作作作用用用用于于于于平平平平衡衡衡衡系系系系统统统统上上上上主主主主动动动动力力力力为为为为：作作作作用用用用于于于于手手手手柄柄柄柄上上上上的的的的力力力力偶偶偶偶(F F，F F)，被被被被压压压压物物物物体体体体对对对对压压压压头头头头的的
26、的的阻阻阻阻力力力力F FN N。F FNNA AB BF FFFF FNN2 2l lss解：解：解：解：39145 虚位移原理虚位移原理将将将将上上上上述述述述虚虚虚虚位位位位移移移移 s s与与与与的的的的关关关关系系系系式式式式代代代代入入入入虚虚虚虚功功功功方方方方程程程程中中中中，得得得得 由由由由机机机机构构构构的的的的传传传传动动动动关关关关系系系系知知知知：对对对对于于于于单单单单头头头头螺螺螺螺纹纹纹纹，手手手手柄柄柄柄ABAB转一周，螺杆上升或下降一个螺距转一周，螺杆上升或下降一个螺距转一周，螺杆上升或下降一个螺距转一周，螺杆上升或下降一个螺距h h，故有，故有，故有，故
27、有即即即即即即解得解得解得解得因因因因是任意的，故是任意的，故是任意的，故是任意的，故所求的压力与阻力的大小相等、方向相反。所求的压力与阻力的大小相等、方向相反。所求的压力与阻力的大小相等、方向相反。所求的压力与阻力的大小相等、方向相反。F FNNA AB BF FFFF FNN2 2l lss40145 虚位移原理虚位移原理例例例例3 3、曲曲曲曲柄柄柄柄连连连连杆杆杆杆机机机机构构构构静静静静止止止止在在在在如如如如图图图图所所所所示示示示位位位位置置置置上上上上，已已已已知知知知角角角角度度度度 和和和和。OA=rOA=r，AB=lAB=l。不不不不计计计计机机机机构构构构自自自自身身身
28、身重重重重量量量量，求求求求平平平平衡衡衡衡时时时时主动力主动力主动力主动力 F FA A 和和和和 F FB B 的大小应满足的关系。的大小应满足的关系。的大小应满足的关系。的大小应满足的关系。O OA AB BrF FA AF FB B41145 虚位移原理虚位移原理图图42145 虚位移原理虚位移原理O OA AB BrF FA AF FB B解：解：解：解：以以以以rrA A和和和和rrB B分分分分别别别别代代代代表表表表主主主主动动动动力力力力 F FA A 和和和和 F FB B 作用点的虚位移，如图所示。作用点的虚位移，如图所示。作用点的虚位移，如图所示。作用点的虚位移，如图所
29、示。可见可见可见可见 A A，B B 两点的虚位移大小之比等于两点的虚位移大小之比等于两点的虚位移大小之比等于两点的虚位移大小之比等于根据虚位移原理的平衡方程，有根据虚位移原理的平衡方程，有根据虚位移原理的平衡方程，有根据虚位移原理的平衡方程，有从而解得从而解得从而解得从而解得rrA ArrB B 因因因因 ABAB 是是是是刚刚刚刚杆杆杆杆，两两两两端端端端位位位位移移移移在在在在 ABAB 上上上上的投影应相等，即的投影应相等，即的投影应相等，即的投影应相等，即几何法几何法43145 虚位移原理虚位移原理例例例例 4 4、已已已已 知知知知 图图图图 所所所所 示示示示 结结结结 构构构构
30、，各各各各 杆杆杆杆 都都都都 以以以以 光光光光 滑滑滑滑 铰铰铰铰 链链链链 连连连连 接接接接，且且且且 有有有有ACAC=CECE=BCBC=CDCD=DGDG=GEGE=l l。在在在在点点点点G G作作作作用用用用一一一一铅铅铅铅直直直直方方方方向向向向的的的的力力力力F F，求支座求支座求支座求支座B B的水平约束反力的水平约束反力的水平约束反力的水平约束反力F FBxBx。ABCDEGF F44145 虚位移原理虚位移原理图图45145 虚位移原理虚位移原理解析法解析法（1）系统自由度）系统自由度k=1（2）以以以以 为广义坐标为广义坐标为广义坐标为广义坐标（3）B，G两点的坐
31、标分别为两点的坐标分别为两点的坐标分别为两点的坐标分别为（4）对以上各式取变分，有对以上各式取变分，有对以上各式取变分，有对以上各式取变分，有用约束力用约束力用约束力用约束力F FBxBx代替水平约束，并将代替水平约束，并将代替水平约束，并将代替水平约束，并将F FBxBx当作主动力。当作主动力。当作主动力。当作主动力。解：解：解：解：ABCDEGF Fx xF FBxBxy y（5）由虚功方程：由虚功方程：由虚功方程：由虚功方程：由由 的任意性的任意性xxB ByyG G46145 虚位移原理虚位移原理例例例例5 5、如如如如图图图图所所所所示示示示为为为为连连连连续续续续梁梁梁梁。载载载载
32、荷荷荷荷 F F1 1=800 800 N N，F F2 2=600 600 N N，F F3 3=1000 N=1000 N，尺寸，尺寸，尺寸，尺寸a a=2 m=2 m，b b=3 m=3 m，求固定端，求固定端，求固定端，求固定端A A的约束力。的约束力。的约束力。的约束力。a aa aa aa aa aa ab bA AB BC CD DE EF FG GH HF F1 1F F2 2F F3 347145 虚位移原理虚位移原理48145 虚位移原理虚位移原理用几何法求各点的虚位移。由图可知：用几何法求各点的虚位移。由图可知：用几何法求各点的虚位移。由图可知：用几何法求各点的虚位移。由
33、图可知：1.1.为为为为了了了了求求求求出出出出固固固固定定定定端端端端A A的的的的约约约约束束束束力力力力偶偶偶偶MMA A，可可可可将将将将固固固固定定定定端端端端换换换换成成成成铰铰铰铰链链链链，而而而而把把把把固固固固定定定定端端端端的的的的约束力偶视作为主动力。约束力偶视作为主动力。约束力偶视作为主动力。约束力偶视作为主动力。(a)(a)解：解：解：解：设设设设杆杆杆杆系系系系的的的的虚虚虚虚位位位位移移移移用用用用广广广广义义义义坐坐坐坐标标标标的的的的独独独独立立立立变分变分变分变分表示，有表示，有表示，有表示，有A AB BC CD DE EF FG GH HF F1 1F
34、F2 2F F3 3 yyF F1 1yyB B1 1yyGG1 1yyDD1 1yyHH1 1y yMMA A49145 虚位移原理虚位移原理A AB BC CD DE EF FG GH HF F1 1F F2 2F F3 3 yyF F1 1yyB B1 1yyGG1 1yyDD1 1yyHH1 1y yMMA A因广义坐标的独立变分因广义坐标的独立变分因广义坐标的独立变分因广义坐标的独立变分为任意微量为任意微量为任意微量为任意微量代入式代入式代入式代入式(a)(a)得得得得故故故故50145 虚位移原理虚位移原理51145 虚位移原理虚位移原理 2.2.为为为为了了了了求求求求出出出出固
35、固固固定定定定端端端端A A的的的的约约约约束束束束力力力力F FA A，应应应应将将将将A A端端端端约约约约束束束束换换换换成成成成铅铅铅铅直直直直滚滚滚滚轮轮轮轮，而而而而把把把把固固固固定定定定端的铅直约束力端的铅直约束力端的铅直约束力端的铅直约束力F FA A视作为主动力。视作为主动力。视作为主动力。视作为主动力。(b)(b)用几何法求各点的虚位移。因杆用几何法求各点的虚位移。因杆用几何法求各点的虚位移。因杆用几何法求各点的虚位移。因杆ABAB只能平动，故：只能平动，故：只能平动，故：只能平动，故：设设设设杆杆杆杆系系系系的的的的虚虚虚虚位位位位移移移移用用用用广广广广义义义义坐坐坐
36、坐标标标标的的的的独独独独立立立立变分变分变分变分yyA A表示表示表示表示A AB BC CD DE EF FG GH HF F1 1F F2 2F F3 3y yyyA AyyF F2 2yyB B2 2yyGG2 2yyDD2 2yyHH2 2F FA A52145 虚位移原理虚位移原理代入式代入式代入式代入式（b b）得得得得因因因因因因，故，故，故，故，故，故A AB BC CD DE EF FG GH HF F1 1F F2 2F F3 3y yyyA AyyF F2 2yyB B2 2yyGG2 2yyDD2 2yyHH2 2F FA A53145 虚位移原理虚位移原理ABMFC
37、D例例例例6 6、如图所示三铰拱，拱重不计。试求在力、如图所示三铰拱，拱重不计。试求在力、如图所示三铰拱，拱重不计。试求在力、如图所示三铰拱，拱重不计。试求在力F F及力偶矩及力偶矩及力偶矩及力偶矩MM 作用下铰作用下铰作用下铰作用下铰B B的约束力。的约束力。的约束力。的约束力。54145 虚位移原理虚位移原理55145 虚位移原理虚位移原理解：解：解：解：1.1.求求求求铰铰铰铰B B的的的的水水水水平平平平约约约约束束束束力力力力。解解解解除除除除铰铰铰铰B B的的的的水水水水平平平平约约约约束束束束，换换换换成成成成水水水水平平平平辊辊辊辊轴轴轴轴再再再再加加加加上上上上水水水水平平平
38、平约约约约束束束束力力力力F FBxBx，系统具有一个自由度。系统具有一个自由度。系统具有一个自由度。系统具有一个自由度。三三三三铰铰铰铰拱拱拱拱是是是是一一一一个个个个受受受受完完完完全全全全约约约约束束束束的的的的结结结结构构构构，使使使使用用用用虚虚虚虚位位位位移移移移原原原原理理理理时时时时，必必必必须须须须首首首首先先先先解解解解除除除除约约约约束束束束，赋赋赋赋予予予予运运运运动动动动自由度。自由度。自由度。自由度。虚位移原理给出：虚位移原理给出：虚位移原理给出：虚位移原理给出：给曲杆给曲杆给曲杆给曲杆ACAC一微小转角一微小转角一微小转角一微小转角 ，曲杆，曲杆，曲杆，曲杆BCB
39、C的转动的转动的转动的转动中心在中心在中心在中心在C*C*，可得各力作用点的虚位移分别为，可得各力作用点的虚位移分别为，可得各力作用点的虚位移分别为，可得各力作用点的虚位移分别为FBxDAMFCaaaarDrBrCC*AB56145 虚位移原理虚位移原理57145 虚位移原理虚位移原理2.2.求求求求铰铰铰铰B B的的的的垂垂垂垂直直直直约约约约束束束束力力力力。解解解解除除除除铰铰铰铰B B的的的的垂垂垂垂直直直直约约约约束束束束，换换换换成成成成垂垂垂垂直直直直辊辊辊辊轴轴轴轴再再再再加加加加上上上上垂垂垂垂直直直直约约约约束束束束力力力力F FByBy。给给给给杆杆杆杆ACAC一一一一微
40、微微微小小小小转转转转角角角角 ，杆杆杆杆BCBC的的的的转转转转动动动动中中中中心心心心在在在在A A，可可可可得得得得有有有有关关关关虚虚虚虚位位位位移为移为移为移为表示表示表示表示在在在在x x轴的投影。虚位移原理给出轴的投影。虚位移原理给出轴的投影。虚位移原理给出轴的投影。虚位移原理给出BMFCAFByDrBrCrD58146 以广义坐标表示的质点系的平衡条件以广义坐标表示的质点系的平衡条件虚位移原理虚位移原理其中：各主动力作用点的虚位移其中：各主动力作用点的虚位移 并不独立，并不独立，需要在求解时找到虚位移之间的关系。需要在求解时找到虚位移之间的关系。又又代入虚功方程：代入虚功方程：
41、（广义坐标的变分是独立的）（广义坐标的变分是独立的）59146 以广义坐标表示的质点系的平衡条件以广义坐标表示的质点系的平衡条件交换求和次序：交换求和次序：60146 以广义坐标表示的质点系的平衡条件以广义坐标表示的质点系的平衡条件61146 以广义坐标表示的质点系的平衡条件以广义坐标表示的质点系的平衡条件 是相互独立的广义坐标的变分，可以认为是对是相互独立的广义坐标的变分，可以认为是对应于广义坐标的应于广义坐标的广义虚位移广义虚位移。为对应于广义坐标为对应于广义坐标 的广义力的广义力记为：记为：62146 以广义坐标表示的质点系的平衡条件以广义坐标表示的质点系的平衡条件可改写为：可改写为：完
42、整约束系统，广义坐标的变分完整约束系统，广义坐标的变分 是独立的是独立的 具有完整、双面和理想约束的质点系，在给定具有完整、双面和理想约束的质点系，在给定位置平衡的必要和充分条件是：对应于每一个广义位置平衡的必要和充分条件是：对应于每一个广义坐标的广义力等于零。坐标的广义力等于零。k个自由度的系统可确定个自由度的系统可确定k个独立的方程个独立的方程63146 以广义坐标表示的质点系的平衡条件以广义坐标表示的质点系的平衡条件求广义力的方法：求广义力的方法：1、解析法、解析法1）计算主动力在直角坐标轴上的投影；）计算主动力在直角坐标轴上的投影；2）将各主动力作用点坐标写成广义坐标的函数）将各主动力
43、作用点坐标写成广义坐标的函数 并求偏导数；并求偏导数；3）利用上式求对应每一个广义坐标的广义力。）利用上式求对应每一个广义坐标的广义力。64146 以广义坐标表示的质点系的平衡条件以广义坐标表示的质点系的平衡条件2、几何法、几何法1）给质点系一组特殊的虚位移：）给质点系一组特殊的虚位移：3）令：令：2）利用几何法求主动力系在该组虚位移上的虚功。）利用几何法求主动力系在该组虚位移上的虚功。65146 以广义坐标表示的质点系的平衡条件以广义坐标表示的质点系的平衡条件3、特例：、特例：如果质点系所受的主动力如果质点系所受的主动力均为有势力，则质点系存在势能函数：均为有势力，则质点系存在势能函数：根据
44、有势力与势能函数的关系：根据有势力与势能函数的关系：66146 以广义坐标表示的质点系的平衡条件以广义坐标表示的质点系的平衡条件O OA AB B 1 1 2 2x xy yF FAAF FB BF F例例例例7 7、杆杆杆杆OAOA和和和和ABAB以以以以铰铰铰铰链链链链连连连连接接接接，O O端端端端悬悬悬悬挂挂挂挂于于于于圆圆圆圆柱柱柱柱铰铰铰铰链链链链上上上上，如如如如图图图图所所所所示示示示。杆杆杆杆长长长长OA=aOA=a，AB=bAB=b,杆杆杆杆重重重重和和和和铰铰铰铰链链链链的的的的摩摩摩摩擦擦擦擦都都都都忽忽忽忽略略略略不不不不计计计计。今今今今在在在在点点点点A A和和和
45、和B B分分分分别别别别作作作作用用用用向向向向下下下下的的的的铅铅铅铅垂垂垂垂力力力力F FA A和和和和F FB B，又又又又在在在在点点点点B B作作作作用用用用一一一一水水水水平平平平力力力力F F。试试试试求求求求平平平平衡衡衡衡时时时时 1 1，2 2与与与与F FA A，F FB B，F F之间的关系。之间的关系。之间的关系。之间的关系。67146 以广义坐标表示的质点系的平衡条件以广义坐标表示的质点系的平衡条件系统有两个自由度。现选择系统有两个自由度。现选择系统有两个自由度。现选择系统有两个自由度。现选择 1 1和和和和 2 2为系统的两个为系统的两个为系统的两个为系统的两个广
46、义坐标，计算其对应的广义力广义坐标，计算其对应的广义力广义坐标，计算其对应的广义力广义坐标，计算其对应的广义力Q Q1 1和和和和Q Q2 2。解：解：解：解：O OA AB B 1 1 2 2x xy yF FAAF FB BF F1.1.解析法解析法解析法解析法因因因因(a)(a)故故故故68146 以广义坐标表示的质点系的平衡条件以广义坐标表示的质点系的平衡条件O OA AB B 1 1 2 2x xy yF FAAF FB BF F代入式代入式代入式代入式（a a），系统平衡时应有，系统平衡时应有，系统平衡时应有，系统平衡时应有解出解出解出解出69146 以广义坐标表示的质点系的平衡条
47、件以广义坐标表示的质点系的平衡条件70146 以广义坐标表示的质点系的平衡条件以广义坐标表示的质点系的平衡条件71146 以广义坐标表示的质点系的平衡条件以广义坐标表示的质点系的平衡条件O OA AB B 1 1x xy y1 1 1 1aa1 1aa1 12.2.几何法几何法几何法几何法保持保持保持保持 2 2不变，只有不变，只有不变，只有不变，只有1 1时，可得一组虚位移时，可得一组虚位移时，可得一组虚位移时，可得一组虚位移将式将式将式将式（e e）代入上式，得代入上式，得代入上式，得代入上式，得则对应于则对应于则对应于则对应于 1 1的广义力为的广义力为的广义力为的广义力为(e)(e)7
48、2146 以广义坐标表示的质点系的平衡条件以广义坐标表示的质点系的平衡条件代入对应于代入对应于代入对应于代入对应于 2 2的广义力表达式，得的广义力表达式，得的广义力表达式，得的广义力表达式，得保持保持保持保持 1 1不变，只有不变，只有不变，只有不变，只有2 2时，时，时，时，可得一组虚位移可得一组虚位移可得一组虚位移可得一组虚位移两两两两种种种种方方方方法法法法所所所所得得得得的的的的广广广广义义义义力力力力是是是是相相相相同同同同的的的的，显显显显然然然然应应应应得到与式得到与式得到与式得到与式(d)(d)相同的结果。相同的结果。相同的结果。相同的结果。O OA AB B 1 1 2 2x xy y2 2bb2 2 2 273