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1、电磁场与电磁波第一章第1页，本讲稿共22页1.1 矢量及其矢量场矢量及其矢量场1.1.矢量的表示方法矢量的表示方法a矢量的概念矢量的概念b矢量的特点矢量的特点两个变量确定：大小，方向两个变量确定：大小，方向c矢量的表示方法矢量的表示方法几何表示：几何表示：代数表示：代数表示：单位矢量单位矢量（表示矢量的方向）（表示矢量的方向）（模为（模为1，可以在空间中指向任意方向），可以在空间中指向任意方向）直角坐标系：直角坐标系：表示三个坐标轴方向的单位矢量表示三个坐标轴方向的单位矢量xyz第2页，本讲稿共22页2.2.矢量的代数运算法矢量的代数运算法a.加减法：法则和规律加减法：法则和规律平行四边形法则
2、：平行四边形法则：三角形法则：三角形法则：b.标积：标积：满足乘法交换律：满足乘法交换律：第3页，本讲稿共22页c.矢积矢积的方向：满足右手法则的方向：满足右手法则例如：例如：xyz矢积满足矢积满足反反交换律：交换律：第4页，本讲稿共22页d.混合积（三个矢量乘积）混合积（三个矢量乘积）混合积中既有矢积（叉积）又用标积（点积），混合积中既有矢积（叉积）又用标积（点积），最后结果是标量！最后结果是标量！混合积要用到矢积（叉积）和标积（点积）的运算规则混合积要用到矢积（叉积）和标积（点积）的运算规则（1）几何意义：几何意义：满足：满足：第5页，本讲稿共22页（2）最后结果为矢量最后结果为矢量3.标
3、量场与矢量场标量场与矢量场温度场温度场电场，流速场，重力场电场，流速场，重力场时变场时变场 如：如：静态场静态场 如：如：场在空间的分布形式取决于：场源和周围物质环境场在空间的分布形式取决于：场源和周围物质环境第6页，本讲稿共22页1.直角坐标系直角坐标系2.圆柱坐标系圆柱坐标系3.圆球坐标系圆球坐标系12 三种常见坐标系中的矢量场三种常见坐标系中的矢量场 场是物理量的空间分布，矢量场是矢量的空间分布。随着空间点的不同，每个场是物理量的空间分布，矢量场是矢量的空间分布。随着空间点的不同，每个空间点上对应的矢量也不同。因此，矢量场是空间坐标变量的函数，对矢量场的分空间点上对应的矢量也不同。因此，
4、矢量场是空间坐标变量的函数，对矢量场的分析很大程度上依赖于采用的坐标系。析很大程度上依赖于采用的坐标系。共同特征：正交坐标系，各自的三个单位矢量都互相垂直。共同特征：正交坐标系，各自的三个单位矢量都互相垂直。直角坐标系：三个单位矢相互垂直且为直角坐标系：三个单位矢相互垂直且为常矢量常矢量，不随空间的变化而变化；，不随空间的变化而变化；圆柱坐标系与圆球坐标系的三个单位矢量圆柱坐标系与圆球坐标系的三个单位矢量不全是常矢量不全是常矢量。第7页，本讲稿共22页一：位置矢量（位矢）一：位置矢量（位矢）op位矢的基本特征：起点始终在参考点位矢的基本特征：起点始终在参考点O上。上。有向线段有向线段 可以表示
5、可以表示p点的位置，称为位置矢量。只与参点的位置，称为位置矢量。只与参考点选择有关，与坐标系选择无关。考点选择有关，与坐标系选择无关。二：正交坐标系二：正交坐标系1：直角坐标系：直角坐标系单位矢量：单位矢量：（常矢量）（常矢量）xyzp(x,y,z)矢量场在矢量场在p点对应矢量点对应矢量 分别在本地三个坐标分别在本地三个坐标轴上的投影值轴上的投影值物理量投影物理量投影分量分量。即：即：第8页，本讲稿共22页2：圆柱坐标系：圆柱坐标系单位矢量：单位矢量：（不都是常矢量）（不都是常矢量）坐标变量：坐标变量：p点到点到z轴的距离轴的距离过过p点和点和z轴的平面与轴的平面与XZ平面的夹角平面的夹角p点
6、在点在Z轴上的投影值轴上的投影值第9页，本讲稿共22页单位矢量：单位矢量：与与之间的关系：之间的关系：O圆柱坐标系三个单位矢量不全是常矢量圆柱坐标系三个单位矢量不全是常矢量 矢量场在同一空间位置点上圆柱坐标系中坐标分量与直角坐标系中坐标分量的矢量场在同一空间位置点上圆柱坐标系中坐标分量与直角坐标系中坐标分量的关系（关系（p6）第10页，本讲稿共22页3：圆球坐标系：圆球坐标系坐标变量：坐标变量：p点到坐标原点的距离，即点到坐标原点的距离，即p点所在位点所在位置矢量的长度置矢量的长度p点位矢与点位矢与Z轴的夹角轴的夹角过过p点和点和Z轴平面与轴平面与XZ平面的夹角平面的夹角第11页，本讲稿共22
7、页单位矢量：单位矢量：（都不是常矢量）（都不是常矢量）O与与之间的关系：之间的关系：矢量场在同一空间位置点上圆球矢量场在同一空间位置点上圆球坐标系中分量与直角坐标系中分量的坐标系中分量与直角坐标系中分量的关系（关系（p12）三种坐标系下坐标变换及坐标分量变换（三种坐标系下坐标变换及坐标分量变换（p250）第12页，本讲稿共22页1.3 梯度梯度变矢量变矢量一元变矢一元变矢 如：矢性函数如：矢性函数多元变矢多元变矢 也可以类似于多元函数进行微积分运算。但在直角坐标系下也可以类似于多元函数进行微积分运算。但在直角坐标系下最为简便。最为简便。场场 论论标量场的梯度标量场的梯度矢量场的散度矢量场的散度
8、矢量场的旋度矢量场的旋度第13页，本讲稿共22页 1梯度的定义梯度的定义 等值面等值面：标量场中量值相等的点构成的面：标量场中量值相等的点构成的面。方向导数方向导数表示标量场表示标量场为一任意给定的方向为一任意给定的方向为该方向上的单位矢量为该方向上的单位矢量即求：即求：的最大值的最大值标量场沿哪个方向（标量场沿哪个方向（）变化最为剧烈？）变化最为剧烈？标量场在标量场在p点沿点沿 方方向的方向导数，大小与向的方向导数，大小与方向与方向与 有关。有关。直角坐标系下：直角坐标系下：可知：沿等值面法线可知：沿等值面法线 的方向导数最大的方向导数最大。第14页，本讲稿共22页即有：即有：且沿其方向，且
9、沿其方向，有最大值有最大值梯梯 度：度：2.圆柱坐标系和圆球坐标系下的标量场梯度圆柱坐标系和圆球坐标系下的标量场梯度3.梯度运算法则梯度运算法则C=0(C)=C(+)=+()=+(/)=(-)/F()=F()第15页，本讲稿共22页1.4 矢量场的散度矢量场的散度 矢量场的通量 一、通量一、通量 若若S 为闭合曲面为闭合曲面 定义矢量定义矢量 A A 沿有向曲面沿有向曲面S 的面积分的面积分为为矢量矢量 A A 穿过有向曲面穿过有向曲面S 的通量的通量二、散度二、散度直角坐标系中散度的计算公式直角坐标系中散度的计算公式 如果包围点如果包围点P 的闭合面的闭合面S 所围区域所围区域 以任意方式缩
10、小为点以任意方式缩小为点P 时时,通量与体积之比的极限存在，定义该极限为矢量场在通量与体积之比的极限存在，定义该极限为矢量场在P 点的散度。即点的散度。即第16页，本讲稿共22页拉普拉斯算符拉普拉斯算符三、散度的物理意义三、散度的物理意义 散度代表矢量场的通量源的分布特性。散度代表矢量场的通量源的分布特性。矢量的散度是一个标量，是空间坐标点的函数。矢量的散度是一个标量，是空间坐标点的函数。散度的在不同散度的在不同坐标系坐标系下的表示下的表示第17页，本讲稿共22页 A A =0(0(无源无源）在矢量场中，若在矢量场中，若 A=0，称之为有源场，称之为有源场，称为称为(通量通量)源密度；若矢量场
11、中处处源密度；若矢量场中处处 A=0，称，称之为无源场。之为无源场。A A =0(0(负负源源)=0 (0 (正源正源)六、高斯定理六、高斯定理(散度定理散度定理)式中式中S为为 的外表面的外表面 该公式表明了区域该公式表明了区域 中场中场 与边界与边界S上上的场的场 之间的关系。之间的关系。第18页，本讲稿共22页1.1.5 5 矢量场的环量矢量场的环量 旋度旋度一、环量一、环量定义矢量场定义矢量场A沿空间有向闭合曲线沿空间有向闭合曲线C的积分的积分 为为A的的环量环量二、旋度二、旋度1.1.环量强度环量强度 过点过点P 作一微小曲面作一微小曲面S,它的边界曲线记为它的边界曲线记为C,面的法
12、线方与曲线绕向成右手面的法线方与曲线绕向成右手螺旋关系。当螺旋关系。当S 收缩至收缩至P 点附近点附近时时,存在极限存在极限 环流的计算 该极限值与该极限值与S 的形状无关，但与的形状无关，但与S的方向的方向n 有关。称为有关。称为矢量场矢量场 A A 在在P 点沿点沿n 方向的方向的环环量强度量强度2.2.旋度旋度 旋度是一个矢量，模值等于环量强度的最大值；方向为最大环量强度的方向。旋度是一个矢量，模值等于环量强度的最大值；方向为最大环量强度的方向。用用 表示表示它与环流强度的关系为它与环流强度的关系为第19页，本讲稿共22页举例举例第20页，本讲稿共22页在直角坐标系下在直角坐标系下三、旋度的物理意义三、旋度的物理意义 矢量的旋度仍为矢量，是空间坐标点的函数。矢量的旋度仍为矢量，是空间坐标点的函数。点点P的旋度的大小是该点环流密度的最大值。的旋度的大小是该点环流密度的最大值。点点P的旋度的方向是该点最大环流密度的方向。的旋度的方向是该点最大环流密度的方向。四、斯托克斯定理四、斯托克斯定理反映曲面边界上的矢量场与曲面中旋度源的关系反映曲面边界上的矢量场与曲面中旋度源的关系第21页，本讲稿共22页1.1.6 6无旋场与无散场无旋场与无散场矢量场的唯一性定理矢量场的唯一性定理第22页，本讲稿共22页