电磁场与电磁波课件第一章.ppt

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1、电磁场与电磁波课件第一章现在学习的是第1页，共45页Nanjing University of Information Science&Technology主主 要要 内内 容容梯度、散度、旋度、梯度、散度、旋度、亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理1.11.1矢量的代数运算矢量的代数运算一一.矢量与矢量表示矢量与矢量表示1.1.物理量的分类物理量的分类物理量物理量与位置无关：时间、长度、质量与位置无关：时间、长度、质量与位置有关与位置有关（场量）（场量）标量场（只有大小）：温度、湿度、电位标量场（只有大小）：温度、湿度、电位矢量场（大小矢量场（大小+方向）：速度、电场、磁场方向）：速度、电场、磁场现在学

2、习的是第2页，共45页Nanjing University of Information Science&Technology单位矢量：模等于单位矢量：模等于1 1的矢量。与矢量同方向的单位矢量表示为：的矢量。与矢量同方向的单位矢量表示为：2.2.矢量与单位矢量矢量与单位矢量任一个矢量任一个矢量 可以用其模（代表大小）和单位矢量（代表矢量方向）来表可以用其模（代表大小）和单位矢量（代表矢量方向）来表示：示：3.3.矢量表示法矢量表示法三维空间中，矢量三维空间中，矢量 可表示为一根有方向的线段。线段的长度代表矢量的模，线可表示为一根有方向的线段。线段的长度代表矢量的模，线段的方向代表矢量的方向。

3、段的方向代表矢量的方向。现在学习的是第3页，共45页Nanjing University of Information Science&Technology直角坐标系下矢量表示：直角坐标系下矢量表示：大小：大小：方向（单位矢量）：方向（单位矢量）：4.4.位置矢量和距离矢量位置矢量和距离矢量位置矢量（矢径）：从原点指向空间某一点的矢量位置矢量（矢径）：从原点指向空间某一点的矢量。距离矢量距离矢量从空间某一点（源点）指向另一点（场点）的矢量从空间某一点（源点）指向另一点（场点）的矢量大小：大小：方向方向(单位矢量单位矢量)：现在学习的是第4页，共45页Nanjing University of

4、Information Science&Technology二矢量的代数运算：二矢量的代数运算：用公式用公式(代数方法代数方法)和图形和图形(几何方法几何方法)1.1.矢量相等判定矢量相等判定能使用两种方法判定矢量 是否相等吗？现在学习的是第5页，共45页Nanjing University of Information Science&Technology几何方法：让两个矢量平移至它们的始点重合，此时，若它们的终几何方法：让两个矢量平移至它们的始点重合，此时，若它们的终 点也重合，则表明它们是相等的。即点也重合，则表明它们是相等的。即 。代学方法：若代学方法：若 两矢量的对应分量相等，则两矢

5、量的对应分量相等，则 。例如：在直角坐标系中，若例如：在直角坐标系中，若 ，则，则 。现在学习的是第6页，共45页Nanjing University of Information Science&Technology2.2.矢量与标量的乘积矢量与标量的乘积几何方法：几何方法：为实数，为实数，放大，放大，缩小，缩小，方向不变，方向不变，方向相反。方向相反。代学方法：（标量与矢量的各个分量相乘），即代学方法：（标量与矢量的各个分量相乘），即 3.3.矢量的加减矢量的加减 现在学习的是第7页，共45页Nanjing University of Information Science&Technol

6、ogy现在学习的是第8页，共45页Nanjing University of Information Science&Technology现在学习的是第9页，共45页Nanjing University of Information Science&Technology 4.4.矢量的标量积与矢量积矢量的标量积与矢量积 现在学习的是第10页，共45页Nanjing University of Information Science&Technology1.2 1.2 标量场的方向导数与梯度标量场的方向导数与梯度一一.标量场的方向导数标量场的方向导数 场场 ：空间中的每一个点都对应着某个物理量的

7、一：空间中的每一个点都对应着某个物理量的一 个确定值，个确定值，称为该空间中定义了这个物理量称为该空间中定义了这个物理量 的场或者函数的场或者函数 标量场标量场：描述场的物理量是标量的场：描述场的物理量是标量的场 矢量场矢量场：描述场的物理量是矢量的场：描述场的物理量是矢量的场 静态场静态场：描述场的物理量不随时间变化的场：描述场的物理量不随时间变化的场 时变场时变场：描述场的物理量随时间变化的场：描述场的物理量随时间变化的场1.1.标量场和矢量场标量场和矢量场现在学习的是第11页，共45页Nanjing University of Information Science&Technology

8、2.2.标量场的等值面和方向导数标量场的等值面和方向导数 等值面等值面:由描述标量由描述标量场的物理量数值相同的点构成的曲面。即场场的物理量数值相同的点构成的曲面。即场 函数函数 ，它表示一空间曲面，它表示一空间曲面 等值面特点等值面特点:互不相交互不相交现在学习的是第12页，共45页Nanjing University of Information Science&Technology 例如标量场例如标量场 在在 点沿点沿 方向上的方向导数方向上的方向导数 定义为定义为方向导数方向导数:标量场在某点的方向导数表示标量场自该点沿某一方向标量场在某点的方向导数表示标量场自该点沿某一方向 上的变化

9、率。上的变化率。式中，式中，为为 点处沿点处沿 方向的方向余弦，即方向的方向余弦，即 单位单位 向量向量 在坐标轴上的投影。则在坐标轴上的投影。则现在学习的是第13页，共45页Nanjing University of Information Science&Technology二二.标量场的梯度标量场的梯度 因因 点是场中任意点，则可略去上述方向导数中的下标点是场中任意点，则可略去上述方向导数中的下标 ，则，则现在学习的是第14页，共45页Nanjing University of Information Science&Technology 矢量矢量 的特点：的特点：1）垂直于考察点处的等

10、值面的切平面；）垂直于考察点处的等值面的切平面；2）总是指向函数增大的方向，也就是曲面正法线方向；）总是指向函数增大的方向，也就是曲面正法线方向；3）大小反映场值变化快慢。）大小反映场值变化快慢。现在学习的是第15页，共45页Nanjing University of Information Science&Technology梯度梯度:标量场在某点标量场在某点最大最大方向导数、连同相应的方向称为标量场在该方向导数、连同相应的方向称为标量场在该 点的梯度。显然，点的梯度。显然，梯度是一个梯度是一个矢量矢量。在直角坐标系中，标量场在直角坐标系中，标量场 的梯度可表示为的梯度可表示为式中式中gra

11、d 是英文字母是英文字母 gradient 的缩写。的缩写。引入哈密顿算子的矢量符号引入哈密顿算子的矢量符号，在直角坐标系中可表示为，在直角坐标系中可表示为则梯度可表示为则梯度可表示为现在学习的是第16页，共45页Nanjing University of Information Science&Technology基本公式基本公式为常数现在学习的是第17页，共45页Nanjing University of Information Science&Technology例：例：设设 和和 分别表示空间点分别表示空间点P(x,y,z)P(x,y,z)和点和点P(x,y,z)P(x,y,z)的矢经

12、，的矢经，R R表示这两点之间的距离。试证明表示这两点之间的距离。试证明（1 1）（2 2）式中，式中，分别表示对坐标变量分别表示对坐标变量 (x,y,z)(x,y,z)和和(x,y,z)(x,y,z)的哈密顿算子的哈密顿算子现在学习的是第18页，共45页Nanjing University of Information Science&Technology1.3 矢量场的通量与散度矢量场的通量与散度 通量线通量线：在场中画一些曲线，曲线上的每一点的切线方向代表该点：在场中画一些曲线，曲线上的每一点的切线方向代表该点 矢量场方向，而横向的通量线密度代表该点矢量场大小。矢量场方向，而横向的通量线

13、密度代表该点矢量场大小。一一.矢量场的通量矢量场的通量 通通 量量：矢量场：矢量场 穿过曲面穿过曲面 的通量线的总数。用公式表示如下的通量线的总数。用公式表示如下 式中，矢量面积元式中，矢量面积元 ，而而 为为 的法向单位矢。的法向单位矢。现在学习的是第19页，共45页Nanjing University of Information Science&Technology 说明说明：1 1）通量可以为正数、负数或零，此处，正、负仅仅反映通）通量可以为正数、负数或零，此处，正、负仅仅反映通 量线从那一侧穿过曲面；量线从那一侧穿过曲面；2 2）对非闭合曲面，其法线方向需事先规定；对闭合曲面，）对非

14、闭合曲面，其法线方向需事先规定；对闭合曲面，其法向一般规定由闭合曲面内部指向外部，相应积分为其法向一般规定由闭合曲面内部指向外部，相应积分为 3 3）通量反映）通量反映(净净)源发出源发出 或或(净净)沟吸收沟吸收 通量线的情况，相通量线的情况，相 应场矢量可称为通量密度。应场矢量可称为通量密度。现在学习的是第20页，共45页Nanjing University of Information Science&Technology二二.矢量场散度矢量场散度散度：散度：当闭合面当闭合面 S 向某点无限收缩时，矢量向某点无限收缩时，矢量 通过该闭合面通过该闭合面S 的的 通量与该闭合面包围的体积之比

15、的极限称为矢量场通量与该闭合面包围的体积之比的极限称为矢量场 在该在该 点的散度，以点的散度，以 div 表示，即表示，即式中式中div 是英文字母是英文字母 divergence 的缩写，的缩写，V 为闭合面为闭合面 S 包围的体积。上式包围的体积。上式表明，表明，散度是一个标量散度是一个标量，它可理解为通过包围单位体积闭合面的通量。，它可理解为通过包围单位体积闭合面的通量。现在学习的是第21页，共45页Nanjing University of Information Science&Technology可以证明，在直角坐标系中散度可表示为可以证明，在直角坐标系中散度可表示为 结合前面的哈

16、密顿算子，则有结合前面的哈密顿算子，则有 式中，式中，为在直角坐标系中为在直角坐标系中 的三个分量，即的三个分量，即 现在学习的是第22页，共45页Nanjing University of Information Science&Technology基本公式基本公式现在学习的是第23页，共45页Nanjing University of Information Science&Technology例：例：设设R R表示空间点表示空间点P(x,y,z)P(x,y,z)和点和点P(xyz)P(xyz)之间的之间的 距离，试求：距离，试求：现在学习的是第24页，共45页Nanjing Univer

17、sity of Information Science&Technology1.4 矢量场的环量与旋度矢量场的环量与旋度环量：环量：矢量场矢量场 沿一条有向曲线沿一条有向曲线 的线积分称为矢量场的线积分称为矢量场 沿该曲沿该曲 线的环量，以线的环量，以 表示，即表示，即一一.矢量场的环量矢量场的环量 说明说明：1 1）环量是一个标量，可以为正数、负数或零，此处，正、）环量是一个标量，可以为正数、负数或零，此处，正、负反映矢量场在闭合曲线上的环绕方向；负反映矢量场在闭合曲线上的环绕方向；2 2）环量大小反映矢量场沿闭合曲线的分布强度情况。准确）环量大小反映矢量场沿闭合曲线的分布强度情况。准确 地

18、，反映围线上的场矢量与围线所围场源间的关系（如稳恒地，反映围线上的场矢量与围线所围场源间的关系（如稳恒 磁场中，有磁场中，有 ）。）。可见，环量可以用来描述漩涡场矢量与旋涡源的总体关系。可见，环量可以用来描述漩涡场矢量与旋涡源的总体关系。现在学习的是第25页，共45页Nanjing University of Information Science&Technology 旋度引入分析：旋度引入分析：如图，如图，为曲线为曲线 所围面积，其法线方向所围面积，其法线方向 与围线与围线 的环绕方向成右手螺旋关系。的环绕方向成右手螺旋关系。二二.矢量场旋度矢量场旋度描述描述 上旋涡源与围线上旋涡上旋涡源

19、与围线上旋涡场的总体关系场的总体关系描述描述 上旋涡源与围线上旋涡上旋涡源与围线上旋涡场的平均关系旋涡场的平均关系旋涡描述描述 点在方向点在方向 上，旋涡源与旋涡场的关系。上，旋涡源与旋涡场的关系。或称矢量场在或称矢量场在 点沿点沿 方向的环量密度方向的环量密度可可见见，要要准准确确描描述述场场中中任任意意点点的的旋旋涡涡源源与与旋旋涡涡场场间间的的关关系系，这这个个量量应应该该是是一一个个既既有大小又有方向的量，即它是一个有大小又有方向的量，即它是一个矢量矢量。现在学习的是第26页，共45页Nanjing University of Information Science&Technolog

20、y旋度：旋度：已给已给矢量场矢量场 ，若在空间某给定点，若在空间某给定点 处存在这样一个矢量，它处存在这样一个矢量，它 的大小等于该点最大的环流密度，它的方向为取得最大环流密的大小等于该点最大的环流密度，它的方向为取得最大环流密 度的那块小面积度的那块小面积 的法线方向，则这个矢量称为矢量的法线方向，则这个矢量称为矢量 在在 点的点的 旋度旋度(rotation或或curl)，记为，记为 (或记为或记为 )。旋度公式推导思路：旋度公式推导思路：在直角坐标系中，分别求出场点在直角坐标系中，分别求出场点 处沿处沿 轴方向、轴方向、轴方向和轴方向和 轴方向的环流密度，然后由这三个分量构成的矢量轴方向

21、的环流密度，然后由这三个分量构成的矢量 就是所要求的场点就是所要求的场点 处的旋度。经详细数学推导，可得处的旋度。经详细数学推导，可得综上，场点综上，场点 在在 方向的环流密度是旋度矢量在该方向上的投影，即方向的环流密度是旋度矢量在该方向上的投影，即现在学习的是第27页，共45页Nanjing University of Information Science&Technology容易证明，旋度也可用哈密顿算子表示，于是有容易证明，旋度也可用哈密顿算子表示，于是有（按第一行展开）（按第一行展开）现在学习的是第28页，共45页Nanjing University of Information S

22、cience&Technology基本公式基本公式现在学习的是第29页，共45页Nanjing University of Information Science&Technology例：例：试证明试证明 （C C为常矢量，为常矢量，r r为矢经）。为矢经）。证明证明现在学习的是第30页，共45页Nanjing University of Information Science&Technology梯度：描述了空间各点标量位的最大变化率及其方向梯度：描述了空间各点标量位的最大变化率及其方向 一个标量函数的梯度是一个矢量函数一个标量函数的梯度是一个矢量函数三三.梯度、散度、旋度的比较梯度、散度、

23、旋度的比较有源场有源场：存在通量源的场：存在通量源的场有旋场有旋场：存在旋涡源的场：存在旋涡源的场散度：描述了空间各点场矢量与通量源之间的关系散度：描述了空间各点场矢量与通量源之间的关系 一个矢量函数的散度是一个标量函数一个矢量函数的散度是一个标量函数旋度：描述了空间各点场矢量与旋涡源之间的关系旋度：描述了空间各点场矢量与旋涡源之间的关系 一个矢量函数的旋度是一个矢量函数一个矢量函数的旋度是一个矢量函数一个非零的矢量场不可能既是无源场又是无旋场一个非零的矢量场不可能既是无源场又是无旋场现在学习的是第31页，共45页Nanjing University of Information Scienc

24、e&Technology1.5 矢量的恒等式和基本定理矢量的恒等式和基本定理三个重要的恒等式三个重要的恒等式任何一个标量函数的梯度的旋度必等于零。由此可见，任何一个梯度场任何一个标量函数的梯度的旋度必等于零。由此可见，任何一个梯度场必然为无旋场，而任何一个无旋场也必为有位场。必然为无旋场，而任何一个无旋场也必为有位场。任何一个矢量函数的旋度的散度必等于零。由此可见，旋度场必为无任何一个矢量函数的旋度的散度必等于零。由此可见，旋度场必为无源场，而任何一个无源场必为有旋场。源场，而任何一个无源场必为有旋场。称为拉普拉斯算子。称为拉普拉斯算子。现在学习的是第32页，共45页Nanjing Unive

25、rsity of Information Science&Technology高斯定理：高斯定理：矢量场矢量场 穿过空间任一闭合曲面穿过空间任一闭合曲面 的通量等于该矢量的散的通量等于该矢量的散 度在曲面度在曲面 所包围体积所包围体积 内的体积分。即内的体积分。即 从数学角度看，高斯定理建立了面积分和体积分的关系；从物理角度看，从数学角度看，高斯定理建立了面积分和体积分的关系；从物理角度看，高斯定理建立了区域高斯定理建立了区域 V 中的源和包围区域中的源和包围区域 V 的闭合面的闭合面 S 上的场之间的关系。因上的场之间的关系。因此，如果已知区域此，如果已知区域 V 中的源，在一些特殊情况下，

26、可求出边界中的源，在一些特殊情况下，可求出边界 S 上的场；上的场；反之，由场可求出源。反之，由场可求出源。现在学习的是第33页，共45页Nanjing University of Information Science&Technology斯托克斯定理：斯托克斯定理：矢量场矢量场 沿空间任一闭合曲线沿空间任一闭合曲线 的环量等于该矢量场的旋度穿过以的环量等于该矢量场的旋度穿过以 作为作为 边界曲线的任一开放曲面边界曲线的任一开放曲面 的通量。即的通量。即 同高斯定理类似，从数学角度看，同高斯定理类似，从数学角度看，斯托克斯斯托克斯定理建立了线积分和面积分的定理建立了线积分和面积分的关系；从物

27、理角度看，关系；从物理角度看，斯托克斯斯托克斯定理建立了区域定理建立了区域 S 中的源和包围区域中的源和包围区域 S 的闭的闭合曲线合曲线 l 上的场之间的关系。因此，如果已知区域上的场之间的关系。因此，如果已知区域 S 中的源，在特殊条件下，可求中的源，在特殊条件下，可求出边界出边界 l 上的场；反之，上的场；反之，由场可求出源由场可求出源。现在学习的是第34页，共45页Nanjing University of Information Science&Technology格林定理格林定理 设任意两个标量场设任意两个标量场 及及，若在区域，若在区域 V 中具有连续的二阶偏导数，如下图示。中具

28、有连续的二阶偏导数，如下图示。那么，可以证明该两个标量场那么，可以证明该两个标量场 及及 满足下列等式满足下列等式式中式中S 为包围为包围V 的闭合曲面，的闭合曲面，为标量为标量场场 在在 S 表面的外法线表面的外法线 en 方向上的偏方向上的偏导数。导数。SV,根据方向导数与梯度的关系，上式又可写成根据方向导数与梯度的关系，上式又可写成上两式称为上两式称为格林第一定理格林第一定理。现在学习的是第35页，共45页Nanjing University of Information Science&Technology基于上式还可获得下列两式：基于上式还可获得下列两式：上两式称为上两式称为标量第二

29、格林定理标量第二格林定理。格格林林定定理理，说说明明区区域域 V 中中的的场场与与边边界界 S 上上的的场场之之间间的的关关系系。因因此此，利利用用格格林林定理可以将区域中场的求解问题转变为边界上场的求解问题。定理可以将区域中场的求解问题转变为边界上场的求解问题。现在学习的是第36页，共45页Nanjing University of Information Science&Technology矢量场的唯一性定理矢量场的唯一性定理：位于某一区域中的矢量场，当其：位于某一区域中的矢量场，当其散度散度、旋旋 度度以及边界上场量的以及边界上场量的切向切向分量（或分量（或法向法向分量）给定后，则分量）

30、给定后，则 该区域中的矢量场被唯一地确定。该区域中的矢量场被唯一地确定。已知散度和旋度代表产生矢量场的源，可见唯一性定理表明，已知散度和旋度代表产生矢量场的源，可见唯一性定理表明，矢量场被其矢量场被其源源及及边界条件边界条件共同决定的。共同决定的。现在学习的是第37页，共45页Nanjing University of Information Science&Technology亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理：空间有限区域：空间有限区域 内的任一矢量场内的任一矢量场 均可以表示为一均可以表示为一 个无源场个无源场 (即即 或或 )和一个无旋场和一个无旋场 (即即 或或 )之和，即之和，即 式中式中这

31、里，这里，和和 分别表示源点和场点的坐标，分别表示源点和场点的坐标，是区域是区域 的边界闭合的边界闭合曲面，曲面，现在学习的是第38页，共45页Nanjing University of Information Science&Technology亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理(特例情况，即场区特例情况，即场区 ，源区，源区 有限有限)：式中式中可见，在无限大空间中，只要知道矢量场的散度和旋度，就能将空间中的这个可见，在无限大空间中，只要知道矢量场的散度和旋度，就能将空间中的这个矢量场定量地确定下来。矢量场定量地确定下来。现在学习的是第39页，共45页Nanjing University of In

32、formation Science&Technology1.6 正交曲面坐标系正交曲面坐标系 zxyz=z 0 x=x 0y=y 0P0O 一一.三种常用的正交坐标系三种常用的正交坐标系 1.1.直角坐标系直角坐标系 变量范围：变量范围：单位方向：单位方向：成右旋关系，且成右旋关系，且长度微元：长度微元：体积微元：体积微元：矢量表示：矢量表示：现在学习的是第40页，共45页Nanjing University of Information Science&Technology 2.2.园柱坐标系园柱坐标系 变量范围：变量范围：单位方向：单位方向：成右旋关系，且成右旋关系，且长度微元：长度微元：

33、体积微元：体积微元：矢量表示：矢量表示：面积微元：面积微元：现在学习的是第41页，共45页Nanjing University of Information Science&Technology 3.3.球面坐标系球面坐标系 变量范围：变量范围：单位方向：单位方向：成右旋关系，且成右旋关系，且长度微元：长度微元：体积微元：体积微元：矢量表示：矢量表示：面积微元：面积微元：现在学习的是第42页，共45页Nanjing University of Information Science&Technology 二二.三种常用坐标系的转换三种常用坐标系的转换 1.1.直角坐标系与圆柱坐标系之间的关系直

34、角坐标系与圆柱坐标系之间的关系 1).1).用用 表示表示2).2).用用 表示表示现在学习的是第43页，共45页Nanjing University of Information Science&Technology 2.2.直角坐标系与球面坐标系之间的关系直角坐标系与球面坐标系之间的关系 按按1 1中的类似方法求解，结果参见教材中的类似方法求解，结果参见教材 3.3.圆柱坐标系与球面坐标系之间的关系圆柱坐标系与球面坐标系之间的关系 按按1 1中的类似方法求解，或由中的类似方法求解，或由1 1和和2 2的结果推出它们的结果推出它们间的关系，具体过程不在这里给出。结果参见教间的关系，具体过程不在这里给出。结果参见教材材 现在学习的是第44页，共45页Nanjing University of Information Science&Technology三种坐标系中梯度、散度、旋度和拉普拉斯展开式（三种坐标系中梯度、散度、旋度和拉普拉斯展开式（详见教材 ）特别值得注意的是，在圆柱坐标系和球面坐标系中，特别值得注意的是，在圆柱坐标系和球面坐标系中，表达形式比直角坐标系复杂的多。表达形式比直角坐标系复杂的多。现在学习的是第45页，共45页