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1、会计学1设函数设函数fx的定义域为的定义域为I第一页，编辑于星期二：九点 一分。设函数设函数 f(x)的定义域为的定义域为 I:一、函数的单调性一、函数的单调性注注:函函数数是是增增函函数数还还是是减减函函数数是是对对定定义义域域内内某某个个区区间间而而言言的的.有有的的函数在一些区间上是增函数函数在一些区间上是增函数,而在另一些区间上可能是减函数而在另一些区间上可能是减函数.如如果果对对于于属属于于定定义义域域 I 内内某某个个区区间间上上的的任任意意两两个个自自变变量量的的值值 x1,x2,当当 x1x2 时时,都都有有 f(x1)f(x2),那那么么就就说说 f(x)在在这这个个区区间间
2、上上是是增增函数函数;如如果果对对于于属属于于定定义义域域 I 内内某某个个区区间间上上的的任任意意两两个个自自变变量量的的值值 x1,x2,当当 x1f(x2),那那么么就就说说 f(x)在在这这个个区区间间上上是减函数是减函数.第1页/共20页第二页，编辑于星期二：九点 一分。如如果果函函数数y=f(x)在在某某个个区区间间是是增增函函数数或或减减函函数数,那那么么就就说说函函数数 y=f(x)在在这这一一区区间间上上具具有有(严严格格的的)单单调调性性,这这一一区区间间叫叫做做函函数数 y=f(x)的单调区间的单调区间.二、单调区间二、单调区间1.取值取值:对任意对任意 x1,x2 M,
3、且且 x10(0,b0)的单调区的单调区间间.xb解解:函数函数 f(x)的的定义域为定义域为(-,0)(0,+),典型例题典型例题函数函数 f(x)的导函数的导函数 f (x)=a-=,bx2ax2-b x2函数函数 f(x)的单调递增区间是的单调递增区间是(-,-)与与(,+),abab函数函数 f(x)的单调递减区间是的单调递减区间是(-,0)与与(0,).abab令令 f (x)0 得得:x2 -x0 或或 0 x0 得得:x2 x ;ababab第5页/共20页第六页，编辑于星期二：九点 一分。求函数的单调区间是单调性学习中的最基本的问题求函数的单调区间是单调性学习中的最基本的问题,
4、但必须但必须注意注意,如果函数的解析式含有如果函数的解析式含有参数参数,而且参数的取值影响函数的单调而且参数的取值影响函数的单调区间区间,这时必须对参数的取值进行这时必须对参数的取值进行分类讨论分类讨论.注注:这个函数的单调性十分重要这个函数的单调性十分重要,应用非常广泛应用非常广泛,它的图象如图它的图象如图所示所示:oyx2 ab-2 ab baba-第6页/共20页第七页，编辑于星期二：九点 一分。2.求函数求函数 f(x)=x+2-ax 的单调区间的单调区间.解解:函数函数 f(x)的的定义域为定义域为-2,+),当当 a0 时时,f (x)0(x(-2,+),当当 a0 时时,定义域定
5、义域-2,+)为为 f(x)的单调递增区间的单调递增区间;f (x)=-a=,2 x+2 1 2 x+2 1-2a x+2 当当 a0 时时,令令 f (x)0,则则 2a x+2 1.4a2(x+2)1 而而 f(x)的单调递减区间是的单调递减区间是(-2,+).4a2 1 x -2;4a2 1 令令 f (x)-2.4a2 1 当当 a0 时时,f(x)的单调递增区间是的单调递增区间是-2,-2),4a2 1 第7页/共20页第八页，编辑于星期二：九点 一分。3.试讨论函数试讨论函数 y=2log2 x-2log x+1 的单调的单调性性.1212解解:令令 t=log x,则则 t 关于
6、关于 x 在在(0,+)上单调递减上单调递减.12而而 y=2t2-2t+1 在在(-,上单减上单减,在在 ,+)上单上单增增,1212又由又由 t得得 x ,1222由由 t 得得 0 x ,1222故函数故函数 y=2log2 x-2log x+1 在在 ,+)上单调递增上单调递增,在在(0,上单调递减上单调递减.12122222第8页/共20页第九页，编辑于星期二：九点 一分。4.设函数设函数 f(x)=kx3+3(k-1)x2-k2+1.(1)当当 k 为何值时为何值时,函数函数 f(x)的的单调递减区间是单调递减区间是(0,4);(2)当当 k 为何值时为何值时,函数函数 f(x)在
7、在(0,4)内单调递内单调递减减.不等式不等式 f (x)0 的解集为的解集为(0,4),0 与与 4 是方程是方程 kx2+2(k-1)x=0 的两根的两根,即即 kx2+2(k-1)x0 的解集为的解集为(0,4),故由根与系数的关系可求得故由根与系数的关系可求得 k 值为值为 .13(2)命题等价于命题等价于 kx2+2(k-1)x0 对对 x(0,4)恒成立恒成立,设设g(x)=kx+2(k-1),等价于等价于 kx+2(k-1)0 对对 x(0,4)恒成立恒成立,由于由于 g(x)的图象为一条直线的图象为一条直线,g(0)0 g(4)0 k .13则则(或分离变量或分离变量 k0 得
8、得:x-1 或或 0 x1;由由g(x)0 得得:-1x1.故故 g(x)的单调递增区间是的单调递增区间是(-,-1)与与 (0,1);单调递减区间是单调递减区间是(-1,0)与与 (1,+).5.已知已知 f(x)=8+2x-x2,若若 g(x)=f(2-x2),试确定试确定 g(x)的单调区间的单调区间.第11页/共20页第十二页，编辑于星期二：九点 一分。6.已知已知f(x)是定义在是定义在R上的增函数上的增函数,对对x R有有f(x)0,且且f(5)=1,设设F(x)=f(x)+,讨论讨论 F(x)的单调性的单调性,并证明你的并证明你的结论结论.f(x)1 分析分析:这是抽象函数的单调
9、性问题这是抽象函数的单调性问题,应该用单调性定义解决应该用单调性定义解决.解解:在在 R 上任取上任取 x1,x2,设设 x1f(x1)且且:F(x2)-F(x1)=f(x2)+-f(x1)+f(x1)1f(x2)1=f(x2)-f(x1)1-.f(x1)f(x2)1 f(x)是是 R 上的增函数上的增函数,且且 f(5)=1,当当 x5 时时 0f(x)1,而当而当 x5 时时 f(x)1.若若 x1x25,则则 0f(x1)f(x2)1,0f(x1)f(x2)0,F(x2)F(x1);1-x15,则则 f(x2)f(x1)1,f(x1)f(x2)1,综上综上,F(x)在在(-,5 上上为减
10、函数为减函数,在在 5,+)上上为增函数为增函数.f(x2)-f(x1)0,F(x2)F(x1).1-0,f(x1)f(x2)1第12页/共20页第十三页，编辑于星期二：九点 一分。(1)证证:由已知由已知,对任意的对任意的 x1,x2(-,+)且且 x10,f(x2-x1)1.f(x2-x1)-10.f(x2)-f(x1)0 即即 f(x2)f(x1).f(x)是是 R 上上 的增函数的增函数.(2)解解:f(4)=5,令令 a=b=2 得得:f(4)=f(2)+f(2)-1,从而从而 f(2)=3.原原不等式等价于不等式等价于 f(3m2-m-2)f(2).f(x)是是 R 上上 的增函数
11、的增函数,3m2-m-22,即即 3m2-m-40.解得解得:-1m .4343故不等式故不等式 f(3m2-m-2)0 时时,有有 f(x)1.(1)求证求证:f(x)是是 R 上上 的增函数的增函数;(2)若若 f(4)=5,解不解不等式等式 f(3m2-m-2)0.解得解得:-1x0.1x2 1-x1 1+x1 1-x2 1+x2 又对任意的又对任意的 x1,x2(0,1)且且 x10,且有且有:1x1 1x2 1+x21+x10;1-x11-x20,1-x1 1+x1 1-x2 1+x2 -0.log2 -log2 0.1-x1 1+x1 1-x2 1+x2 即即 f(x1)f(x2)
12、.函数函数 f(x)在在(0,1)内单调递减内单调递减.由于由于 f(x)是奇函数是奇函数,故故函数函数 f(x)在在(-1,0)内也单调递减内也单调递减.第14页/共20页第十五页，编辑于星期二：九点 一分。9.已知函数已知函数 f(x)的定义域为的定义域为(-,0)(0,+),且满足条件且满足条件:f(xy)=f(x)+f(y),f(2)=1,当当 x1 时时,f(x)0.(1)求证求证:f(x)为偶函数；为偶函数；(2)讨论函数的单调性；讨论函数的单调性；(3)求不等式求不等式 f(x)+f(x-3)2的的解集解集.(1)证证:在在中令中令 x=y=1,得得 f(1)=f(1)+f(1)
13、f(1)=0.令令 x=y=-1,得得 f(1)=f(-1)+f(-1)f(-1)=0.再令再令 y=-1,得得 f(-x)=f(x)+f(-1)=f(x).f(x)为偶函数为偶函数.先讨论先讨论 f(x)在在(0,+)上的单调性上的单调性,任取任取x1,x2,设设x2x10,f(x2)f(x1).f(x)在在(0,+)上是增函数上是增函数,由由(1)知知,f(x)在在(-,0)上是减函数上是减函数.偶函数图象关于偶函数图象关于 y 轴对称轴对称,(2)解解:在在中令中令 y=,得得:x1 由由知知 f()0.x2 x1 1,x2 x1 f(1)=f(x)+f()f()=-f(x),x 1 x
14、 1 则则 f(x2)-f(x1)=f(x2)+f()=f().x2 x1 x1 1 第15页/共20页第十六页，编辑于星期二：九点 一分。(3)解解:fx(x-3)=f(x)+f(x-3)2,由由、得得 2=1+1=f(2)+f(2)=f(4)=f(-4),1)若若 x(x-3)0,f(x)在在(0,+)上为增函数上为增函数,由由 fx(x-3)f(4)得得:2)若若 x(x-3)0 x(x-3)4 x3-1x4 -1x0 或或 3x4;x(x-3)0 x(x-3)-4 0 x3.0 x3 x R 原不等式的解集为原不等式的解集为-1,0)(0,3)(3,4.注注 抽象函数问题是函数学习中一
15、类比较特殊的问题抽象函数问题是函数学习中一类比较特殊的问题,其基本方其基本方法是变量代换、换元等法是变量代换、换元等,应熟练掌握它们的这些特点应熟练掌握它们的这些特点.法二法二 原不等式等价于原不等式等价于 f|x(x-3)|f(4)(x 0,x-3 0),由由 f(x)在在(0,+)上为增函数得上为增函数得:|x(x-3)|4.再进一步求得解集再进一步求得解集.第16页/共20页第十七页，编辑于星期二：九点 一分。10.(04福建福建)已知已知f(x)=(xR)在区间在区间-1,1 上是增函上是增函数数.(1)求实数求实数 a 的值所组成的集合的值所组成的集合 A；(2)设关于设关于 x 的
16、方程的方程 f(x)=的两个非零实根为的两个非零实根为 x1,x2.试问试问:是否存在实数是否存在实数 m,使使得不等式得不等式m2+tm+1|x1-x2|对任意对任意 a A 及及 t-1,1 恒成立恒成立?若若存在存在,求求 出出 m 的取值范围；若不存在的取值范围；若不存在,说明理由说明理由.x2+2 2x-a 1x解解:(1)f (x)=.4+2ax-2x2(x2+2)2-2(x2-ax-2)(x2+2)2 f(x)在区间在区间-1,1 上是增函数上是增函数,f (x)0 对对 x-1,1 恒成立恒成立.即即 x2-ax-20 对对 x-1,1 恒成立恒成立.设设 (x)=x2-ax-
17、2.方法一方法一:-1a1.(1)=1-a-20 (-1)=1+a-20 对对 x-1,1,f(x)是连续函数是连续函数,且只有当且只有当 a=1 时时,f (-1)=0以及当以及当 a=-1 时时,f (1)=0,A=a|-1a1.第17页/共20页第十八页，编辑于星期二：九点 一分。方法二方法二:对对x-1,1,f(x)是连续函数是连续函数,且只有当且只有当 a=1 时时,f (-1)=0以及当以及当 a=-1 时时,f (1)=0,A=a|-1a1.(-1)=1+a-20 a20 0a1 或或-1a0 (1)=1-a-20 a20,x1,x2 是方程是方程 x2-ax-2=0 的两实根的
18、两实根.从而从而|x1-x2|=(x1+x2)2-4x1x2=a2+8.x1+x2=a,x1x2=-2,-1a1,|x1-x2|=a2+8 3.要使要使 m2+tm+1|x1-x2|对任意对任意 aA 及及 t-1,1 恒成立恒成立,当且仅当当且仅当 m2+tm+13 对任意对任意 t-1,1 恒成立恒成立,即即 m2+tm-20 对任意对任意 t-1,1 恒成立恒成立.设设 g(t)=m2+tm-2=mt+(m2-2),第18页/共20页第十九页，编辑于星期二：九点 一分。方法一方法一:g(-1)=m2-m-20 g(1)=m2+m-20 m2 或或 m-2.方法二方法二:当当 m=0 时时,显然不成立显然不成立;当当 m 0 时时,g(-1)=m2-m-20 m0 m2 或或 m-2.g(1)=m2+m-20 或或m0 存在实数存在实数 m,使不等式使不等式 m2+tm+1|x1-x2|对任意对任意 a A 及及 t-1,1 恒成立恒成立,其取值范围是其取值范围是(-,-2)(2,+).存在实数存在实数 m,使不等式使不等式 m2+tm+1|x1-x2|对任意对任意 a A 及及 t-1,1 恒成立恒成立,其取值范围是其取值范围是(-,-2)(2,+).第19页/共20页第二十页，编辑于星期二：九点 一分。