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1、1专题专题 0606 指数函数指数函数考点 29根式的化简运算考点 30根式与分数指数幂的互化考点 31指数幂的运算考点 32指数函数考点 33指数函数定义域和特殊点考点 34指数函数单调性与值域考点 35指数函数的图象变换考点 36指数函数综合题考点 37指数式与对数式的互化考点 29 根式的化简运算根式（1）定义：如果nxa，那么 x 称为a的n次方根.（2）两个重要公式：,nna naan 为奇数，为偶数nna)(a. 【例例】计算： .32 231 2341 24【解析】32()221(1)2，2222原式 1 2231 2341 24|1|(1)|1|222111122221（a4）
2、0有意义，则a的取值范围是4a- 2小试牛刀典型例题要点阐述2Aa2B2a4Ca2Da4252的平方根是6AB3232CD，233223【答案】D【解析】52（）2，从而52的平方根是和，从而选D项632632233下列各式正确的是A3Ba（3）24a4C2D2223（2）3【答案】C【解析】由于3，|a|，2，故A、B、D错误，故选 C（3）24a43（2）3【易错易混】解题时注意符号4下列式子中成立的是AaBaaa3aa3CaDaaa3aa3【答案】C【解析】要使a有意义，则a0，a故a（a），故选 Caa（a）2（a）a35的值是（ab）25（ab）5A0B2（ab）C0 或 2（ab）
3、Dab【答案】C【解析】分类讨论，当ab0 时，原式（ab）（ab）2（ab） ；当ab0，y0Bx0，y0Dx0，y0Bx0，y0Dx1DxR R，且x1【答案】D【解析】 （|x|1） ，|x|10，13|x|1即x1x的取值范围是xR R，且x12用分数指数幂表示下列各式（其中各式字母均为正数） 考题速递8（1）322aba b；（2）33 24ab（+ ）【答案】 （1）1 223aba b（+）；（2）1 332ab（+ ）【解析】 （1）1 322223aba baba b （+）（2）21 33 23333442ababab（+ ）（+ ）（+ ）3已知 0b0，求的值abab【
4、答案】 55【解析】 （1）a，b是方程x26x40 的两实数根，Error!ab0，ab则2 (a ba b)ab2 abab2 ab62 462 42 101 5a ba b1 555幂的玄机幂的玄机有一天，一个叫杰米的百万富翁，碰上一件很奇怪的事一个叫韦伯的人对他说：“我想和你定个合同，我将在整整一个月每天给你 10 万元，而你第一天只需给我一分钱，以后每天给我的钱是前一天的两倍 ”杰米说：“真的？！你说话算数？”合同生效了，杰米由最初的欣喜若狂直到最后破产，指数爆炸让杰米吃了大苦头这其中的奥妙玄机在哪呢？数学文化910考点 31 指数幂的运算指数幂的运算性质指数幂的运算性质（1）aaa
5、 A；（2）()aa；（3）()aba b；【例例】若a1，b0，abab2，则abab等于2AB2 或26C2D2【答案】D【方法技巧】平方法在求值中的应用遇到式子中含有指数互为相反数的数，通常用平方法进行解决，平方后观察条件和结论的关系，变形求解即可1下列各式运算错误的是A （a2b）2（ab2）3a7b8B （a2b3）3（ab2）3a3b3C （a3）2（b2）3a6b6D（a3）2（b2）33a18b18【答案】C【解析】对于A， （a2b）2（ab2）3a4b2（a3b6）a7b8，故A正确；对于B，（a2b3）3（ab2）3a6b9（a3b6）a63b96a3b3，故B正确；对于
6、C， （a3）2（b2）3a6（b6）a6b6，故C错误；对于D，易知正确，故选 C2下列各式中正确的个数是（1）（）na（n是奇数且n1，a是实数） ；nanna（2）（）na（n是正偶数，a是实数） ；nanna（3）ab（a，b是实数） 3a3b2A0B1小试牛刀典型例题要点阐述11C2D3【易错易混】对指数幂的运算，要分清开方、乘方等的运算顺序，用好分数指数幂的运算法则与性质及一些乘法公式3计算（2a3b）（3a1b）（4a4b）得2 35 3Ab2Bb2CbDb3 23 23 27 33 27 3【答案】A【解析】原式b26a4b1 34a4b533 2【解题技巧】指数幂运算的一般原
7、则（1）有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算（2）先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数（3）底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数（4）若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答4（）0的值是614333840.062 53A0B1 2C1D3 2【答案】B【解析】原式 051 5 23 21 25计算 02505 的值为(1 27)1 3416A7B3C7 或 3D5【答案】B12【解析】02505 (1 27)1 3416232323(1 2)(1 2) (1 3)(1 3)4246完成下列式子的化简：（1）
8、 （a2b3）（4a1b）（12a4b2c） ；（2）2433a6abb31计算+，结果是A1B2CD【答案】B【解析】原式=+1=+11=22的值等于(11 232)(11 216)(11 28)(11 24)(11 22)(11 2)A1B21 2641 263C D1 21 26534(11 232)【答案】B【解析】原式222(11 2) (11 2) (11 22) (11 24)(11 232)(11 22)(11 22)(11 232)考题速递132(11 264)1 2633已知11 225aa，则21a a 的值=_【答案】1 234已知 67x27,603y81，求 的值3
9、 x4 y【答案】2【解析】观察目标可以得到对条件进行如下变形，67x27，67x33，3 367x，同理，由 603y81 得4 3603y，两式相除得34 233xy， 23 x4 y举一反三举一反三有一天， “至圣先师”孔子对他的学生说：“举一隅，不以三隅反，则不复也 ”意思是说，我举出一个墙角，你们应该要能灵活的推想到另外三个墙角，如果不能的话，我也不会再教你们了后来，大家就把孔子说的这段话变成了“举一反三”这句成语，意思是说，学一件东西，可以灵活的思考，运用到其他相类似的东西上！数学文化14考点 32 指数函数指数函数的概念指数函数的概念: :函数yax（a0,且a1）叫做指数函数【
10、特别提醒】 （1）底数是大于 0 且不等于 1 的常数；（2）指数函数的自变量必须位于指数的位置上；（3）ax的系数必须为 1；（4）指数函数不会是多项式，如y=2x+1 不是指数函数【例例】已知函数f（x）是指数函数，且f，则f（3）_(3 2)525A5B25C125D250【思路归纳】设出指数函数，将已知点代入求出待定参数，求出指数函数的解析式；将x=3 代入解析式，即可求出f（3） 1下列各项对正整数指数函数的理解正确的有底数a0；指数xN N；底数不为 0；yax（a0，a1，xN N） A0 个B1 个C2 个D3 个【答案】D【解析】由正整数指数函数定义知错误，正确故选 D2下列
11、各函数中，是指数函数的是Ay（3）xBy3Cy3x1Dyx(1 3)【答案】D小试牛刀典型例题要点阐述15【解析】根据指数函数的定义，yax（a0 且a1） ，可知只有D项正确故选 D3函数y5x，xN N的值域是AR RBN NCN ND5，52，53，54，【易错易混】注意自变量的取值，准确写成集合的形式。4函数f（x）（a23a3）ax是指数函数，则有Aa1 或a2Ba1Ca2Da0 且a1【答案】C【解析】由题意得Error!解得a2【易错易混】根据指数函数的定义，可将“函数y=（a23a+3）ax是指数函数 ”转化为a23a+3=1，且底数满足：a0 且a1，进而解方程求出a值5经过
12、点（ ， ）的指数函数的解析式为3 28 27Ay（ ）xBy（ ）x9 43 2Cy（ ）xDy（ ）x4 92 3【答案】A【解析】将点（ ， ）代入指数函数yax（a0 且a1）中，则a，即（ ） （ ）3，所以3 28 273 28 271 a3 22 3 ，即a 1a2 39 41下列函数：y23x；y3x1；y3x；yx3，其中指数函数的个数是A0B1C2D3考题速递162指数函数xya=的图像经过点（2，16）则a的值是A1 4B1 2C2D4【答案】D【解析】设出指数函数，将已知点代入求出待定参数，求出指数函数的解析式即可设指数函数为xya（a0且a1）,将（2，16）代入得2
13、16a,解得a=4,所以xy43指数函数y=f（x）的图象经过点，那么f（4）f（2）等于A8B16C32D64【答案】D【解析】设f（x）=ax，由条件知f（2）= ，故a2= ，所以a=2，因此f（x）=2x，所以f（4）f（2）=2422=644若函数y（43a）x是指数函数，求实数a的取值范围【答案】a|a0，即x1函数的定义域为（1，+） 【解题技巧】求与指数函数有关的函数的定义域时，首先观察函数是xya型还是fya（x）型，前者的定义域是 R R，后者的定义域与f x（）的定义域一致1若函数f（x）3x3x与g（x）3x3x的定义域为 R R，则Af（x）与g（x）均为偶函数Bf（
14、x）为偶函数，g（x）为奇函数Cf（x）与g（x）均为奇函数Df（x）为奇函数，g（x）为偶函数2函数f（x）-3x1 的定义域、g（x）3x1 的定义域正确的是Af（x）定义域是 R R，g（x）定义域是 R RBf（x）定义域是（1，） ，g（x）定义域是 R RCf（x）定义域是 R R，g（x）定义域是（1，）D以上都不对【答案】A【解析】f（x）（1 3）x1，定义域为 R R，g（x）3x1 的定义域为 R R，故选 A3函数yax33（a0，且a1）的图象过定点_【答案】 （3，4）小试牛刀典型例题要点阐述19【思路归纳】思路一：令指数30x，求得x与y的值即得定点的坐标；思路二
15、：利用函数xya过定点0,1，结合函数图象的平移求函数yax33（a0，且a1）的图象过定点得坐标4函数ya2xb1（a0，且a1）的图象恒过定点（1，2） ，则b_【答案】2【解析】把点（1,2）代入，得 2a2b1，a2b1 恒成立2b0，b25求函数1422xxy的定义域【答案】R R【解析】因为对于任意的xR，函数1422xxy都有意义，所以函数1422xxy的定义域为 R R【易错易混】指数型函数的定义域要考虑系数、底数、指数各部分都有意义。1设集合Ax|x1|0 且a1）的图象必经过点A （0,1）B （1,1）C （2,0）D （2,2）【答案】D【解析】由yax过定点（0,1）
16、 ，则yax21 中x20 时ya012，即过点（2,2） 考题速递203已知函数f（x）ax，其中a0，且a1，如果以P（x1，f（x1） ） ，Q（x2，f（x2） ）为端点的线段的中点在y轴上，那么f（x1）f（x2）等于A1BaC2Da24若函数y21 21xxaa 为奇函数（1）求a的值；（2）求函数的定义域【答案】 （1）1 2；（2）x|x0【解析】函数y21 21xxaa ，ya1 21x（1）由奇函数的定义，可得f（x）f（x）0，即a1 21xa1 21x0，2a12 12xx 0，a1 2（2）y1 21 21x，2x10，即x0函数y1 21 21x的定义域为x|x0数
17、学文化21庄子庄子曰曰:“:“一尺之棰，日取其半，而万世不竭。一尺之棰，日取其半，而万世不竭。“ “22考点 34 指数函数单调性与值域指数函数指数函数: :（1）当a1 时，在R R上为增函数当 0253B0820905【答案】D【解析】y09x是减函数，且 0503，090309052函数f（x）=3x3（1bcBacbCcabDbca【解题技巧】比较大小问题常利用指数函数的单调性及中间值（0 或 1）法5若函数f（x）a|x1|（a0，且a1）的值域为1，） ，则f（4）与f（1）的关系是Af（4）f（1）Bf（4）f（1）Cf（4）1，f（4）a3，f（1）a2，由单调性知a3a2，f
18、（4）f（1） 6设f（x），求f（x）的值域2x1 2x1【解析】令y， （2x1）y2x1,2x（y1）1y,2x，2x1 2x11y 1y2x0，0，Error!1y 1y24或Error!解得11501，b2y3x，则下列各式中正确的是Axy0Bxy0Dxy2y3y2y3（y），可知f（x）f（y） 又f（x）为增函数，所以xy，故xy0故选 A4若a0 且a1，试比较a21xx与a3 4的大小【答案】 （1）a1 时，a21xxa3 4；（2）010nm0，则指数函数ymx，ynx的图象为【答案】C3若 01，b1，b0C00D00，且a1）的图象有两个公共点，求a的取值范围【解析】
19、当a1 时，通过平移变换和翻折变换可得如图（1）所示的图象，则由图可知 11 矛盾当 00，且a1）的图象可能是【答案】D考题速递302若函数yaxb的图象如图所示，则函数yb1 的图象为1 xaABCD【答案】C【解析】由图可知 00，a1）的值域为1，） ，则f（4）与f（1）的关系是Af（4）f（1）Bf（4）f（1）Cf（4）1，f（4）a3，f（1）a2，由单调性知a3a2，f（4）f（1） 3已知函数f（x）（xa） （xb） （其中ab）的图象如图所示，则函数g（x）axb的图象是【答案】A【解题技巧】4函数y164x的值域是A0，）B0，4C0，4）D （0，4）【答案】C【解
20、析】因为 4x0，所以 164x0，a1）的图象经过点A（1,6） ，B（3,24） （1）求f（x） ；（2）若不等式xxm0 在x（，1时恒成立，求实数m的取值范围(1 a)(1 b)【答案】 （1）f（x）32x；（2）m5 6【解析】 （1）把A（1,6） ，B（3,24）代入f（x）bax，得Error!结合a0 且a1，解得Error!f（x）32x37“因”与“果”客观事物存在相互的联系过去研究的大多数是因果关系，但实际上更多存在的是一种非因果关系，比如说：某某同学的数学成绩与物理成绩，彼此是互相联系的，但不能认为数学成绩是“因” ，物理成绩是“果” ，或者反过来说事实上数学和物
21、理成绩都是“果” ，而真正的“因”是学生的理科学习能力和努力程度数学文化38考点 37 指数式与对数式的互化指数式abN（a0，且a1）与对数式 logaNb（a0，且a1）可互相转化，即abNlogaNBlog5log3（log2x）0，则x1 2等于AB3639CD242 3【答案】C【思路归纳】此题中 log5log3（log2x）=0 是复合型对数方程解方程的问题，此类方程宜采取从外而内的方式逐层求解1若 logab（a0 且a1） ，则下列等式正确的是NANa2bBN2abCNb2aDN2ab【答案】A【解析】把 logab写成ab，N（ab）2a2bNN【解题技巧】指数式和对数式之
22、间互化，要牢记转化公式：ab=Nb=logaN2若a0，且a1，c0，则将abc化为对数式为AlogabcBlogacbClogbcaDlogcab【答案】B【解析】由对数的定义直接可得 logacb小试牛刀典型例题要点阐述393若 logxz则7yAy7xzByx7zCy7xDyz7x【答案】B【解析】由 logxz得：xz，yx7z7y7y4已知 logx4，则x1 16AB11 2C2D4【易错易混】化对数式为指数式，再由有理指数幂的运算性质化简求值注意根据条件，合理的舍去，避免增根5方程 2log3x 的解是1 4A9B33CD31 9【答案】D【解析】2log3x 221 4log3
23、x2x32 1 96若 log1 2xm，log1 4ym2，求的值x2 y401若 logx4，则x，y之间的关系正确的是3yAx4By64x3yCy3x4Dx3y2【答案】A【解析】logx4logxx4，则x43y3y2已知方程x2xlog26log230 的两根为、，则（ ）（ ）1 41 4AB361 36C6D6【答案】B【解析】由题意知：log26， （ ）（ ）（ ）（ ）log264log2622log26361 41 41 41 43如果f（10x）x则f（3）等于AlogBlg310 3C103D310【答案】B【解析】设 10xt，则xlgt于是f（t）lgt，故f（3
24、）lg34若1 2log xm，log1 4ym2，求的值x2 y考题速递41【答案】16自然对数自然对数 e e 和和 In ne 有时被称为自然常数（Naturalconstant） ，是一个约等于 271828182845904523536的无理数。 以 e 为底的对数称为自然对数（Naturallogarithm） ，数学中使用自然（Natural）这个词的还有自然数 （Naturalnumber） 。这里的“自然”并不是现代人所习惯的“大自然” ，而是有点儿“天然存在，非人为” 的意思。就像我们把食品分为天然食品和加工食品，天然食品就是未经人为处理的食品。但这样解读“自 然”这个词太浅薄了！为了还原全貌，必须穿越到 2500 多年前的古希腊时代。数学文化