《2022-2023学年重庆市第七中学校高二上学期期末数学试题(解析版).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022-2023学年重庆市第七中学校高二上学期期末数学试题(解析版).pdf（18页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、第 1 页 共 18 页 2022-2023 学年重庆市第七中学校高二上学期期末数学试题 一、单选题 1已知直线l的一个方向向量为1,1a，则直线l的倾斜角为（）A45 B90 C120 D135【答案】D【分析】由直线的方向向量的概念，即可求出直线l的斜率，进而求出直线l倾斜角.【详解】由于直线l的一个方向向量为(1,1)a，所以直线l的斜率为1，所以直线l的倾斜角为135.故选：D.2 na是等差数列，且14725815,24aaaaaa，则369aaa的值为（）A24 B27 C30 D33【答案】D【分析】根据等差数列的性质计算【详解】解：因为na是等差数列，设公差为d，则258147
2、3aaaaaad，3692583aaaaaad，所以147aaa，258aaa，369aaa也成等差数列，所以369aaa2582()aaa147()aaa2 24 1533 故选：D 3已知椭圆22159xyk的离心率13e，则k的值可能是（）A3 B7 C3 或418 D7 或74【答案】C【分析】根据给定的方程，按焦点位置分类求解作答.【详解】椭圆22159xyk的离心率13e，当椭圆焦点在 x 轴上时，59k，即4k，2(5)9159kek，解得418k，当椭圆焦点在 y 轴上时，059k，即54k，29(5)199ke，解得3k，第 2 页 共 18 页 所以k的值可能是 3 或41
3、8.故选：C 4若方程221343xymm表示双曲线，则实数m的取值范围为（）A4,3,3 B4,33 C4,3,3 D43,3【答案】C【分析】根据方程221343xymm表示双曲线，由3430mm求解.【详解】解：因为方程221343xymm表示双曲线，所以3430mm，即4303mm，解得43m 或3m ，所以实数m的取值范围为4,3,3，故选：C 5直线1ykx与圆22230 xyy的位置关系是（）A相交 B相切 C相离 D相交或相切【答案】D【分析】求出动直线过的定点，再判断该定点与圆的位置关系即可作答.【详解】Rk，当0 x 时，恒有1y，即直线1ykx过定点(0,1)A，在圆22
4、230 xyy中，当0,1xy时，方程22230 xyy成立，即点(0,1)A在圆22230 xyy上，所以直线1ykx与圆22230 xyy的位置关系是相交或相切 故选：D 6已知一个乒乓球从h米高的高度自由落下，每次落下后反弹的高度是原来高度的(01)mm倍，则当它第 2023 次着地时，经过的总路程是（）A2023211hmmhm Bh2022211hmmm Ch202311hmmm D202211hmmhm【答案】B 第 3 页 共 18 页【分析】根据等比数列的求和公式求解即可.【详解】解：从第 1 次着地到第 2 次着地经过的路程为2mh，第 2 次着地到第 3 次着地经过的路程为
5、22m h，组成以2mh为首项，公比为m的等比数列，所以第 1 次着地到第2023次着地经过的路程为2022211mhmm，所以经过的总路程是2022211mhmhm.故答案为：B.7从某个角度观察篮球（如图 1），可以得到一个对称的平面图形，如图 2 所示，篮球的外轮席为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，且ABBOOCCD，则该双曲线的离心率为（）A2 B3 C3 55 D4 77【答案】B【分析】设双曲线的标准方程为222210,0 xyabab，求出圆O与双曲线在第一象限内的交点E的坐标，将点E的坐标代入双曲线的方程，可得出ba的
6、值，再利用双曲线的离心率公式可求得该双曲线的离心率.【详解】设双曲线的标准方程为222210,0 xyabab，设圆O与双曲线在第一象限内的交点为E，连接DE、OE，则22OEODOCCDOCa，第 4 页 共 18 页 因为坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，则1284DOE，故点2,2Eaa，将点E的坐标代入双曲线的方程可得 2222221aaab，所以，2ba，所以，该双曲线的离心率为2223cabeaa.故选：B.8已知数列 na的前n项和23122nSnn，设11,nnnnbTa a为数列 nb的前n项和.若对任意的*nN，不等式124nTn恒成立，则实数的取值范围为（）A
7、,64 B,48 C,32 D16,【答案】A【分析】根据,nnaS的关系求出数列 na的通项公式，再根据裂项相消法求得nT，从而根据不等式恒成立求实数的取值范围.【详解】当2n时，2213131(1)(1)322222nnnaSSnnnnn，当1n 时111aS满足上式，所以32,nannN，所以11111132313 3231nnnba annnn，所以12111 111111343 473 3231nnTbbbnn 所以11133131nTnnn，由124nTn可得12431nnn，即24(31)1496nnnn恒成立，因为对勾函数14(96)yxx在1,单调递增，所以当1n 时1496
8、nn有最小值为 64，所以64，故选:A.第 5 页 共 18 页 二、多选题 9下列结论错误的是（）A过点 1,3,3,1AB 的直线的倾斜角为30 B若直线2360 xy与直线20axy垂直，则32a C直线240 xy与直线2410 xy 之间的距离是52 D已知 2,3,1,1AB，点P在x轴上，则PAPB的最小值是 5【答案】AC【分析】求出直线倾斜角判断 A；利用垂直关系求出 a判断 B；求出两条平行线间距离判断 C；利用对称求出最小值判断 D 作答.【详解】对于 A，直线AB倾斜角，斜率1 31tan3 12k，而3tan303，即30，A 不正确;对于 B，直线2360 xy与
9、直线20axy垂直，则230a，解得32a，B 正确；对于 C，直线2480 xy与直线2410 xy 平行，它们间的距离22|8 1|9 51024d，C 不正确；对于 D，令点B关于 x 轴的对称点为(1,1)B ，连接AB交 x 轴于P，P为 x轴上任意点，连接PB，如图，则|PAPBPAPBABAPP B，当且仅当点 P 为线段AB与 x轴的交点P时取等号，22|(1 2)(1 3)5AB ，因此PAPB的最小值是 5，D 正确.故选：AC 第 6 页 共 18 页 10已知等差数列 na满足343a，前 3 项和33S，则（）A数列 na的通项公式为1423nan B数列 na的公差
10、为13 C数列 na的前n项和为236nnnS D数列11nna a的前 20 项和为4511【答案】BCD【分析】通过基本量计算得1a和 d，可判断 ABC；用裂项相消法求和可判断 D.【详解】设等差数列 na的公差为,d 由题知，3131423333aadSad，解得121,33ad，则2111(1)3333nann，22(1)133236nn nnnSn，故 A 错，BC 正确；记11nna a的前 n项和为nT，因为11999(1)(2)12nna annnn，所以9999999()()()(23349999)12222452nTnnnnn 所以209 20452 2211T，故 D
11、正确.故选：BCD 11泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互了望的星星，却没有交会的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交会，却在转瞬间无处寻觅.已知点0,2M，直线:4l y ，若某直线上存在点P，使得点P到点M的距离比到直线l的距离小 2，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论正确的是（）A点P轨迹曲线是抛物线 B点P的轨迹与直线0:1ly 是没有交会轨迹（即两个轨迹没有交点）C29yx是“最远距离直线”D1223yx不是“最远距离直线”【答案】ABD【分析】确定出P点轨迹是抛物线，再确定此抛物线与 BCD 中的直线有无公共点即可得 第 7
12、页 共 18 页【详解】解：平面上点P到点0,2M的距离比到直线:4l y 的距离小2，则点P到点M的距离与它到直线=2y的距离相等，因此其轨迹是以M焦点，直线=2y为准线的抛物线，其轨迹方程是28xy，故 A 正确，此抛物线28xy与直线0:1ly 一定无交点，故 B 正确；由2829xyyx得28(29)xx，即216720 xx，2164 72320 ，方程组无实数解，因此抛物线与直线29yx无交点，即直线29yx上不存在点P满足题意，故 C 错误；由281223xyyx得216403xx，21616(4)4 1033 ，方程组无实数解，因此抛物线与直线1223yx无公共点，所以直线12
13、23yx上不存在点P满足题意，故 D 正确，故选：ABD 12如图，正方体1111ABCDABC D的棱长为 2，点E是线段1DD的中点，点M是正方形11CDD C所在平面内一动点，下列说法正确的是（）A若点F是线段AB的中点，则1/CFA E B若点G是线段AD的中点，则1C G 平面1ABE C若1/B M平面1ABE，则M点轨迹在正方形11CDD C内的长度为22 D若点M到BC的距离与到1DD的距离相等，则M点轨迹是抛物线【答案】BD【分析】根据给定的正方体，以点 A为原点建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明判断 A，B；设出点 M的坐标，利用向量垂直的坐标表示求出点 M的轨
14、迹判断 C；利用抛物线定义判断 D 作答.第 8 页 共 18 页【详解】在棱长为 2 的正方体1111ABCDABC D中，以点 A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则111(0,0,0),(2,0,0),(0,0,2),(2,2,0),(2,0,2),(2,2,2),(0,2,1),(1,0,0),(0,1,0)ABACBCEFG，对于 A，1(1,2,0),(0,2,1)FCAE，显然向量FC与1AE不共线，因此直线CF与直线1AE不平行，A 不正确；对于 B，11(2,0,2),(2,1,2)ABGC，则有112 2(2)20AB GC ，112 1(1)20AE GC ，即11
15、ABGC，11AEGC，从而11ABGC，11AEGC，又11111,ABAEA AB AE平面1ABE，所以1C G 平面1ABE，B 正确；对于 C，由选项 B 知，向量1(2,1,2)GC 是平面1ABE的一个法向量，设(,2,)M xz，02,02xz，1(2,2,2)BMxz，因为1/B M平面1ABE，则11B MGC，于是得112(2)22(2)0BCM Gxz，整理得3xz，所以02032xzx，得12x，满足3xz，12x的点 M轨迹是正方形11CDD C内的线段12M M，其中12(2,2,1),(1,2,2)MM，所以M点轨迹在正方形11CDD C内的长度为12|2M M
16、，C 不正确；对于 D，在正方体1111ABCDABC D中，BC平面11CDD C，而点,M C平面11CDD C，显然点 M与 C 不重合，否则0CD，矛盾，即有MCBC，因此点M到直线BC的距离等于点M到点C的距离，又1DD 平面11CDD C，C直线1DD，依题意，在平面11CDD C内，点 M到定点 C 的距离等于它到定直线1DD的距离，M点轨迹是抛物线，D 正确.第 9 页 共 18 页 故选：BD【点睛】思路点睛：涉及探求几何体中点的轨迹问题，可以建立空间直角坐标系，利用空间向量的运算建立动点坐标的关系解决.三、填空题 13如图，在空间四边形OABC中，2BDDC，点E为AD的中
17、点，设,OAa OBb OCc.向量,a b c表示向量OE _.【答案】111236abc【分析】根据给定条件，利用空间向量的基底及线性运算求解作答.【详解】依题意，由2BDDC得：111()()333BDBCOCOBcb，则121()333ODOBBDbcbbc，而点E为AD的中点，所以111 21111()()222 33236OEOAODabcabc.故答案为：111236abc 14圆22230 xyy关于直线20 xy的对称圆的标准方程为_.【答案】22(1)(2)4xy【分析】求出圆的圆心和半径，再求出圆心关于直线20 xy的对称点坐标，即可作答.【详解】圆22(1)4xy的圆心
18、(0,1)C，半径2r，设点(0,1)C关于直线20 xy的对称点(,)C a b，则有1112022baab，解得1,2ab，因此所求圆的圆心(1,2)C，半径为2r，所以所求圆的标准方程为：22(1)(2)4xy.第 10 页 共 18 页 故答案为：22(1)(2)4xy 15已知12,F F是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且12PFPF，线段1PF的垂直平分线过2F，若椭圆的离心率为1e，双曲线的离心率为2e，则2132ee的最小值为_.【答案】66#66【分析】根据给定条件，结合椭圆、双曲线定义，利用半焦距 c及双曲线实半轴长表示椭圆的长半轴长，再利用离心率的意义列式
19、，借助均值不等式求解作答.【详解】令12(,0),(,0),0FcF cc，椭圆的长半轴长为 a，双曲线的实半轴长为(0)aac，因为线段1PF的垂直平分线过2F，则有212|2PFF Fc，依题意，12|2|22PFaPFac，12|2|22PFaPFac，于是得2aac，而12,cceeaa，因此21333(2)336626622222eacaccacacecacacaca，当且仅当32acca，即6ca时取等号，所以2132ee的最小值为66.故答案为：66【点睛】关键点点睛：椭圆长短半轴长分别为 a，b，半焦距为 c满足关系式：222abc；双曲线的实半轴、虚半轴、半焦距分别为a、b、
20、c满足关系式：222cab，在同一问题中出现认真区分，不要混淆.四、双空题 16毕达哥拉斯学派是古希腊哲学家毕达哥拉斯及其信徒组成的学派，他们常把沙滩上的沙粒或小石子用数表示，并由它们排列而成的形状对自然数进行研究.如图，图形中的圆点数分别为1,5,12,22,，以此类推，第 7 个图形对应的圆点数为_；若这些数构成数列 na，则322412324aaaa _.第 11 页 共 18 页 【答案】70 438【分析】根据给定的信息，令第 n 个图形对应的圆点数为na，利用观察法探求1(2)nnaan，再利用累加法求出数列通项即得；求出nan，再利用等差数列前 n 项和公式求解作答.【详解】令第
21、 n 个图形对应的圆点数为na，观察图形得：1211,41 1 3aaa ，32712 3aa，43101 3 3aa ，因此有11 3(1)nnaan，,2nnN，则当2n时，12132431()()()()3123(1)nnnaaaaaaaaaann 3(11)(1)(31)22nnnnn，显然11a 满足上式，即有(31)2nnna，所以第 7 个图形对应的圆点数770a；312nann，显然数列nan是首项为 1，公差为32的等差数列，所以3224124 23324 1438232422aaaa.故答案为：70；438 五、解答题 17已知等差数列 na的前n项和为nS，864S，61
22、1a，求：(1)nS；(2)若3S、1413SS、kS成等比数列，求k.【答案】(1)2nSn(2)9k 【分析】（1）设等差数列的首项为1a，公差为d，依题意得到方程组，解得1a、d，即可求出通项第 12 页 共 18 页 公式与nS；（2）由（1）可得3S、1413SS、kS的值，再根据等比中项的性质得到方程，解得即可.【详解】（1）解：设等差数列的首项为1a，公差为d，由864S，611a，所以81618 78642511Sadaad，解得121da，所以21nan，则21212nnnSn.（2）解：由（1）可知2339S，14141327SaS，2kSk，又3S、1413SS、kS成等
23、比数列，所以214133kSSSS，即22279 k，解得9k 或9k （舍去）.18 如图，直三棱柱111ABCABC中，底面ABC为等腰直角三角形，,2,4,ABAC ABACAAM是侧棱1CC上一点.(1)若1BMAC，求1C MMC的值；(2)若2MC，求直线1BA与平面ABM所成角的正弦值.【答案】(1)3(2)105 【分析】(1)根据垂直的空间向量的坐标表示求解；(2)根据线面夹角的空间向量的坐标表示即可求解.【详解】（1）因为1AA 平面ABC,AB AC 平面ABC,所以11,AAAB AAAC，且ABAC，所以以A为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，第 13 页 共 1
24、8 页 所以1(2,0,0),(0,2,0),(0,0,4)BCA，设(0,2,)Mh，所以1(2,2,),(0,2,4),BMh AC 因为1BMAC，所以1440BM ACh解得1h，所以13,1C MMC，所以13C MMC.（2）因为2MC，所以(0,2,2)M，1(2,0,4),(2,0,0),(0,2,2)BAABAM,设平面ABM的法向量为(,)mx y z，直线1BA与平面ABM所成角为，所以20220AB mxAM myz令1,0,1yxz，所以(0,1,1)m，所以111410sincos,52 52BA mBA mBA m.19已知圆E圆心为直线4yk x与x轴的交点，半
25、径等于直线3450 xy与直线34100 xy的距离.(1)若直线20 xy与圆E交于A B两点，求AB.(2)过点5,2 2作圆E的切线分别交x轴与y轴于点C D，若 O 为坐标原点，求OCDS.【答案】(1)2 7；(2)169 28.【分析】（1）根据给定条件，求出圆E的方程，再利用圆的性质求出弦 AB 长作答.（2）由（1）的信息，求出切线方程，进而求出点 C，D的坐标，再求出三角形面积作答.第 14 页 共 18 页【详解】（1）直线4yk x交x轴于点(4,0)E，直线3450 xy与直线34100 xy的距离22|5 10|334d，依题意，圆E的圆心(4,0)E，半径3r，方程
26、为22(4)9xy，圆心(4,0)E到直线20 xy的距离22|42|211d，所以2222 7ABrd.（2）显然点5,2 2在圆E：22(4)9xy上，则过点5,2 2的圆E的半径所在直线斜率为2 202 254，因此过点5,2 2的圆E切线斜率为24，切线方程为22 2(5)4yx，令0y 得：(13,0)C，令0 x 得：13 2(0,)4D，则有13 2|13,|4OCOD，所以1113 2169 2|132248OCDSOCOD.20已知数列 na满足2212372222nnnnaaa，数列 na的前n项和为nS.(1)求数列 na的通项公式；(2)求nS.【答案】(1)322nn
27、na(2)3882nnnS 【分析】（1）利用“退一作差”法求得na.（2）利用错位相减求和法求得nS.【详解】（1）依题意2212372222nnnnaaa，当1n 时，1137525,22aa，当2n时，由2212372222nnnnaaa，得222112131713422222nnnnnnaaa，两式相减得32232,22nnnnnanan，第 15 页 共 18 页 1a也符合上式，所以322nnna.（2）25832222nnnS，231158322222nnnS，两式相减得2311533332222222nnnnS，213333252222nnnnS 1311322251212nn
28、n3882nn.21 如图，在四棱锥PABCD中，122PDPCCBBAAD，/AD CB，90CPDABC，平面PCD 平面ABCD，E为PD中点.(1)求证：/CE面PAB；(2)求证：PD 面PCA；(3)点Q在棱PA上，设(01)PQPA，若二面角PCDQ余弦值为55，求.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)12 【分析】（1）取PA中点 F，连接EF，BF，即可得到/EF BC且EFBC，从而得到/CE BF，即可得证；（2）依题意可证CDAC，由面面垂直的性质得到AC 平面PCD，即可得到PDAC，再由PCPD，即可得证；（3）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.
29、【详解】（1）证明：取PA中点 F，连接EF，BF，因为E为PD中点，则/EF AD且12EFAD，又/BC AD且12BCAD，第 16 页 共 18 页/EF BC且EFBC，四边形EFBC是平行四边形，/CE BF，又CE 面PAB，BF面PAB，/CE面PAB；（2）证明：由题意：2BCAB，90ABC，222 2ACABBC，同理2 2CD，又4AD，222CDACAD，CDAC，又平面PCD 平面ABCD，平面PCD平面ABCDCD，AC平面ABCD，AC 平面PCD，PD 平面PCD，PDAC，又PCPD且PC面PCA，AC面PCA，PCACC，PD 面PCA；（3）解：以C为原
30、点，建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0)C，0,2 2,0A，2 2,0,0D，2,0,2P，2 2,0,0CD，2,0,2CP，2,2 2,2PA ，第 17 页 共 18 页 由(01)PQPA，有2(1),2 2,2(1)CQCPPQCPPA，令(,)nx y z是平面CDQ的一个法向量，则00n CDn CQ即2 202 12 22 10 xxyz，令1y，有20,1,1n，取面PCD的一个法向量(0,1,0)m，由215cos,5211n mn mnm，解得12.22设椭圆22221(0)xyabab的左焦点为F，右顶点为A，离心率为12，已知A是抛物线22(0)ypx p
31、的焦点，F到抛物线的准线l的距离为 1.(1)求椭圆的方程和抛物线的方程；(2)设l上两点,P Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点(B B异于点)A，直线BQ与x轴相交于点D，若APD的面积为26，求直线AP的方程.【答案】(1)椭圆的方程为22143xy，抛物线的方程为28yx(2)3660 xy或3660 xy 【分析】（1）由于A为抛物线焦点，F到抛物线的准线l的距离为1，则1ac，又椭圆的离心率为12，求出c、a、b，即可得出椭圆的标准方程和抛物线方程；（2）设直线AP方程为设2(0)xmym，解出P、Q两点的坐标，把直线AP方程和椭圆方程联立解出B点坐标，写出BQ所在直线方程，求
32、出点D的坐标，最后根据APD的面积为26解方程求出m，得出直线AP的方程.【详解】（1）解：设,0Fc，,0A a，依题意可得12ca，2pa，1ac，解得2a，1c，4p，于是2223bac，所以椭圆的方程为22143xy，抛物线的方程为28yx.第 18 页 共 18 页（2）解：设直线AP的方程为20 xmym，与直线l的方程2x 联立，可得点42,Pm，故42,Qm，将2xmy与22143xy联立，消去x整理得2234120mymy，解得0y，或21234mym，由点B异于点A，可得点2226812,3434mmBmm，由42,Qm，可得直线BQ的方程为2221246842203434mmxymmmm，令0y，解得224326mxm，故2246,032mDm，所以2222461223232mmADmm，又因为APD的面积为26，故2211242 6232mmm，整理得232 620mm，解得63m，所以63m ，所以直线AP的方程为3660 xy或3660 xy.【点睛】思路点睛：解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去 x(或 y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系