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1、第 1 页 共 15 页 2022-2023 学年重庆市第七中学校高一上学期期末数学试题 一、单选题 1已知 2,3,1,0,3AB，则AB（）A3 B2 C1,0 D1,0,2,3【答案】D【分析】根据并集的运算法则即可求得结果.【详解】由 2,3,1,0,3AB，利用并集运算可得1,0,2,3AB.故选：D 2命题“N,ln1xx”的否定是（）AN,ln1xx BN,ln1xx CN,ln1xx DN,ln1xx 【答案】B【分析】根据特称命题的否定为全称命题，即可求解.【详解】命题“N,ln1xx”的否定是:“N,ln1xx”.故选：B.3若1232log 0.4,sin,25abc，则
2、有（）Aacb Babc Ccab Dbca【答案】A【分析】利用指数对数得运算性质分别对,a b c化简，再与中间值20,12比较，即可得出结果.【详解】33log 0.4log 10a 即a0；22sinsinsin12452b即212b，排除 D，故选：C 6已知11221,01,loglog4xyxyMxy，则（）A1M B1M C1M D1M 【答案】D 第 3 页 共 15 页【分析】利用基本不等式即可求解【详解】因为01xy，所以1122log0,log0,xy 所以221112221122logloglogloglog122xyxyMxy，当且仅当1122loglogxy即12
3、xy时，取等号，所以1M.故选：D 7函数5sincos6262xxy的单调减区间为（）A72,2 Z66kkk B32,2 Z32kkk C52,2 Z66kkk D2,2 Zkkk【答案】A【分析】将原式化简为sin()yAxB的形式，再根据正弦型函数的单调区间即可求得结果.【详解】5sincossin cossincos626262626262xxxxxxy 1sin23x 令32,2 ,Z322xkkk，解得72,2 Z66xkkk 所以5sincos6262xxy的单调减区间为72,2 Z66kkk.故选：A 8已知连续函数 yg x的定义域为 2R,2345f xxxg xx，则方
4、程 0f x 在下列哪个区间上必有实数根（）A1,0 B1,3 C0,3 D不能确定【答案】B【分析】方程 0f x 有实数根转化为函数 yf x在区间上有零点，利用条件先变形求出()g x，然后利用零点存在性定理判断即可.第 4 页 共 15 页【详解】由22303xxx或=1x 所以当1x 且3x 时，令 223450f xxxg xx 有 24523xg xxx（1x 且3x）,且由题意得函数 yg x在 R 上连续，则 yf x在 R 上连续，由 10141590fg ，2002 0304 05305fgg ，因为 24055002 033g ，所以 503053503fg ，但是区间
5、1,0的 0 取不到，故 0f x 在1,0上没有实数根，故 A 错误，由 3034 3 570fg ，10f，且 yf x在 R 上连续，故函数 yf x在1,3存在零点，即 0f x 在1,3上必有实数根，故 B 正确，从而 C，D 选项也不正确，故选：B.二、多选题 9函数 f x与 g x是同一个函数的是（）A 2,f xx g xx B 2,log 2xf xx g x 第 5 页 共 15 页 C 2,xf xx g xx D 01,f xg xx【答案】AB【分析】从定义域和解析式两个方面对四个选项一一判断.【详解】对于 A：f xx和 2g xx的定义域均为R.又 2g xxx
6、，所以 f x和 g x的解析式相同，为同一个函数.故 A 正确；对于 B：f xx和 2log 2xg x 的定义域均为R.又 2log 2xxg x，所以 f x和 g x的解析式相同，为同一个函数.故 B 正确；对于 C：f xx的定义域为R.2xg xx的定义域为|0 x x.因为 f x和 g x的定义域不同，所以二者不是同一个函数.故 C 错误；对于 D：1f x 的定义域为R.0g xx的定义域为|0 x x.因为 f x和 g x的定义域不同，所以二者不是同一个函数.故 D 错误.故选：AB 10对x R，2sinax成立的充分不必要条件可以是（）A0a B1a C1a D3a
7、 【答案】AC【分析】首先求出满足x R，2sinax恒成立时a的取值集合，然后只需求这个集合的真子集即可.【详解】若x R，2sinax恒成立，只需min2sinax，又min2sin1x，所以1a，所以对x R，2sinax成立的充分不必要条件可以是0a，或者是1a.故选：AC.11已知关于x的不等式2240axaxbx的解集为2,1，则（）Aa0 B函数 22log4f xbxx的单调递减区间为1,C4ab D不等式240bxxa的解集为R【答案】ACD 第 6 页 共 15 页【分析】20ax恒成立，故不等式2240axaxbx，可化为240axbx，根据不等式的解集为2,1，可解得2
8、2ab ，进而逐个选项进行判断，可得答案.【详解】根据题意，20ax恒成立，故不等式2240axaxbx，可化为240axbx，而该不等式的解集为2,1，可得a0，不等式可化为240bxxaa，设方程240bxxaa的两根为1x和2x，根据题意，可得1212142bxxax xa ，解得22ab ，对于 A，2a，0a，故 A 正确；对于 B，2b ，则22()log(24)f xxx，根据复合函数的单调性，对于224yxx，令2240 xx，解得02x，且该二次函数的对称轴是1x，所以，()f x在(0,1)x上单调递增，在(1,2)x上单调递减，故 B 错误；对于 C，2,2ab ，4ab
9、成立，故 C 正确；对于 D，不等式240bxxa，22ab ，则转化为22420 xx，化简得，2(1)0 x，此时xR成立，故 D 正确；故答案选：ACD 12已知函数 23sin cos3sin2fxxxx，则 f x（）A最小值为2 B关于点,06对称 C最小正周期为 D可以由sin2yx的图象向右平移6个单位得到【答案】BCD【分析】对于 AC，利用三角函数的恒等变换化简 f x，从而得以判断；对于 B，利用代入检验法进行检验即可；对于 D，利用三角函数平移变换求得新的三角函数，由此得以判断.【详解】对于 A，因为 2311 cos23sin cos3sinsin 232222xfx
10、xxxx13sin2cos2sin 2223xxx，第 7 页 共 15 页 所以 f x的最小值为1，故 A 错误；对于 B，因为sin 20663f，所以 f x关于点,06对称，故 B 正确；对于 C，因为2，所以2T，故 C 正确；对于 D，sin2yx的图象向右平移6个单位得到的sin2sin 263yxx的图象，故 D 正确.故选：BCD.三、填空题 13函数 f xx的定义域为_.【答案】0,【分析】直接求出函数的定义域即可.【详解】要使函数 f xx有意义，只需0 x.所以函数 f xx的定义域为0,.故答案为：0,14已知0,0,2xyxy，则2xxy的最小值为_.【答案】3
11、【分析】由基本不等式求解，【详解】由2xy得21123xxyxyxy xxyxyxyx y ，当且仅当1xy时等号成立，即2xxy的最小值为 3，故答案为：3 15函数 1122(1)xxfxfxx，则41 log 3f _.【答案】36#136【分析】首先判断所求值的取值范围，代入相应解析式中化简求值即可得到结果.【详解】因为411log 30 ，所以411log 322 ，第 8 页 共 15 页 所以444421log 31log 321log 3log 12log12fffff 22log121log1211322612.故答案为：36 16若0,022xy，且sin2cos sinx
12、yxy，则xy的最大值为_.【答案】6【分析】由正弦的平方差公式可得tan3tanxy，再由正切的平方差公式代入化简可得2tan13tantanxyyy，最后由均值不等式结合正切函数的单调性求解即可.【详解】因为sinsin coscos sinxyxyxy，由sin2cos sinxyxy可得：sincos3cossinxyxy，所以tan3tanxy，又因为0,022xy，所以0,222yxy，2tantan3tantan2tan2tan11tantan1 3tantan1 3tan3tantanxyyyyxyxyyyyyy，因为02y，所以tan0y，则113tan23tan2 3tan
13、tanyyyy，当且仅当“13tantanyy”取等，所以23tan32 3xy.因为22xy，所以xy的最大值为6.故答案为：6 四、解答题 17已知集合21,20Ax xBx xx.(1)求B.第 9 页 共 15 页(2)求ABR.【答案】(1)|0Bx x或2x (2)|2ABx xR 【分析】（1）解一元二次不等式求解；（2）根据集合的运算直接求解.【详解】（1）由220 xx解得0 x 或2x，所以|0Bx x或2x，（2）由(1)可得|2ABx x，所以|2ABx xR.18已知锐角满足2sinsin442.(1)求.(2)若 22cossin cosf xxkxx，且02f，求
14、函数 f x的单调增区间.【答案】(1)3(2)2,Z36kkk 【分析】（1）利用两角和差的正弦公式对题意进行化简可得1cos2，利用角的范围即可得到答案；（2）结合（1）可得2 3k ，然后利用二倍角公式和辅助角公式对函数进行化简，利用余弦函数的性质求解即可【详解】（1）由2sinsin442可得22222sincossincos22222整理得1cos2，因为是锐角，所以3（2）因为 22cossin cosf xxkxx，且02f，所以2332cossincos0666624fkk，解得2 3k ，第 10 页 共 15 页 所以 22cos2 3sin coscos213sin 22
15、cos 213fxxxxxxx，令2 22,Z3kxk k，则2,Z36kxk k，所以函数 f x的单调增区间为2,Z36kkk 19 已知02，且满足_.从2tansin3；sin2sin这两个条件中任选一个，补充在上面的横线上，然后作答：(1)求sin 22的值.(2)若角的终边与角的终边关于原点对称，求cos2的值.【答案】(1)12(2)12 【分析】（1）选择，利用三角函数的基本关系式得到关于cos的方程，解之即可；选择，利用正弦函数的倍角公式求得1cos2，从而得解.（2）利用三角函数的定义，结合（1）中结论得到的值，由此得解.【详解】（1）选择，因为2tansin3，所以sin
16、3sincos2，则23sincos2，因为22sincos1，所以23coscos12，整理得22cos3cos20，则2cos1 cos20，解得1cos2或cos21 （舍去），因为02，所以3，所以21sin 2sinsin23262；选择，因为sin2sin，所以2sincossin，因为02，所以sin0，则1cos2，所以3，所以21sin 2sinsin23262.（2）因为角的终边与角的终边关于原点对称，3，所以42 2,Z3kkk，第 11 页 共 15 页 故4221cos2coscos33322 k.20已知函数 21,(01xxaf xaa且1)a.(1)判断 f x
17、的奇偶性，并证明你的结论.(2)当1,1x 时，函数 f x的值域为1,1，求a.【答案】(1)奇函数，证明见解析；(2)13a 或3 【分析】（1）利用奇偶函数的判定方法，首先定义域关于原点对称，其次证明 fxf x；（2）利用定义法讨论函数单调性，设12xx，则 1212124()11xxxxaaf xf xaa，分1a 和01a讨论即可.【详解】（1）奇函数，证明：由题意得()f x的定义域为R,且212 121()()111xxxxxxaaafxf xaaa ，()f x是奇函数，（2）设12xx，则 121212121221214()1111xxxxxxxxaaaaf xf xaaa
18、a 当1a 时,120 xxaa，得 120f xf x 即 12f xf x,这时()f x在R上是增函数;则 1111ff，即1121112111aaaa，解得3a.当01a时,120 xxaa,得 120f xf x,即 12f xf x,这时()f x在R上是减函数.第 12 页 共 15 页 则 1111ff，即1121112111aaaa，解得13a，综上13a 或 3.21已知 sin(0)22fxAxA的部分图象如下图，且2log1.(1)求 f x的解析式.(2)令 224cosg xf xx，若 36,245f，求 g.【答案】(1)2sin 24fxx；(2)225.【分
19、析】（1）先由最大值得到2A，再由周期与的范围求得，再代入点3,28求得，由此得到 f x的解析式.（2）利用三角恒等变换化简 g x，再利用整体代换法，结合正弦函数的和差公式求得sin2，从而求得 g.【详解】（1）由图像可知，f x的最大值为2，又0A，所以2A，因为22log1log 2，所以02，又由图像可知134884T，则T，所以2，得2，又02，故2=，所以 2sin 2xxf，第 13 页 共 15 页 将点3,28代入 f x，得32sin24，即3sin14，因为22，则35444，所以342，则4，所以 2sin 24fxx.（2）因为 2224cos2 2sin 24c
20、os4g xfxxxx 2 2 sin2 coscos2 sin2 cos2144xxx 2sin22cos22cos22xxx2sin22x，因为 65f，所以62sin 245，则3sin 245，因为 3,24，所以3 52,444，故cos 204，所以24cos 21 sin2445 ，所以sin2sin 2sin 2coscos 2sin444444 32422525210，所以 222sin22222105g.22已知函数 21f xaxx.(1)当1a 时，证明：当1x时，21xx.(2)当0a 时，对任意的1x都有 22xmmfxx成立，求m的取值范围.【答案】(1)证明见解
21、析.(2)2,1 【分析】（1）方法 1：由分析法可证得结果.方法 2：换元法求()f x的最大值即可证得结果.（2）设出不等号两边的函数，转化为对任意的1x都有()()g xh x成立，对参数分类讨论，分别研究两个函数的单调性、最值即可.【详解】（1）方法 1：证明：要证21xx，1x 只需证：221xx，1x 第 14 页 共 15 页 即证：2210 xx，1x 即证：2(1)0 x，1x 1x 2(1)0 x 原命题得证.方法 2：证明：当1a 时，()21f xxx，1x 令21tx，则212tx，1t，22111()222th tttt ，1t，对称轴1t，()h t在1,)上单调
22、递减，max()(1)0h th，()0h t，即：当1x时，()0f x 恒成立，即：当1x时，21xx.（2）当0a 时，()21f xx 即：对任意的1x都有2221xmmxx 成立，令22()g xxm，()21h xmxx，即：对任意的1x都有()()g xh x成立，当1x 时，211mm，故21m.当20m 时，()g x在1,)上单调递增，2min()(1)1g xgm，2()1g xm ()h x在1,)上单调递减，max()(1)1h xhm，()1h xm 此时2minmax()()20g xh xmm，minmax()()g xh x即()()g xh x，故20m 符合.当01m时，由（1）知，1x，21xx 恒成立，1x，21mxmxx，1x，210mxx，即：1x，()0h x，第 15 页 共 15 页 又()g x在1,)上单调递增，2min()(1)1g xgm，2()10g xm 1x，()()g xh x 01m符合.综述：21m.【点睛】对于xD，()()f xg x恒成立求参数，可以先取特殊值确定参数的初步范围，再利用下面的两种方法.方法 1：当xD时，min()()0f xg x；方法 2：当xD时，minmax()()f xg x.求最值的方法：方法 1：分离参数求最值；方法 2：分类讨论研究函数的最值.