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1、湖南省长沙市雅礼中学 2022 届高三下学期高考前压轴（三）数学试题 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1复数2022iz 的模是（）Ai B1 C0 D1 2已知集合0.2log20Axx，24Bx x，则AB（）A2 2,B2,1 C2,3 D 3函数sin()()eexxxf x的图象大致是（）A B C D 4哥隆尺是一种特殊的尺子.图 1 的哥隆尺可以一次性度量的长度为 1，2，3，4，5，6.图 2 的哥隆尺不能一次性度量的长度为（）A11 B13 C15 D17 5已知1e,1x，记lnln1ln,
2、e2xxax bc，则,a b c的大小关系是（）Aacb Babc Ccba Dbca 6如图(1)，正方体1111ABCDABC D的棱长为 1，若将正方体绕着体对角线1AC旋转，则正方体所经过的区域构成如图(2)所示的几何体，该几何体是由上、下两个圆锥和单叶双曲面构成，则其中一个圆锥的体积为（）A2 327 B9 C39 D3 7已知函数 3223afxxbxx若 a，b分别是从 1，2，3 中任取的一个数，则函数 f x有两个极值点的概率为（）A16 B13 C23 D56 8已知两条直线1:2320lxy，2:3230lxy，有一动圆（圆心和半径都在变动）与12,l l都相交，并且1
3、2,l l被截在圆内的两条线段的长度分别是定值 26，24，则动圆圆心的轨迹方程为（）A22165yx B22165xy C22165yx D22165xy 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多 项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。9一个质地均匀的正四面体表面上分别标有数字 1，2，3，4，抛掷该正四面体两次，记事件 A为“第一次向下的数字为偶数”，事件 B 为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列说法正确的是（）A 13P A B事件 A和事件 B 互为对立事件 C12P B A D事件 A和事件
4、 B 相互独立 10已知函数 cos 206f xx的最小正周期为2，将 f x的图象向左平移6个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），得到函数 g x的图象，则下列结论正确的是（）A 00g B g x在0,4单调递增 C g x的图象关于4x 对称 D g x在,12 3上的最大值是 1 11如图，直四棱柱1111ABCDABC D的底面是边长为 2 的正方形，13AA，E，F分别是AB，BC的中点，过点1D，E，F的平面记为，则下列说法中正确的有（）A平面截直四棱柱1111ABCDABC D所得截面的形状为四边形 B平面截直四校柱1111ABCDABC
5、 D所得被面的面积为7 32 C平面将直四棱柱分割成的上、下两部分的体积之比为 47:25 D点B到平面的距离与点1A到平面的距离之比为 1:2 12定义：在区间I上，若函数 yf x是减函数，且 yxf x是增函数，则称 yf x在区间I上是“弱减函数”.根据定义可得（）A 1f xx在0,上是“弱减函数”B exxf x 在1,2上是“弱减函数”C若 ln xfxx在,m 上是“弱减函数”，则em D若 2cosf xxkx在0,2上是“弱减函数”，则213k 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13 已知向量12aee，123bee其中1e，2e为单位向量，向量1
6、e，2e的夹角为 120，则a b_.14将 3 封不同的信随机放入 2 个不同的信箱中，共有n种不同的放法，则在1nxx的展开式中，含2x项的系数为_ 15 已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的左焦点为F，过点F作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为H，点P在双曲线上，且3FPFH，则双曲线的离心率为_ 16已知函数 1ln xfxx，若对12,1,x x，12xx，都有 1212lnlnfxfxkxx，则 k的取值范围是_ 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17已知数列 na满足11a，0na，221212nnaann.(1)求
7、na的通项公式.(2)证明222121112naaa.18在ABC中，内角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，ABC的面积为22234Sbca(1)若3,4aC，求边 c；(2)若cos()cos21BCC，求角 C 19如图所示的圆柱中，AB 是圆 O的直径，1AA，1CC为圆柱的母线，四边形 ABCD是底面圆 O的内接等腰梯形，且11122CDBCABAA，E，F 分别为1A D，1CC的中点 (1)证明：EF 平面 ABCD；(2)求平面1AAD与平面1C EB所成锐二面角的余弦值 20在某次数学考试中，共有四道填空题，每道题 5 分.已知某同学在此次考试中，在前两道题中，每道题答对
8、的概率均为56，答错的概率均为16；对于第三道题，答对和答错的概率均为12；对于最后一道题，答对的概率为13，答错的概率为23.(1)求该同学在本次考试中填空题部分得分不低于 15 分的概率；(2)设该同学在本次考试中，填空题部分的总得分为X，求X的分布列.21在平面直角坐标系xOy中，12,0A、22,0A、1,0F、4,Cm，直线1AM、2A M相交于点M，且它们的斜率之积是34(1)求点M的轨迹方程；(2)过F的直线l与M的轨迹交于A、B两点，试判断点C与以AB为直径的圆D的位置关系，并说明理由 22已知函数2()1exaxf x ，0a (1)讨论()f x的单调性；(2)当0 x，0
9、a 时，e()xf xbx，证明：32e27ab 1页 参考答案：1D 2C 3C 4C 5A 6A 7C 8D 9CD 10AC 11BCD 12BCD 131 1470 15132 161,e 17(1)解：由221212nnaann，得221223nnaan，222325nnaan，22213aa，由累加法得22135.21naan 121 32nn 21n，所以222nnan，又11a 满足22nan，又因为0na，所以nan.2页(2)因为2211111211nnannnnn，所以当2n时，2222221211111112naaan 11111 22 31nn 11 12n ，当1n
10、 时，21112a 成立，所以222121112naaa.18(1)由余弦定理：22233()2cos44SbcabcA 1sin2SbcA，故13sincos22AA，由于cos0A，tan3A，(0,)A，则3A.由正弦定理：sinsinacAC，得sin2sinaCcA.(2)由（1）知23BC，故2cos()cos(2)3BCC，故2cos(2)cos213CC，则13cos2sin 2122CC，故sin(2)16C，因为2(0,)3C，所以 32(,)662C，所以262C，解得6C.19(1)取1AA的中点 G，连接 EG，FG，AC，因为EGAD，EG 平面 ABCD，AD 平
11、面 ABCD，所以EG平面 ABCD，因为AGCF，AGCF，所以四边形 AGFC是平行四边形，FGAC，又FG 平面 ABCD，AD 平面 ABCD，所以FG平面 ABCD，3页 因为FGEGG，所以平面EFG平面 ABCD，因为EF 平面 ABCD，所以EF 平面 ABCD(2)设111222CDBCAAAB，由ADCDBC，得60DABABC，因为ACBC，所以22422 3AC，由题意知 CA，CB，1CC两两垂直，以 C为坐标原点，分别以 CA，CB，1CC所在直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，则2 3,0,0A，12 3,0,4A，0,2,0B，10,0,4C，3,1,0D
12、，313,222E，所以1313,222EC，10,2,4BC，设平面1C EB的一个法向量为,nx y z，由1100n ECn BC 得3 34020 xyzyz，取1z，得23,2,13n，连接 BD，因为BDAD，1BDAA，1ADAAA，所以BD 平面1AAD，所以平面1AAD的一个法向量为3,3,0DB，所以262 19cos,19192 33DB n ，所以平面1AAD与平面1C EB所成锐二面角的余弦值为2 1919 20(1)4页 设“第(1,2,3,4)i i题答对”为事件iA，设“得分不低于 15 分”为事件 B，则 P(B)=42123412341342311423P
13、A A A AP A A A AP A A A AP A A A AP A A A A=5512551151111511551166236623662366236623=55108；(2)易知X的取值可能为 0，5，10，15，20，12341112106623108P XP A A A A，21421134342341235P XP A A A AP A A A AP A A A AP A A A A =5112151211121111662366236623662323216；1234134210P XP A A A AP A A A A13412342P A A A AP A A A A
14、 23412341P A A A AP A A A A=55125112=6623662351111511662366231512111166236623=8132168；431234122413423115P XP A A A AP A A A AP A A A AP A A A A =5512551151111511856623662366236623216；1234551125206623216P XP A A A A；则X的分布列为：X 0 5 10 15 20 P 1108 23216 38 85216 25216 21(1)解：设点M的坐标为,x y，其中2x ，则直线1AM的斜率
15、为12A Mykx，直线2A M的斜率为22A Mykx 5页 由已知有3224yyxx，化简得点M的轨迹方程为221243xyx (2)解：点C在圆D外，理由如下：若直线l与x轴重合，则该直线l与曲线221243xyx 无公共点，故可设:1l xty，另记11,A x y、22,B xy，联立22134122xtyxyx，可得2234690tyty，214410t tR 由韦达定理知122122634934tyyty yt，11114,3,CAxymtyym，22224,3,CBxymtyym，则有 121233CA CBtytyymym 222212122623313934tmmtty y
16、tmyymt，其中62030tmmt无解，则0CA CB，故0,2ACB，即点C在以AB为直径的圆D外 22(1)()f x的定义域为 R，2222eeeexxxxax xaxaxfx 当0a 时，当(,0)x 或(2,)x时，()0fx，()f x单调递增；当(0,2)x时，()0fx，()f x单调递减 当0a 时，当(,0)x 或(2,)x时，()0fx，()f x单调递减；当(0,2)x时，()0fx，()f x单调递增(2)由e()xf xbx，得2e0 xaxbx，因为0 x，所以2e0 xaxbxx，令 e0 xg xaxb xx，则 21 exxgxax，6页 设 21 e0
17、xxh xa xx，则 2322 e0 xxxh xx，所以 h x在(0,)单调递增，又因为 10ha ，21221e1011aaaahaaaaaaa，（由（1）知当1a 时，24210efxf，所以当0 x 时，210exx，即2exx）所以，存在0(1,1)xa，使得0()0h x，即00201 exxax 所以，当0(0,)xx时，()0g x，()g x单调递减；当0(,)xx时，()0g x，()g x单调递增，所以 0000e0 xg xg xaxbx，所以000000001 e2eexxxxxbxxx 所以002220000330032 e12exxxxxxabxx 设 22332 e1xxxF xxx，则 2322244232227106eexxxxxxxxF xxx ，当312x时，()0F x，()F x单调递增；当32x 时，()0F x，()F x单调递减 所以 332e227F xF，所以32e27ab