《湖南省长沙市雅礼中学2024届高三下学期模拟（三）数学试题含答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《湖南省长沙市雅礼中学2024届高三下学期模拟（三）数学试题含答案.pdf（22页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、试卷第 1页，共 12页雅礼中学雅礼中学 2024 届模拟试卷（三）届模拟试卷（三）数学数学一、单项选择题一、单项选择题:本题共本题共 8 小题小题,每小题每小题 5 分分,共共 40 分分.在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的.1若集合2,1,3,5A ，24Bx xx，则AB（）A1B 3C2,1D2,1,32若i13izz，则zz（）A2B1C5D53已知点00,A xy是抛物线220ypx p上一点，且它在第一象限内，焦点为,F O坐标原点，若32pAF，2 3AO，则此抛物线的准线方程为（）A4x B3x C2x D=1x
2、4已知函数 f x满足 sincos3fxfxx，求 f x在4x 的导数（）A21B21C2D6225函数e21xxyx的图象大致是（）#QQABTQKAogiIAJBAAQhCUwVQCAGQkACAAYgOBEAIsAABwRNABAA=#试卷第 2页，共 12页ABCD6任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘 3 再加上 1；若是偶数，就将该数除以 2，反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈 1421这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）如取正整数6m，根据上述运算法则得出 63105168421，共需经过 8 个步骤变成 1（简称为 8 步“雹程”）现给出
3、冰雹猜想的递推关系如下：已知数列 na满足：1am（m为正整数），1,231,nnnnnaaaaa当为偶数时当为奇数时，则当42m 时，则使1na 需要的雹程步数为（）A7B8C9D107某区进行高二数学期末调研测试，数学测试成绩78,9XN，如果按照 16%，34%，34%，16%的比例将考试成绩由高到低分为 A，B，C，D 四个等级，则 A 等级的分数线应该是（）参考数据：若2,XN，则0.68PX，20.96P X.A69B81C87D96#QQABTQKAogiIAJBAAQhCUwVQCAGQkACAAYgOBEAIsAABwRNABAA=#试卷第 3页，共 12页8如图，在两条异面
4、直线,a b上分别取点,A E和点,A F，使AAa，且AAb.已知6,3,4,7AAA EAFEF，则异面直线,a b所成的角为（）A6B4C3D2二、多项选择题二、多项选择题:本题共本题共 3 小题小题,每小题每小题 6 分分,共共 18 分分.在每小题给出的选项中在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求有多项符合题目要求,全部选对的得全部选对的得 6 分分,部分选对的得部分分部分选对的得部分分,有选错的得有选错的得 0 分分.9已知由样本数据,1,2,3,10iix yi 组成的一个样本，得到经验回归方程为20.4yx，且2x，去除两个样本点2,1和()2,1-后，得到新的经验回归方程为
5、3yxb在余下的 8个样本数据和新的经验回归方程中（）A相关变量 x，y 具有正相关关系B新的经验回归方程为33yx#QQABTQKAogiIAJBAAQhCUwVQCAGQkACAAYgOBEAIsAABwRNABAA=#试卷第 4页，共 12页C随着自变量 x 值增加，因变量 y 值增加速度变小D样本4,8.9的残差为0.110 当实数m变化时，关于xy，的方程222211mxmym m可以表示的曲线类型有（）A直线B圆C椭圆D双曲线11如图，正方形ABCD的边长为1，P、Q分别为边AB、DA上的动点，则（）A若 PQ=1，则APQ的周长最大值为 2+1B若 PQ=1，则APQ的面积最大值
6、为14C若APQ的周长为定值2，则PCQ的大小为30D若APQ的周长为定值2，则PQ长度的最小值为2 22#QQABTQKAogiIAJBAAQhCUwVQCAGQkACAAYgOBEAIsAABwRNABAA=#试卷第 5页，共 12页三、填空题三、填空题:本题共本题共 3 小题小题,每小题每小题 5 分分,共共 15 分分.125(1 2)1 3xx的展开式中按x的升幂排列的第三项为13如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别是AD，DC边的中点，BE，BF分别与AC交于R，T两点，用向量AB，ADuuu v表示向量RT，则RT .#QQABTQKAogiIAJBAAQhCUwVQCAG
7、QkACAAYgOBEAIsAABwRNABAA=#试卷第 6页，共 12页14 已知正三棱柱11,ABCA BC的侧面积为6 3，则该正三棱柱外接球的体积的最小值为.四、解答题四、解答题:本题共本题共 5 小题小题,共共 77 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15如图，在ABC中，已知3,6ABAC，A 为锐角，,BC AC边上的两条中线,AM BN相交于点 P，ABC的面积为9 32.(1)求BC的长度；(2)求APB 的余弦值.#QQABTQKAogiIAJBAAQhCUwVQCAGQkACAAYgOBEAIsAABwRNABAA=#试
8、卷第 7页，共 12页16 如图，在长方体1111ABCDABC D中，点 E、F 分别在1BB，1DD上，且1AEAB，1AFAD(1)求证：1AC 平面AEF；(2)当4AB，3AD，15AA 时，求平面AEF与平面11D B BD的夹角的余弦值#QQABTQKAogiIAJBAAQhCUwVQCAGQkACAAYgOBEAIsAABwRNABAA=#试卷第 8页，共 12页17一个袋子中有10个大小相同的球，其中有4个白球，6个黄球，从中随机地摸4个球作为样本，用X表示样本中黄球的个数，Y表示样本中黄球的比例.（1）若有放回摸球，求X的分布列及数学期望；（2）（i）分别就有放回摸球和不放
9、回摸球，求Y与总体中黄球的比例之差的绝对值不超过0.2的概率；（ii）比较（i）中所求概率的大小，说明其实际含义.#QQABTQKAogiIAJBAAQhCUwVQCAGQkACAAYgOBEAIsAABwRNABAA=#试卷第 9页，共 12页18已知双曲线22149xy与直线3:()2l ykxm k 有唯一的公共点 M.(1)若点2,9N在直线 l 上，求直线 l 的方程；(2)过点 M 且与直线 l 垂直的直线分别交 x 轴于1(,0)A x，y 轴于1(0,)By两点.是否存在定点 G，H，使得 M 在双曲线上运动时，动点11(,)P x y使得PGPH为定值.#QQABTQKAog
10、iIAJBAAQhCUwVQCAGQkACAAYgOBEAIsAABwRNABAA=#试卷第 10页，共 12页19已知函数 2()exxafx(1)讨论 fx的单调性；(2)设,m n分别是 fx的极小值点和极大值点，记 ,M m f mN n f n（i）证明：直线MN与曲线 yf x交于除,M N外另一点P；（ii）在（i）结论下，判断是否存在定值,1ta a且Za，使MNt PN，若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由.#QQABTQKAogiIAJBAAQhCUwVQCAGQkACAAYgOBEAIsAABwRNABAA=#试卷第 1页，共 12页雅礼中学雅礼中学 2024 届模
11、拟试卷（三）届模拟试卷（三）数学数学一、单项选择题一、单项选择题:本题共本题共 8 小题小题,每小题每小题 5 分分,共共 40 分分.在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中,只有一项只有一项是符是符合题目要求的合题目要求的.1若集合2,1,3,5A ，24Bx xx，则AB（）A1B 3C2,1D2,1,3【答案】B2若i13izz，则zz（）A2B1C5D5【答案】D3已知点00,A xy是抛物线220ypx p上一点，且它在第一象限内，焦点为,F O坐标原点，若32pAF，2 3AO，则此抛物线的准线方程为（）A4x B3x C2x D=1x【答案】D【详解】因为0322ppx
12、，所以0 xp，02yp.又22212pp，所以2p，准线方程为=1x.故选：D.4已知函数 f x满足 sincos3fxfxx，求 f x在4x 的导数（）A21B21C2D622【答案】D【详解】因为 cossin3fxfxx，所以13cossin3333232fff，解得33f，2262cossin34344222ff.故选：D.5函数e21xxyx的图象大致是（）#QQABTQKAogiIAJBAAQhCUwVQCAGQkACAAYgOBEAIsAABwRNABAA=#试卷第 2页，共 12页ABCD【答案】C【详解】对于 e21xxf xx，当0 x时，0fx，故 B 错误；222
13、2333324ee11xxxxxfxxx，显然在定义域内 0fx，即在,1和1,都是增函数，C 正确，AD 错误；故选：C.6任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘 3 再加上 1；若是偶数，就将该数除以 2，反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈 1421这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）如取正整数6m，根据上述运算法则得出 63105168421，共需经过 8 个步骤变成 1（简称为 8 步“雹程”）现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列 na满足：1am（m为正整数），1,231,nnnnnaaaaa当为偶数时当为奇数时，则当42m 时，则使1na 需要的
14、雹程步数为（）A7B8C9D10【答案】B【详解】解：根据题意，当42m，根据上述运算法则得出 42216432168421，所以共需经过 8 个步骤变成 1，故使1na 需要的雹程步数为 8.故选：B7某区进行高二数学期末调研测试，数学测试成绩78,9XN，如果按照 16%，34%，34%，16%的比例将考试成绩由高到低分为 A，B，C，D 四个等级，则 A 等级的分数线应该是（）参考数据：若2,XN，则0.68PX，20.96P X.A69B81C87D96【答案】B#QQABTQKAogiIAJBAAQhCUwVQCAGQkACAAYgOBEAIsAABwRNABAA=#试卷第 3页，共
15、 12页【详解】由题意可知：78,93，因为10.162P XP X，所以 A 等级的分数线应该是78381.故选：B.8如图，在两条异面直线,a b上分别取点,A E和点,A F，使AAa，且AAb.已知6,3,4,7AAA EAFEF，则异面直线,a b所成的角为（）A6B4C3D2【答案】C【详解】如图，过点 A 作直线/aa，过点 E 作/EBA A,交直线a于点 B，连接BF,因AAa，则AAa，又AAb，abA,a b平面ABF，则AA平面ABF，故EB 平面ABF,又BF平面ABF，则EBBF.易得：6,BEAA7EF,在RtEBF中，2213FBEFBE,设异面直线,a b所成
16、的角为，则BAF,因3ABA E,由余弦定理可得：222916131cos2242ABAFFBABAF,又因02，故3.故选：C.二、二、多项选择题多项选择题:本题共本题共 3 小题小题,每小题每小题 6 分分,共共 18 分分.在每小题给出的选项中在每小题给出的选项中,有多项符合题目有多项符合题目要求要求,全部选对的得全部选对的得 6 分分,部分选对的得部分分部分选对的得部分分,有选错的得有选错的得 0 分分.9已知由样本数据,1,2,3,10iix yi 组成的一个样本，得到经验回归方程为20.4yx，且2x，去除两个样本点2,1和()2,1-后，得到新的经验回归方程为3yxb在余下的 8
17、个样本数据和新的经验回归方程中（）A相关变量 x，y 具有正相关关系B新的经验回归方程为33yx#QQABTQKAogiIAJBAAQhCUwVQCAGQkACAAYgOBEAIsAABwRNABAA=#试卷第 4页，共 12页C随着自变量 x 值增加，因变量 y 值增加速度变小D样本4,8.9的残差为0.1【答案】ABD【详解】10120iix，x 新平均数1202.58，220.43.6y y 新平均数110 3.64.58，4.53 2.5b，3b 新的线性回归方程3yxb，x，y 具有正相关关系，A 对新的线性回归方程：33yx，B 对由线性回归方程知，随着自变量 x 值增加，因变量
18、y 值增加速度恒定，C 错；4x，9y，8.990.1，D 对故选：ABD10 当实数m变化时，关于xy，的方程222211mxmym m可以表示的曲线类型有（）A直线B圆C椭圆D双曲线【答案】ACD【分析】利用曲线方程的特征逐一判断即可.【详解】当0m 时，方程为20 x，即0 x，此时方程表示直线；当0m 时，方程为22211xymm；若0m，则方程表示双曲线；若201mmm，此时m无解；当201mmm，方程表示椭圆.方程可以表示的曲线类型有直线，双曲线，椭圆.故选：ACD.11如图，正方形ABCD的边长为1，P、Q分别为边AB、DA上的动点，则（）A若 PQ=1，则APQ的周长最大值为
19、2+1B若 PQ=1，则APQ的面积最大值为14C若APQ的周长为定值2，则PCQ的大小为30D若APQ的周长为定值2，则PQ长度的最小值为2 22【答案】ABD#QQABTQKAogiIAJBAAQhCUwVQCAGQkACAAYgOBEAIsAABwRNABAA=#试卷第 5页，共 12页【详解】选项 A：1222222PQAQAPAQAPAQAP选项 B：41)2(212122AQAPAQAPSAPQ选项 C：设线段BP、DQ的长度分别为a、b，BCP，DCQ则1APa，1AQb，因为APQ的周长为定值2，所以PQab 则由勾股定理得222()(1)(1)abab，即1abab，又因为t
20、ana，tanb，于是tantantan11tan tan1abab因为090，所以45即45PCQ，故 C 错误；选项 D：由 C 选项的推理可知1abab，PQab所以2112ababab ，所以212PQPQ，即2440PQPQ又因0PQ 得2 22PQ，当且仅当ab即BPDQ时等号成立，故 D 正确；三、填空题三、填空题:本题共本题共 3 小题小题,每小题每小题 5 分分,共共 15 分分.125(1 2)1 3xx的展开式中按x的升幂排列的第三项为【答案】210 x【详解】题意即展开式中2x的项为1 412 322551(2)31(2)110,CxxCxx 按x的升幂排列的第三项为2
21、10 x故答案为：210 x.13如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别是AD，DC边的中点，BE，BF分别与AC交于R，T两点，用向量AB，ADuuu v表示向量RT，则RT .【答案】1133ABAD【详解】在平行四边形ABCD中,/AD BC,AERCBREARBCR ,AERCBR,且相似比为1:2,:1:2AR RC,即R是AC的三等分点,同理T也是AC的三等#QQABTQKAogiIAJBAAQhCUwVQCAGQkACAAYgOBEAIsAABwRNABAA=#试卷第 6页，共 12页分点,111()()333RTACABBCABAD ,故答案为:1133ABAD.14 已知
22、正三棱柱11,ABCA BC的侧面积为6 3，则该正三棱柱外接球的体积的最小值为.【答案】8 23【详解】如图是过侧棱1AA的球的截面，12,O O是正三棱柱下底面和上底面外心，设正三棱柱的底面边长为a，高为 h，球的半径为 R，由题意知36 3ah，即2 3ah，底面外接圆的半径132sin3aarAO，由球的截面圆性质知2222243hahRrOA，当且仅当32ah时取等号，则该正三棱柱外接球的体积的最小值为348 2(2)33.故答案为：8 23四、解答题四、解答题:本题共本题共 5 小题小题,共共 77 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
23、.15如图，在ABC中，已知3,6ABAC，A 为锐角，,BC AC边上的两条中线,AM BN相交于点 P，ABC的面积为9 32.(1)求BC的长度；(2)求APB 的余弦值.【答案】(1)3 3BC(2)714【详解】（1）由题知，19 3sin22ABCSAB ACBAC，所以3sin2BAC，又因为(0,)BAC，所以3BAC或23.因为BAC为锐角，所以3BAC.在ABC中，由余弦定理知2222cosBCABACAB ACBAC，整理得21936236272BC ，解得3 3BC.（2）因为22292736ABBCAC，所以2ABC.2213 73,22BNACAMABBM，所以22
24、7,233APAMBPBN，2227cos214APBPABAPBAP BP.#QQABTQKAogiIAJBAAQhCUwVQCAGQkACAAYgOBEAIsAABwRNABAA=#试卷第 7页，共 12页所以APB 的余弦值为714.16 如图，在长方体1111ABCDABC D中，点 E、F 分别在1BB，1DD上，且1AEAB，1AFAD(1)求证：1AC 平面AEF；(2)当4AB，3AD，15AA 时，求平面AEF与平面11D B BD的夹角的余弦值【答案】(1)证明见解析(2)12 225【详解】（1）因为BC平面11ABB A，AE 平面11ABB A，所以AEBC又1AEA
25、B，1ABBCBI，所以AE平面1ABC，因为1AC 平面1ABC，所以1AEAC同理：因为CD 平面11ADD A，AF 平面11ADD A，所以AFCD 又1AFAD，1ADCDD，所以AF 平面1ACD因为1AC 平面1ACD，所以1AFAC，又因为1AEAC，AEAFA，所以1AC 平面AEF（2）以A为原点，分别以AB、AD、1AA所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图则(0,0,0)A，1(0,0,5)A，(4,0,0)B，1(4,0,5)B，(0,3,0)D，(4,3,0)C所以1(4,3,5)AC，且1AC是平面AEF的一个法向量1(0,0,5)BB，(4,3,0)B
26、D 设平面11D B BD的法向量为(,)nx y z则100n BBn BD ，即50430zxy所以0z，令3x，得4y 则平面11D B BD的一个法向量为(3,4,0)n 所以#QQABTQKAogiIAJBAAQhCUwVQCAGQkACAAYgOBEAIsAABwRNABAA=#试卷第 8页，共 12页1121224n AC22|345n，222143(5)5 2AC 所以1112412 2cos,255 5 2n ACn ACnAC所以平面AEF与平面11D B BD的夹角的余弦值为12 22517一个袋子中有10个大小相同的球，其中有4个白球，6个黄球，从中随机地摸4个球作为样
27、本，用X表示样本中黄球的个数，Y表示样本中黄球的比例.（1）若有放回摸球，求X的分布列及数学期望；（2）（i）分别就有放回摸球和不放回摸球，求Y与总体中黄球的比例之差的绝对值不超过0.2的概率；（ii）比较（i）中所求概率的大小，说明其实际含义.【答案】（1）分布列见解析，125E X；（2）（i）有放回摸球时，所求概率为432625，不放回摸球时，所求概率为1721；（ii）答案见解析.【详解】（1）因为有放回摸球，每次摸到黄球的概率为35，且各次试验的结果是独立的，由题意可知，34,5XB，则X的所有可能取值有0、1、2、3、4，421605625P X，31432961=55625P X
28、C，222423216255625P XC，33432216355625P XC，438145625P X，所以，随机变量X的分布列如下表所示：X01234P166259662521662521662581625随机变量X的数学期望为312455E X；（2）（i）样本中黄球的比例为4XY，由题意0.60.24X，解得1.63.2X，即X取2、3，#QQABTQKAogiIAJBAAQhCUwVQCAGQkACAAYgOBEAIsAABwRNABAA=#试卷第 9页，共 12页有放回摸球时，概率1216432232625625PP XP X，不放回摸球时，概率22316464241017232
29、1C CC CPP XP XC；（ii）由（i）可知，12PP，所以，在误差不超过0.2的限制下，用样本中黄球的比例估计总体中黄球的比例，采用不放回估计的结果更可靠些.18已知双曲线22149xy与直线3:()2l ykxm k 有唯一的公共点 M.(1)若点2,9N在直线 l 上，求直线 l 的方程；(2)过点 M 且与直线 l 垂直的直线分别交 x 轴于1(,0)A x，y 轴于1(0,)By两点.是否存在定点 G，H，使得 M 在双曲线上运动时，动点11(,)P x y使得PGPH为定值.【详解】（1）点2,9N在直线:l ykxm上，则有92km，联立22149xyykxm，则2229
30、484360kxkmxm，由2940k，则2222644 94436)0(k mkm，可得2249mk，所以：229249kk，解得52k，当52k 时，4m；所以直线 l 的方程：542yx（2）联立22149xyykxm，则2229484360kxkmxm，因为32k ，M 是双曲线与直线的唯一公共点，所以2222644 944360k mkm，化简得2249mk，解得点 M 的坐标为2249,9494kmmkk，即为49,kmm，于是，过点 M 且与 l 垂直的直线为914kyxmkm，#QQABTQKAogiIAJBAAQhCUwVQCAGQkACAAYgOBEAIsAABwRNABA
31、A=#试卷第 10页，共 12页可得13,0kAm，130,Bm，1313,kPmm，即113kxm，113ym，于是222211222211691699169916991699114444413kmxymmmy，即 P 的轨迹方程为：221(0)16916949xyy，由双曲线的定义可知，存在定点13 13,06G，13 13,06H，使得当点 M 运动时，PGPH为定值 13.19已知函数 2()exxafx(1)讨论 fx的单调性；(2)设,m n分别是 fx的极小值点和极大值点，记 ,M m f mN n f n（i）证明：直线MN与曲线 yf x交于除,M N外另一点P；（ii）在（
32、i）结论下，判断是否存在定值,1ta a且Za，使MNt PN，若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)fx在,2aa 上单调递增，在,2,aa 上单调递减(2)（i）证明见解析；（ii）存在定值t，此时1a.【详解】（1）2()exxafx定义域为 R，22()2,Reexxxaxaxaxafxx，令()0fx，则2axa ，令 0fx，xa 或2xa ，()fx在,2aa 上单调递增，在,2,aa 上单调递减#QQABTQKAogiIAJBAAQhCUwVQCAGQkACAAYgOBEAIsAABwRNABAA=#试卷第 11页，共 12页（2）（i）法一：由（1）知,2
33、ma na 且 0f mfa，2244eeaaf n，224e2e2aaMNkaa，MN直线方程为22eayxa，令22()2eeaxxaxa，即22e0 x axaxa，xa 或22e0 x axa，设 22e,Rx ag xxax，则 22e1x agx，令 0gx，则12ln2xa，2ln2xa，令 0gx，则2ln2xa，令 0gx，则2ln2xa，g x在,2ln2a上单调递减，在2ln2,a上单调递增，220,2e0gaga，ln22ln22e2ln2ln2 10ga，（或者2ln220gaga）存在唯一的0,2xaa，使00g x，即0202exaxa，故方程的解有0,2,aa
34、x综上，直线MN与曲线 yf x交于除,M N点外另一点P；法二：由（1）知,2ma na 且 0f mfa，2244eeaaf n，224e2e2aaMNkaa，MN直线方程为22eayxa，令22()2eeaxxaxa，即22e0eaxxaxa，xa 或22e0eaxxa，设 22e,Reaxxah xx，则 1exxahx，令 0h x，则1xa；令 0h x，则1xa；令 0h x，则1xa，h x在,1 a 上单调递增，在1,a上单调递减，12221e2eee20,2e0,20aaaahahaha，0,1xaa，使得00h x，故方程的解有0,2,aa x，综上，直线MN与曲线 yf
35、 x交于除,M N点外另一点P.（ii）法一：由（i）知，20,0,2,4eaPxx MaNa，002222aaMNtPNaxax ，022(0)axtt，由（i）可知，0202exaxa，222e2tt，即21e1tt，#QQABTQKAogiIAJBAAQhCUwVQCAGQkACAAYgOBEAIsAABwRNABAA=#试卷第 12页，共 12页21e10(0)ttt，设10ut，设 2e1,0uH uuu，22e1,0uHuu，令 0Hu，则ln22u ，令 0Hu，则ln202u，令 0Hu，则ln22u ，H u在ln2,2 上单调递减，在ln2,02上单调递增.21111e0,00,02e2HHH，011,2u ，使00H u，此时011,2tu，故存在定值t，且1,2t，使MNt PN，又,1ta a，故1a；法二：（ii）由（i）知，20,0,2,4eaPxx MaNa，002222aaMNtPNaxax ，022(0)axtt，0,1xaa，0122ax，212t，12t ，故存在定值t，且1,2t，使MNt PN，此时1a.#QQABTQKAogiIAJBAAQhCUwVQCAGQkACAAYgOBEAIsAABwRNABAA=#