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1、龙岩市 2022 届高三下学期 5 月高考考前模拟 数学 考试时间：120 分钟 总分：150 分 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数 z 满足izzi+2,则 z 在复平面内对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2设1Ax x，220Bx xx，则()C AB R（）A11xx B1x x C11xx D12xx 3已知抛物线2:2(0)C ypx p的准线被圆224xy所截得的弦长为2 3，则p（）A1 B3 C2 D4 4中国古代计时器的发明时间不晚于战国时代（公元前
2、 476 年前 222 年），其中沙漏就是古代利用机械原理设计的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道流到下部容器，如图，某沙漏由上下两个圆锥容器组成，圆锥的底面圆的直径和高均为 9cm，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的23；（细管长度忽略不计）若细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，则此圆锥形沙堆的高为（）A2cm B4cm3 C8cm3 D64cm27 5已知2sincoscos24，且sin0，则tan6的值为（）A3 B33 C23 D23 6.某市学生参加质检考试的数学成绩X服从正态分布2
3、95,N，下列结论中不正确的是（）（附：0.68PX，220.95PX，330.99PX）A无论为何值，学生数学成绩在小于75与大于115的概率相等 B无论为何值，学生数学成绩大于95的概率为0.5 C越大，学生数学成绩在90,100的概率就越大 D当20时，751350.815PX 7已知,(0,1)a b c，且3lnln3aa，eln1bb，2lnln 2cc，则（）Acba Bbca Cacb Dabc 8已知 22,0,0 xxf xxx，若x1，f（x2m）mf（x）0，则实数 m 的取值范围是（）A（1，）B1,4 C（0，）D1,12 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5
4、分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.9有一组互不相等的数组成的样本数据1x，2x，9x，其平均数为(ia ax，1i，2，9)，若插入一个数a，得到一组新的数据，则()A两组样本数据的平均数相同 B两组样本数据的中位数相同 C两组样本数据的极差相同 D两组样本数据的方差相同 10.在棱长为 1 的正方体1111ABCDABC D 中，E是棱1CC的中点，F是侧面11BCC B内的动点，且1/AF 平面1AED，则（）A点F的轨迹是一条线段 B直线1A F与BE可能相交 C直线1A F与1D E不可能平行 D
5、三棱锥1FABD的体积为定值 11 已知是圆22:4O xy上的动点，直线1:cossin4lxy与2:sincos1lxy交于点Q，则（）A12ll B直线1l与圆 O 相切 C直线2l与圆 O截得弦长为2 3 DPQ长最大值为172 12已知20122221nnnnnnnxxTT xT xTx，*nN，其中inT为21nxx展开式中ix项系数，0,1,2,2in，则下列说法正确的有（）A1477iiTT，0,1,2,14i B233778TTT C14671023iiiiT D77T是07T，17T，27T，147T是最大值 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13
6、双曲线2210 xymm的焦点到其一条渐近线的距离为 14已知数列 na满足13a，122nnna aa，则2022a的值为_ 15.如图，在矩形 ABCD 中，3AB，2AD，2DEEC，M为 BC的中点，若点 P在线段 BD上运动，则PE PM的最小值为_.16已知函数 32ln24ef xmxxxmx（0m），若 f x在1,上有零点，则实数m的取值范围为_ 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17已知数列na的前n项和为nS，点(n，*)()nSnN在函数2()32f xxx的图象上，（1）求数列na的通项公式；（2）设13nnnbaa，
7、求数列nb的前n项和nT 18.在2coscosbcCaA，coscoscos3sincosCABBA，2 sincos(2)sinbABcbB这三个条件中任选一个，补充到下面问题中，并解答问题.在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且_.（1）求A；（2）若6a，求ABC面积的最大值.19已知直三棱柱中1 1 1ABC ABC中，ABC为正三角形，E 为 AB 的中点，二面角1EACA的大小为4.(1)求证：1BC/平面1A EC；(2)求直线 BC与平面1AEC所成角的正弦值.20.已知椭圆2222:1(0)xyEabab的右顶点为(2,0)A，离心率为12过点(6,0)P与
8、x 轴不重合的直线 l交椭圆 E 于不同的两点 B，C，直线AB，AC分别交直线6x 于点 M，N(1)求椭圆 E 的方程；(2)设 O 为原点求证：90PANPOM 21根据社会人口学研究发现，一个家庭有 X个孩子的概率模型为：X 1 2 3 0 概率 p 1p 21p 其中0，01p每个孩子的性别是男孩还是女孩的概率均为12且相互独立，事件iA表示一个家庭有 i 个孩子0123i ,，事件 B表示一个家庭的男孩比女孩多(例如：一个家庭恰有一个男孩，则该家庭男孩多)(1)若12p，求，并根据概率公式 30()iiiP BP B A P A，求 P B；(2)为了调控未来人口结构，其中参数 p
9、 受到各种因素的影响(例如生育保险的增加，教育、医疗福利的增加等)若希望2P X 增大，如何调控 p 的值？是否存在 p的值使得 53E X，请说明理由 22已知函数 21e1(0,)2xf xaxxxaR.(1)当1a 时，判断()f x的单调性；(2)若1a 时，设1x是函数()f x的零点，0 x为函数()f x极值点，求证：1020 xx.龙岩市 2022 届高三下学期 5 月高考考前模拟 数学 参考答案.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A A C C D C D B 9.AC 10.AD 11.ACD 12.ACD 13.1 14.43 15.2352 16.32e0e
10、1m 17 解：解：（1）由题意可知：232nSnn 当 2，221323(1)2(1)65nnnaSSnnnnn.3 分 又因为111.aS.4 分 所以65nan.5 分（2）133111()(65)(61)2 6561nnnba annnn.7 分 所以111111113(1)(1)27713656126161nnTnnnn.10 分 18.解：解：（1）方案一：选条件.由正弦定理可知，22sinsincossincosbcBCCaAA，1 分 即2sincoscossinsincosBACACA，即2sincossin()BAAC.A CB，2sincossinBAB，3分 sin0B
11、，1cos2A.5 分 又(0,)A，3A.6分 方案二：选条件.由coscoscos3sincosCABBA，得cos()coscos3sincosABABBA，2 分 整理得sinsin3sincosABBA.(0,)B，sin0B，tan3A，5 分 又(0,)A，3A.6分 方案三：选条件.由2 sincos(2)sinbABcbB及正弦定理得，2sinsincos(2sinsin)sinBABCBB，(0,),B，sin0B，2sincos2sinsinABCB.2分 ABC，sinsin()sincoscossinCABABAB，2sincos2sincos2cossinsinAB
12、ABABB，sin0B，1cos2A，5 分(0,)A，3A.6 分（2）由3A可得3sin2A，1cos2A.7分 由6a 及余弦定理可得22236abcbc，由基本不等式得222bcbc，36bc.9 分 ABC的面积13sin9 324SbcAbc（当且仅当6bc时取等号），11分 ABC面积的最大值为9 3.12分 19 解：(1)连接1AC交1AC于O，连接OE，显然O是1AC的中点，因为 E为 AB的中点，所以1/OEAC，而1BC平面1A EC，OE平面1A EC，所以1BC/平面1A EC；.4 分(2)设11AC的中点为1M，连接1MO交AC于M，因为ABC为正三角形，所以1
13、11A B C也是正三角形，所以有1111B MAC，因为三棱柱111ABCABC是直三棱柱，所以平面111A BC 平面11A ACC，而平面111A BC平面1111A ACCAC，所以11B M 平面11A ACC，因为三棱柱111ABCA BC是直三棱柱，所以侧面11A ACC是矩形，因此11AC 平面1M M，于是建立如图所示的空间直角坐标系，.6 分 设12,ACAAt，所以113(1,0,0),(1,0),(1,0),(0,3),(,)22AAtCtBtEt，设平面1EAC的法向量为(,)nx y z，133(2,0),(,0,)22CAtCE ，所以有11200(,2,3)33
14、0022xtynCAn CAnttnCEn CExy，因为11B M 平面11A ACC，所以设平面1ACA的法向量为(0,0,1)m，因为二面角1EACA的大小为4，所以有22232cos242243m nttm ntt（负值舍去），.9 分 则(1,0,3),(2,2,6)BCn，设直线 BC与平面1A EC所成角的正弦值为，所以23 26sin61 3246BC nBCn.12 分 20解：(1)解：由题得12,2,1,3,2caacba 2 分 所以椭圆 E的方程为22143xy.3 分(2)解：要证90PANPOM，只需证90PANPOM，只需证明1tan,tanPANPOM只需证明
15、tantan1,PANPOM 只需证明1,ANOMkk5 分 设(6,),(6,)Mm Nn，只需证明1,62 6nm只需证明24mn.6 分 设直线 l的方程为(6)0yk xk，联立椭圆方程22143xy得2222(34)48144120kxk xk，设1122(,),(,)B x yC xy，所以2212122248144120,3434kkxxx xkk，又,A B M三点共线，所以11114,422yymmxx，同理2242ynx，8 分 所以2121212124416(6)(6)=22(2)(2)yykxxmnxxxx，所以212121212166()362()4kx xxxmnx
16、 xxx 所以2222222222214412481663616963434=24144124864243434kkkkkkmnkkkkk .11 分 所以90PANPOM.12 分 21.解：解:(1)12p 时，由2(1)(1)1ppp得1514，求得415，2 分 由题意得：233122311223331111CCCC2222P B AP B AP B A，由全概率公式，得 30()iiiP BP B A P A2332232331111CCC12222pp 1111242pp，又12p，则 3225P B；5 分 (2)由2111ppp，得21133ppp，记 2133fpppp，01
17、p，则 322231ppfpp，记 32231g ppp，则 266610gpppp p，故 g p在0,1单调递减 01g，0g p，0fp，fp在0,1单调递减 因此增加 p 的取值，1会减小，增大，即2P X 增大8 分 假设存在 p使 52313E Xpp，又21133ppp，将上述两式相乘，得215555533ppppp，化简得325620pp，设 32562h ppp，则 21512354hppppp，则 h p在40,5单调递减，在4,15单调递增，h p的最小值为480525h，不存在0p使得 00h p 12 分 22.解：(1)当1a 时，21e12xfxxx，所以 e1x
18、fxx，1 分 令 e1xg xx，e1xg x，0 x e10 x，即()0g x，g x在0,x单调递增，00g xg，即 0fx，f x在0,x单调递增；4 分(2)由于 e1xfxax，设 e1xh xax，exh xa，当0,lnxa时，()0h x，则()fx在0,lna为减函数；当ln,xa时，()0h x，则()fx在ln,a 为增函数；ln00hah，当x ，()h x ，所以存在0ln,xa，使得 00fx，即00e10 xax，所以00e1xax，6 分 所以()f x在00,x上单调递减，()f x在0,x 上单调递增，000f xf，当x ，()f x，所以()f x在区间0,x 必存在一个零点1x，8 分 令02xx，则：022000122212xfxeaxx00002220000e1e221e2e12xxxxxxxx，设 2e2 e1(0)xxg xxx，则 22e21 e2ee1xxxxgxxx，10 分 由（1）知，()0g x，所以()g x在0,为增函数，()00g xg，所以002002e2 e10 xxfxx，根据零点存在判定定理可知102xx，即1020 xx.12 分