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1、江苏省南京外国语学校、金陵中学、海安中学 2022 届高三 5 月联考考前模拟考试试题 数 学 2022 年 5 月 注意事项:1考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回 2本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置,否则不给分 3答题前,务必将自己的姓名、准考证号等信息用黑色量水签字笔填写在答题卡的相应位置 一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的 1设集合 M5,x2,N5x,5若 MN,则实数 x 的值组成的集合为 A5 B1 C 0,5 D 0,1 2已知复数 z311i(i 是虚数单位),则z对应的点在第 象限 A一 B
2、二 C三 D四 3八音是中国古代对乐器的总称,指金、石、土、革、丝、木、匏、竹八类,每类又包括若干种乐器现有土、丝、竹三类乐器,其中土有缶、埙 2 种乐器;丝有琴、瑟、筑、琵琶4 种乐器;竹有箫、笛、笼 3 种乐器现从这三类乐器中各选 1 种乐器分配给甲、乙、丙三位同学演奏,则不同的分配方案有 A24 种 B72 种 C144 种 D288 种 4已知(,32),若 cos(3)55,则 cos(12)A3 1010 B1010 C1010 D3 1010 5已知OA,OB,OC均为单位向量,且满足12OAOBOC0,则ABAC的值为 A38 B58 C78 D198 6某同学高考后参加国内
3、3 所名牌大学 A,B,C 的“强基计划”招生考试,已知该同学能通过这 3 所大学 A,B,C 招生考试的概率分别为 x,y,12,该同学能否通过这 3 所大学的招生考试相互独立,且该同学恰好能通过其中 2 所大学招生考试的概率为518,该同学恰好通过A,B 两所大学招生考试的概率最大值为 A2518 B19 C16 D118 7正四面体 PABC 的棱长为 4,若球 O 与正四面体的每一条棱都相切,则球 O 的表面积为 A2 B8 C8 23 D12 8若两曲线 yx21 与 yalnx1 存在公切线,则正实数 a 的取值范围为 A(0,2e B(0,e C2e,)D(e,2e 二、选择题:
4、本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求全部选对的得 5 分,部分选对的得 2 分,有选错的得 0 分 9某校为了解学生体能素质,随机抽取了 100 名学生进行体能测试,并将这 100 名学生成绩整理得到如下频率分布直方图根据此频率分布直方图,下列结论中正确的是 Aa0.012 B这 100 名学生中成绩在50,70)内的人数为 52 C这 100 名学生成绩的中位数为 65 D这 100 名学生的平均成绩为 68.2(同一组中的数据用该组区间的中点值做代表)10在平面直角坐标系 xOy 中,已知抛物线 C:y24x 的焦点为 F,点 P 在抛物线
5、 C 上,A(54,0),若PAF 为等腰三角形,则直线 AP 的斜率可能为 A4 27 B2 55 C52 D2 23 11已知函数 f(x)sincosxcossinx,其中x表示不超过实数 x 的最大整数,下列结论中不正确的是 Af(x)的一个周期是 2 Bf(x)是偶函数 Cf(x)在(0,)单调递减 Df(x)的最大值不大于 2 12如图,正方形 ABCDA1B1C1D1边长为 1,P 是 A1D 上的一个动点,下列结论中正确的是 ABP 的最小值为62 BPAPC 的最小值为2 2 C当 P 在直线 A1D 上运动时,三棱锥 AB1PC 的体积不变 D以点 B 为球心,22为半径的
6、球面与面 AB1C 的交线长为63 二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分 13在(ax1x)5的展开式中,若含 x 项的系数为 80,则实数 a 的值为_ 14设函数 yf(x)的图象与 y3xm的图象关于直线 yx 对称,若 f(3)f(9)1,实数 m 的值为_ 15在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 P(2,2),C(5,6)若在以点 C 为圆心,r 半径的圆上存在不同的两点 A,B,使得PA2AB0,则 r 的取值范围为_ 16德国数学家康托尔是集合论的创始人,以其名字命名的“康托尔尘埃”作法如下:第一次操作,将边长为 1 的正方形分成 9 个边长为13的小正方
7、形后,保留靠角的 4 个,删去其余5 个;第二次操作,将第一次剩余的每个小正方形继续 9 等分,并保留每个小正方形靠角的4 个,其余正方形删去;以此方法继续下去经过 n 次操作后,共删去 个小正方形;若要使保留下来的所有小正方形面积之和不超过11000,则至少需要操作 次(lg20.3010,lg30.4771)三、解答题:本题共 6 小题,共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17(本小题满分 10 分)(1)求an的通项公式;(2)若 bnan1an14,bn的前 n 项和为 Tn,求 Tn取得最小值时的 n 的值 18(本小题满分 12 分)在ABC 中,a,b,c 分别为
8、 A,B,C 所对边,tanCsinAsinBcosAcosB(1)求 cosC 的值;(2)若 sinA2 77,求bc的值 19(本小题满分 12 分)如图,在三棱柱 ABCA1B1C1中,底面 ABC 是边长为 2 的正三角形,侧面 ACC1A1是菱形,平面 ACC1A1平面 ABC,E,F 分别是棱 A1C1,BC 的中点,G 是棱 CC1上一点,且C1GtGC(t0)(1)证明:EF平面 ABB1A1;(2)若三棱锥 C1ABC 的体积为 1,且二面角 AEGF 的余弦值为4 5353,求 t 的值 20(本小题满分 12 分)自 2022 年 3 月起,新冠肺炎本土疫情已波及全国
9、27 个省份,呈现出点多、面广、频率大的特点中国疾控中心流行病学专家表示,由于奥密克戎传染性强、隐匿性强,症状比较轻,增加了第一时间发现最早病例的难度,这就造成了多省多起疫情同时发生 某学校为了保障教学活动的正常进行,决定加强学生的核酸检测,同时为了避免过度防疫,造成人力、财力等不必要的浪费,核酸检测作如下要求:每班班级人数 50 人,每次按学号随机抽取 30 人,每周抽两次(1)一周内,高三(1)班的甲同学被抽取到的次数为 X,求 X 的分布列和数学期望;(2)设一周内,两次都被抽取到的人数为变量 Y,则 Y 的可能取值是哪些?其中 Y 取到哪一个值的可能性最大?请说明理由 21(本小题满分
10、 12 分)在平面直角坐标系 xOy 中,设椭圆 C:x2a2y2b21(ab0)的两个焦点分别为 F1,F2,点 P在椭圆 C 上,连结 PF1,PF2并延长,分别交椭圆于点 A,B已知APF2的周长为8 2,F1PF2面积最大值为 4(1)求椭圆 C 的标准方程;(2)当 P 不是椭圆的顶点时,试分析直线 OP 和直线 AB 的斜率之积是否为定值?若是,求出该定值,若不是,请说明理由 22(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)e2x,g(x)m(2x1),m0,设 h(x)f(x)g(x)(1)若函数 h(x)有两个零点,求实数 m 的取值范围;(2)若直线 yg(x)是直线 f(x)e2x的一条切线,求证:ab,都有h(a)h(b)ab2e2a2