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1、第 1 页 共 14 页 2022-2023 学年河北省保定市第一中学高一上学期期末数学试题 一、单选题 1已知集合2log1Axx，230Bx xx，则AB（）A0,3 B2,3 C,3 D0,2【答案】D【分析】先解对数不等式与二次不等式化简集合,A B，再利用集合的交集运算即可得解.【详解】因为22log1log 2x ，所以02x，则 2log102Axxxx，因为230 xx，所以03x，所以23003Bx xxxx，所以020,2ABxx.故选：D 2命题：“0 x，11xx”的否定是（）A0 x，11xx B0 x，11xx C0 x，11xx D0 x，11xx【答案】C【分析
2、】根据存在量词命题的否定形式，直接判断选项.【详解】存在量词命题的否定是全称量词命题，所以“0 x，11xx”的否定是“0 x，11xx”.故选：C 3cos1050 （）A12 B12 C32 D32【答案】D【解析】利用诱导公式，化简求值.【详解】3cos1050cos 3 36030cos30cos302.故选：D 4已知sin153a，cos65b，121log3c，则（）第 2 页 共 14 页 Aabc Bcab Cbca Dcba【答案】B【分析】三角函数由诱导公式化成锐角三角函数，由正弦函数单调性比较；对数式根据对数函数单调性与 1 比较大小.【详解】sin153sin 180
3、27sin27a，cos65cos 9025sin25b ，112211loglog132c，因为2725，所以由正弦函数的性质可得1 sin 27sin 25，1cab.故选：B 513yxx的最大值是（）A174 B2 C12 D4【答案】A【分析】设1(0),tx t可得24ytt ，配方后利用二次函数的性质求解即可.【详解】设21(0)1tx txt，则2217113442yxxttt ，因为0t，所以12t 时，13yxx的最大值是174，故选：A.6为了得到函数cos2yx的图象，只需把函数cos(2)6yx的图象 A向左平移12个单位长度 B向右平移12个单位长度 C向左平移6个
4、单位长度 D向右平移6个单位长度【答案】A【分析】将cos 26yx转化为cos 212x，由此判断出正确选项.【详解】由于cos 2cos 2612yxx，故需向左平移12后得到cos2yx的图像.第 3 页 共 14 页【点睛】本小题主要考查三角函数图像变换，转换过程中要注意是将哪个函数变到哪个函数，属于基础题.7已知函数 41xf xx，则不等式233fx的解集是（）A1,2 B0,3 C,12,D15,22【答案】B【分析】根据奇偶性定义可知 f x为偶函数，当0 x 时，根据解析式可判断出 f x单调性，从而得到 f x在,0上的单调性；根据 333ff，结合单调性可得自变量大小关系
5、，解不等式可求得结果.【详解】f x定义域为R，4411xxfxf xxx，fx为R上的偶函数；当0 x 时，4 14444111xxfxxxx，41yx在0,上单调递减，fx在0,上单调递增，又 f x为偶函数，图象关于y轴对称，fx在,0上单调递减；令431xx，解得：3x，333ff，则由233fx得：3233x ，解得：03x，即233fx的解集为0,3.故选：B.8十六世纪中叶，英国数学家雷科德在砺智石一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若实数1331,3xyxy，则3131xyxy的最
6、大值为（）A65 B52 C3 D4【答案】A【分析】根据分离常数法和均值不等式即可进一步求解.【详解】因为3113111111112()131113131131131xyxyxyxxyyxyxy 又因为33xy，第 4 页 共 14 页 所以 1315xy，所以(1)3111111311315xyxyxy，所以11131113114(11)22131513151315yxyxxyxyxy，当且仅当311131yxxy，即22311yx，所以 131xy且当 1315xy，即 51312xy，即3122xy，时，min114()1315xy，所以max1162()1315xy，故选：A.二、多
7、选题 9若,Ra b c d，则下列命题中真命题的是（）A若ab，cd，则acbd B若0ab，则baab C若0bcad，0bd，则abcdbd D若22abcc，则ab【答案】ACD【分析】根据不等式的性质，以及做差法，即可判断选项.【详解】A.,ab cd，所以cd ，则acbd，故 A 正确；B.22babababaababab，当0ab时，0,0,0abbaab，所以0baab，即baab，故 B 错误；C.若0bcad，0bd，则00bcadcabddb，即11acacabcdbdbdbd ,故 C正确；第 5 页 共 14 页 D.若22abcc，则20c，两边同时乘以2c，则a
8、b，故 D 正确.故选：ACD 10若“02x”是“lnxa”的必要不充分条件，则实数a的取值可能为（）A0 Bln2 C12 D1【答案】AC【分析】根据充分，必要条件判断集合的包含关系，列式求实数a的取值.【详解】lnxa，解得：0eax，由条件可知，0eaxx02xx，所以e2a，则ln2a，由选项可知，满足条件的a为0或12.故选：AC 11若函数 221,0212,0 xb xxf xbxbx在R上为单调减函数，则实数b的值可以为（）A0 B1 C2 D52【答案】CD【分析】根据二次函数和一次函数的单调性，以及分段处函数值大小关系可构造不等式组求得结果.【详解】f x在R上为单调减
9、函数，20221012bbb ，解得：2b，b的值可以为2或52.故选：CD.12定义 22 行列式12142334aaa aa aaa，若函数 22cossin3cos212xxf xx，则下列表述错误的是（）A f x的图象关于点,06中心对称 B f x的图象关于y轴对称 C f x在区间0,6上单调递增 D f x的最小正周期为【答案】AB【分析】首先化简函数 f x，再根据三角函数的性质，判断选项.第 6 页 共 14 页【详解】由题中所给定义可知22()cossin3cos(2)cos23sin 22f xxxxxx 2cos(2)3x，2cos0206f，故 A 错误；02cos
10、123f ，故 B 错误；当0,6x时，2,033x，此时函数单调递增，故 C 正确；22T，故 D 正确.故选：AB 三、填空题 13幂函数 2255mmf xmmx在0,上单调递减，则实数m _.【答案】3【分析】根据幂函数的特征，列式251mm，求m的值，再根据函数的性质，确定m的值.【详解】因为函数是幂函数，所以251mm，解得：2m 或3m，当2m 时，14f xx，函数在0,上单调递增，不满足条件；当3m 时，6f xx，函数在0,上单调递减，满足条件.所以3m.故答案为：3 14若的终边过点2,5，则sinsincos2_.【答案】541.25【分析】先利用三角函数的定义求出ta
11、n，对sinsincos2利用诱导公式化简后代入即可求解.【详解】因为的终边过点2,5，所以5tan2，所以sinsinsin5coscos2cos4sincos2 .第 7 页 共 14 页 故答案为：54.15把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是1，空气的温度是0，mint后物体的温度可由公式010ekt求得，其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的正的常数.若将 62的物体，放在 15的空气中冷却，可测得 1min 以后物体的温度是 52，由此可求出k的值约为 0.24.现将 55的物体，放在 15C 的空气中冷却，则开始冷却_分钟（精确 0.01）后物体的温度是 35.（参考
12、数据：ln20.693）【答案】2.89【分析】根据所给数据代入方程即可求得结果.【详解】由题意可知155，015，35，代入方程0.24010()et得0.243515(55 15)et即0.241e2t，两边取对数得10.24lnln22t，由参考数据可知ln20.693，所以2.89t，故答案为：2.89 16设函数 f x是定义在R上的偶函数,且 2f xfx,当 0,1x时,f xx,则函数 tan g xxf x在3 5,2 2上所有零点的个数为_.【答案】10【分析】根据图象变换画出tanyx的图象,根据 2f xfx及偶函数,求出 f x的周期及对称轴,再根据 0,1x时,f
13、xx,在同一坐标系下画出tanyx及 f x在3 5,2 2的图象,交点个数即零点个数.【详解】解:由题知tanyx是由tanyx纵坐标不变,横坐标变为原来的1倍,再将x轴下方的图象翻到x轴上方即可得到,又有 f x是定义在R上的偶函数,且 22f xfxf x,所以 f x图象关于直线1x 对称,且周期为 2,又因为 0,1x时,f xx,第 8 页 共 14 页 在同一坐标系下,画出tanyx及 f x在3 5,2 2的图象如下所示:由图象可知tanyx与 f x交点个数为 10 个,即 tan g xxf x在3 5,2 2上所有零点的个数为 10 个.故答案为:10 四、解答题 17已
14、知集合2503xAxx，非空集合221Bx axa.(1)当3a 时，求A和RAB；(2)若xA是xB的必要不充分条件，求实数a的取值范围.【答案】(1)|3Ax x 或52x,RAB|37xx；(2)92a 或32a 【分析】（1）利用分式不等式的解法化简集合 A，再利用集合的补集和并集运算求解；（2）根据xA是xB的必要不充分条件，由 BA求解.【详解】（1）解：因为集合2503xAxx|3x x 或52x,所以R5|32Axx，又|17Bxx，所以RAB|37xx；（2）因为xA是xB的必要不充分条件，所以 BA，第 9 页 共 14 页 所以212522aaa 或212213aaa ，
15、解得92a 或32a，所以实数a的取值范围是92a 或32a.18已知函数 2sin 2cos 23 2cos136fxxxx，xR.(1)将函数 f x化成sin0,0,02AxA的形式，并写出其最小正周期；(2)求函数 f x在区间0,2上的值域.【答案】(1)2sin 23fxx，最小正周期为，(2)3,2 【分析】（1）根据和差角公式以及二倍角公式化简得 sin23cos2f xxx，利用辅助角公式即可化简，（2）根据0,2x得 42333x,，即可求解值域.【详解】（1）2sin 2cos 23 2cos136fxxxx 1331sin2cos2cos2sin23cos22222xx
16、xxx sin23cos22sin 23xxx,最小正周期为，（2）0,2x时，20,x，进而 42333x,，所以3sin 2,132x，所以 3,2f x 所以函数 f x在区间0,2上的值域为3,2 19回答下面两题(1)已知2sincos4，0,，求sincos的值；(2)已知tan4 3，且3 3sin14，02，求角的值.【答案】(1)304 第 10 页 共 14 页(2)3 【分析】（1）利用平方关系，先求2sincos，再判断角的范围后，再利用平方求sincos的值；（2）利用角的变换求sinsin，再利用两角差的正弦公式，展开后求解.【详解】（1）因为2sincos4，两边
17、平方后得 112sincos8，即72sincos08，因为0,，所以,2，所以sin0,cos0，因为2715sincos1 2sincos188 ，sincos0 所以30sincos4；（2）因为02，所以02，3 3sin14，所以213cos1 sin14，tan4 3，得22sin4 3cossincos1sin,cos，解得：4 3sin7，1cos7，sinsinsincoscossin 4 31313 337147142，且02，所以3.20 121f xf xx；11f xfx且 02f；1fx 恒成立，且 02f.在以上三个条件中选择一个，补充在下面的问题中，并作答.问题
18、：已知二次函数的图像经过点 1,1，_.(1)求 f x的解析式；(2)若 22log6log6g xxx，求 gf x在0,3x的值域.【答案】(1)222f xxx(2)22log 11,log 35 第 11 页 共 14 页【分析】（1）任意选择三个中的一个，利用待定系数法求解；（2）令()uf x，则 1,5u，则 22(u)log(36u)gf xg，利用对数函数的单调性求解.【详解】（1）解：选：设 20f xaxbxc a，则221112f xa xb xcaxab xabc，由 121f xf xx可得221abbabcc，解得12ab，则 22f xxxc，由 11 1fc
19、 可得2c，222f xxx；选：因为11f xfx，所以函数 f x的图象关于直线1x 对称，因为 11f，设 211fxa x，则 012fa，可得1a，所以 221122f xxxx；选：因为 1fx 且 11f，可设 211fxa x，其中0a，则 012fa，可得1a，所以 221122f xxxx；（2）解：当0,3x时，2111,5f xx，令()uf x，则 1,5u，22log6log6g xxx22log36x，22(u)log(36u)gf xg，令236ut，则11,35t，因为函数2logyt在11,35t上单调递增，因此函数2logyt值域为22log 11,log
20、 35，所以 gf x在0,3x的值域为22log 11,log 35 21已知函数 cos0,0,2fxAxA的部分图象如图.第 12 页 共 14 页 (1)求 f x的表达式;(2)将函数 f x的图象向右平移4个单位长度得到曲线C,把C上各点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的 2 倍得到函数 g x的图象.若关于x的方程 0g xm在0,2恰有一个实数解,求实数m的取值范围.【答案】(1)cos 26fxx(2)11m 或2m 【分析】(1)由图象结合五点法求出函数解析式即可;(2)由三角函数变换求出 g x解析式,根据题意进行分离,变为 yg x与ym有一个交点,对 g x进行换元,
21、画出函数图象,根据图象即可分析出范围.【详解】（1）解:由图可得:43124T,2T,2,minmax1,1f xf x,1A,此时:cos 2f xx,1cos 21212f,解得:2,Z6kk,即2,Z6kk,2,故6,第 13 页 共 14 页 综上:cos 26fxx.（2）由(1)知 cos 26fxx,f x向右平移4个单位长度得到曲线C:2cos 23yx,再将C横坐标保持不变,纵坐标变为原来的 2 倍,变为:22cos 23g xx,因为关于x的方程 0g xm在0,2恰有一个实数解,即 g xm有一个根,即 yg x与ym有一个交点,令22 2,333txt,则即2cosyx
22、在2,33上与ym有一个交点,画出图象如下:由图可知,实数m的取值范围为11m 或2m.22已知函数 91log3xaxfx（0a 且1a）.(1)试判断函数 f x的奇偶性；(2)当2a 时，求函数 f x的值域；(3)已知 2g xxx，若12,2x，250,2x，使得 122f xg x，求实数a的取值范围.【答案】(1)偶函数(2)1,)(3)1,2 【分析】（1）利用函数奇偶性的定义式判断即可；（2）根据复合函数求值域计算即可；第 14 页 共 14 页（3）根据不等式恒成立与能成立综合，原式等价于minmin()()2g xf x，分别计算()f x和()g x的最小值，再代入解关
23、于 a的不等式即可.【详解】（1）()f x的定义域为R 911 9()loglog()33xxaaxxfxf x 故()f x是偶函数.（2）当2a 时，2211()loglog(3)933xxxxf x 令函数1,0,)()33xxxh x，对12,0,)x x，当12xx时，有211212121212121211331()()3333(33)(1)333333xxxxxxxxxxxxxxh xh x 当120 xx时，12330 xx，且12331xx，所以121103 3xx，所以 120h xh x，所以()h x在0,)上单调递增.且函数是偶函数，所以函数的最小值是 20log 21f，即()f x的值域是1,).（3）1252,2,0,2xx，使得12()()2f xg x 等价于minmin()()2g xf x.22()2()21 1(1)1g xxxxxx ,所以min()(1)1g xg.由（2）可知，函数 911333xxxxh x在0,单调递增，于是，当1a 时，()f x在0,2单调递增，又因为函数 f x是偶函数，故min()(0)log 2af xf，所以log 221a，解得12a，即 a的范围为12a；当01a时，()f x在0,2单调递减，故min82()(2)log9af xf，所以82log219a，无解.综上：a的取值范围为(1,2).