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1、会计学1数学数学(shxu)从力做的功到向量的数量积北从力做的功到向量的数量积北师大必修师大必修第一页，共14页。【探究新知】【探究新知】思考思考(sk(sk o)o)：请同学们回忆物理学中做功的含义：请同学们回忆物理学中做功的含义?力做的功：力做的功：W=|F|s|cosW=|F|s|cos 是是F F与与s s的夹角的夹角问对一般的向量问对一般的向量a a和和b b，如何定义这种运算？，如何定义这种运算？sF第1页/共14页第二页，共14页。向量向量向量向量(xingling)(xingling)夹角的概念：夹角的概念：夹角的概念：夹角的概念：=0=180OOOOOOAAAAAABBBBB
2、BC范围(fnwi)0180第2页/共14页第三页，共14页。当=0时，两向量同向；当=180时，两向量反向(fn xin)；当=90时，两向量垂直，记作ab 由于零向量的方向(fngxing)是不确定的，为今后方便起见，我们规定零向量可与任一向量垂直.第3页/共14页第四页，共14页。思考(sko)与交流1.射影的概念是如何(rh)定义的？AOOBOB1OabAOOBOB1OabAOOBO(B1)Oab定义：|b|cos叫作向量b在a方向上的射影（也叫投影）.注意：射影也是一个(y)数量，不是向量。当为锐角时射影为正值；当为钝角时射影为负值；当为直角时射影为0；当=0时射影为|b|；当=18
3、0时射影为|b|.第4页/共14页第五页，共14页。已知两个向量a和b，它们的夹角(ji jio)为，我们把|a|b|cos叫作a与b的数量积（或内积）.记作ab 即ab=|a|b|cos.第5页/共14页第六页，共14页。思考(sko)与交流 2如何(rh)定义向量数量积的几何意义？由向量数量积的几何意义你能得到两个向量的数量积哪些的性质?几何意义：数量(shling)积ab等于a的长度与b在a方向上射影|b|cos的乘积，或b的长度与a在b方向上 射影|a|cos的乘积。性质：设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位 向量。第6页/共14页第七页，共14页。两个向量相等(xingdng)
4、时，两向量的数量积有怎么算呢？向量(xingling)长度的平方第7页/共14页第八页，共14页。ea=ae=|a|cosea=ae=|a|cos（e e 是单位向量）是单位向量）a ab b ab=0 ab=0 当当a a与与b b同向时，同向时，ab=|a|b|ab=|a|b|；当；当a a与与b b反向反向(f(f n n xinxin)时，时，ab=ab=|a|b|a|b|，特别的特别的aa=|a|2aa=|a|2。coscos =ab=ab|a|b|a|b|（|a|b|0|a|b|0）|a|ab|a|b|b|a|b|第8页/共14页第九页，共14页。巩固(gngg)深化，发展思维判断
5、下列(xili)各题正确与否：若a=0，则对任一向量(xingling)b，有ab=0.（）若a 0，则对任一非零向量b，有ab 0.()若a 0，ab=0，则b=0.()若ab=0，则a、b至少有一个为零.()若a 0，ab=ac，则b=c.()若ab=ac，则b=c当且仅当a 0时成立.()对任意向量a、b、c，有(ab)c a(bc).()对任意向量a，有a2=|a|2.()第9页/共14页第十页，共14页。思考(sko)与交流思考：根据向量数量积的定义、物理意义及几何意义，你能否验证下列向量的数量积是否满足(mnz)下列运算定律1.交换律：ab=ba2.数乘结合律：(a)b=(ab)=
6、a(b)第10页/共14页第十一页，共14页。3.分配律：(a+b)c=ac +bc一定(ydng)要熟练掌握并能灵活运用这几个公式哦第11页/共14页第十二页，共14页。例题(lt)讲评例1.已知a，b都是非(shfi)零向量，且a+3b与7a 5b 垂直，a 4b与7a 2b垂直，求a，b的夹角。解：由(a+3b)(7a 5b)=0 7a2+16ab 15b2=0 (a 4b)(7a 2b)=0 7a2 30ab+8b2=0 两式相减：2ab=b2 代入或得：a2=b2 设a、b的夹角(ji jio)为，则cos=ab|a|b|=60第12页/共14页第十三页，共14页。例2.用向量方法证明：菱形对角线互相(h xing)垂直。证明(zhngmng)：如图，设菱形的两边分别为a，bCABDabABCD为菱形(ln xn)|a|=|b|a b=(b+a)(b a)=b2 a2 =|b|2|a|2=0 a b即菱形(ln xn)对角线互相垂直。第13页/共14页第十四页，共14页。