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1、高中数学从力做的功到向量的数量积教案北师大版必修4-1-/4 2.5 从力做的功到向量的数量积一、教学目标：1.知识与技能（1）通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义、几何意义.（2）体会平面向量的数量积与向量投影的关系.（3）掌握平面向量数量积的运算律和它的一些简单应用.（4）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.2.过程与方法教材利用同学们熟悉的物理知识（“做功”）得到向量的数量积的含义及其物理意义、几何意义.为了 帮助学生理解和巩固相应的知识，教材设置了4 个例题；通 过讲解例题，培养学生逻辑思维能力.3.情感态度价值观通过本节内容的
2、学习，使同学们认识到向量的数量积与物理学的做功有着非常紧密的联系；让学生进一步领悟数形结合的思想；同时以较熟悉的物理背景去理解向量的数量积，有助于激发学生学习数学的兴趣、积极性和勇于创新的精神.二.教学重、难点重点:向量数量积的含义及其物理意义、几何意义；运算律.难点:运算律的理解三.学法与教学用具学法：(1)自主性学习+探究式学习法：(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.教学用具:电脑、投影机.四.教学设想【探究新知】（学生阅读教材P107108，师生共同讨论）思考：请同学们回忆物理学中做功的含义，问对一般的向量a和b，如何定义这种运算？1.力做的功：
3、W=|F|?|s|cos是F与s的夹角2.定义：平面向量数量积（内积）的定义，a?b=|a|b|cos，并规定0与任何向量的数量积为0。3.向量夹角的概念：范围0 180 展示投影 由于两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别；因此强调注意的几个问题：两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos 的符号所决定。两个向量的数量积称为内积，写成a?b；今后要学到两个向量的外积ab，而ab是两个数量的积，书写时要严格区分。在实数中，若a0，且a?b=0，则b=0；但是在数量积中，若a 0，且a?b=0，不能 推出b=0。因为其中cos 有可能为0.这就得性质2.已知实数a、b、c(b0)，则a
4、b=bc a=c.但是a?b=b?ca=c如右图：a?b=|a|b|cos=|b|OA|C =0=180O O O O O O A A A A A A B B B B B B C O a A c b s F 高中数学从力做的功到向量的数量积教案北师大版必修4-2-/4 b?c=|b|c|cos=|b|OA|a?b=b?c但ac在实数中，有(a?b)c=a(b?c)，但是(a?b)ca(b?c)显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c不共线.展示投影 思考与交流：思考与交流1.射影的概念是如何定义的，举例（或画图）说明；并指出应注意哪些问题.定义：|b|cos叫做
5、向量b在a方向上的射影。注意：射影也是一个数量，不是向量。当为锐角时射影为正值；当 为钝角时射影为负值；当 为直角时射影为0；当 =0时射影为|b|；当 =180时射影为|b|.思考与交流2.如何定义 向量数 量积的几何意义？由向量数量积的几何意义你能得到两个向量的数量积哪些的性质（学生讨论完成，教师作必要的补充）.几何意义：数量积a?b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积性质：设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量。e?a=a?e=|a|cosa ba?b=0 当a与b同向时，a?b=|a|b|；当a与b反向时，a?b=|a|b|。特别的a?a=|a|2或aaa|cos=
6、|baba?（|a|b|0）|ab|a|b|【巩固深 化，发展思维】判断下列各题正确与否：若a=0，则对任一向量b，有a?b=0.()若a0，则对任一非零向量b，有a?b 0.()若a0，a?b=0，则b=0.()若a?b=0，则a、b至少有一个为零.()若a0，a?b=a?c，则b=c.()若a?b=a?c，则b=c当且仅当a0时成立.()对任意向量a、b、c，有(a?b)?ca?(b?c).()对任意向量a，有a2=|a|2.()展示投影 思考与交流：A OO BO B1O a b A OO BO B1O a b A OO BO(B1)O a b 高中数学从力做的功到向量的数量积教案北师大
7、版必修4-3-/4 思考：根据向量数量积的定义、物理意义及几何意义，你能否验证下列向量的数量积是否满足下列运算定律（证明的过程可根据学生的实际水平决定）1.交换律：a?b=b?a证：设a，b夹角为，则a?b=|a|b|cos，b?a=|b|a|cosa?b=b?a2.数乘结合律：(a)?b=(a?b)=a?(b)证：若=0，此式显然成立.若 0，(a)?b=|a|b|cos，(a?b)=|a|b|cos，a?(b)=|a|b|cos，所以(a)?b=(a?b)=a?(b).若 0，(a)?b=|a|b|cos()=|a|b|(cos)=|a|b|cos，(a?b)=|a|b|cos，a?(b)
8、=|a|b|cos()=|a|b|(cos)=|a|b|cos。所以(a)?b=(a?b)=a?(b).综上可知(a)?b=(a?b)=a?(b)成立.3.分配律：(a+b)?c=a?c +b?c证：在平面内取一点O，作OA=a,AB=b，OC=c，a+b（即OB）在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影和，即：|a+b|cos=|a|cos1+|b|cos2|c|a+b|cos=|c|a|cos1+|c|b|cos2 c?(a+b)=c?a+c?b即：(a+b)?c=a?c+b?c.展示投 影 例题讲评（学生先做，学生讲，教师提示或适当补充）例 1.已知：.)2.()1(,120,3,22
9、20babababa求的夹角为与解：（1）5942222baba（2）7cos22)(22222bbaabbaababa例 2.已知ba、都是非零向量，且baba573 与垂直，baba274 与垂直，求ba、的夹角。解：由(a+3b)(7a 5b)=0 7a2+16a?b15b2=0 (a 4b)(7a 2b)=0 7a2 30a?b+8b2=0 两式相减：2a b=b2代入或得：a2=b2设a、b的夹角为，则 cos =21|2|22?bbbaba =60 1 2 a b A B O ABC c C A D a b 高中数学从力做的功到向量的数量积教案北师大版必修4-4-/4 例 3.用向量方法证明：菱形对角线互相垂直。证：设AB=DC=a,AD=BC=bABCD为菱形|a|=|b|AC?BD=(b+a)(ba)=b2 a2=|b|2|a|2=0 ACBD即菱形对角线互相垂直。【巩固深化，发展思维】1.教材 P109练习 1、2 题2.教材 P111练习 1、2、3、4、5 题 学习小结（学生总结，其它学生补充）有关概念：向量的夹角、射影、向量的数量积.向量数量积的几何意义和物理意义.向量数量积的五条性质.向量数量积的运算律.五、评价设计