数据包络分析学习教案.pptx

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1、会计学1数据包络数据包络(bo lu)分析分析第一页，共30页。2第七章第七章第七章第七章 数据数据数据数据(shj)(shj)(shj)(shj)包络分析包络分析包络分析包络分析(DEA)(DEA)(DEA)(DEA)在国外，在国外，DEADEA方法已经成功地应用于银行、城市、医院、学校方法已经成功地应用于银行、城市、医院、学校及军事等方面效率及军事等方面效率(xio l)(xio l)的评价，在对相互之间存在激烈竞争的私营企的评价，在对相互之间存在激烈竞争的私营企业和公司的效率业和公司的效率(xio l)(xio l)评价中，也显示出巨大的优越性。例如，用评价中，也显示出巨大的优越性。例如

2、，用DEADEA 方法对美国大银行效率方法对美国大银行效率(xio l)(xio l)评价的研究，取得了极大的成功。应用评价的研究，取得了极大的成功。应用DEADEA方法评价部门的相对有效性的优势地位，是其它方法所不能方法评价部门的相对有效性的优势地位，是其它方法所不能取代的。取代的。在国内，经济和管理领域的许多方面，在国内，经济和管理领域的许多方面，DEADEA方法都得到了重方法都得到了重要的应用。例如，纺织工业部门所属的棉纺企业中，利用工业普要的应用。例如，纺织工业部门所属的棉纺企业中，利用工业普查资料对查资料对177177个企业的综合经济效益进行评价，取得了满意的结个企业的综合经济效益进

3、行评价，取得了满意的结果。果。DEADEA方法在冶金工业评价、城市供热系统规划、机床工业管方法在冶金工业评价、城市供热系统规划、机床工业管理、科技情报机构功能与效益评价、企业技术进步分析等方面的理、科技情报机构功能与效益评价、企业技术进步分析等方面的研究，都取得一系列重要应用成果。研究，都取得一系列重要应用成果。第1页/共30页第二页，共30页。3 7.1 DEA模型 一、DEA模型概述 对具有相同类型的部门、企业或者同一企业不同时期的相对效率进行评价，这些部门、企业或时期称为决策单元。评价的依据是决策单元的一组投入指标数据和一组产出指标数据。投入指标是指决策单元在经济和管理活动中需要耗费的经

4、济量，例如固定资产原值、流动资金(zjn)平均余额、自筹技术开发资金(zjn)、职工人数、占用土地等。产出指标是指决策单元在某种投入要素组合下，表明经济活动产生成效的经济量，例如总产值、销售收入、利税总额、产品数量、劳动生产率、产值利润率等。指标数据是指实际观测结果，根据投入指标数据和产出指标数据评价决策单元的相对效率，即评价部门、企业或时期之间的相对有效性。DEA方法就是评价多指标投入和多指标产出决策单元相对有效性的多目标决策方法。第2页/共30页第三页，共30页。4 二、C2R模型及其基本性质 2R模型 设有n个部门(企业(qy)，称为n个决策单元，每个决策单元都有p种投入和q种产出，分别

5、用不同的经济指标表示。这样，由n个决策单元构成的多指标投入和多指标产出的评价系统，可以用下图表示：V决策单元12knv1x11x12x1kx1n投入v2x21x22x2kx2n vpxp1xp2xpkxpn 决策单元12kn Uy11y12y1ky1nu1y21y22y2ky2nu2产出yq1yq2yqkyqnuqxik表示第k个决策单元第i种 投入(tur)指标的投入(tur)量，xik0；（是已知数据）vi表示第i种投入(tur)指标的权系数，vi0（是变权数）ykj表示第k个决策单元第j种 产出指标的产出量，ykj0；（是已知数据）uj表示第k种产出指标的权系数(xsh)，uj0（是变权

6、数）第3页/共30页第四页，共30页。5 设投入指标和产出指标的权系数向量(xingling)分别为 V=(v1，v2，vp)T，U=(u1，u2，uq)T 对每一个决策单元 k，定义一个效率评价指标 即：效率指标 hk 等于产出加权之和除以投入加权之和，表示第 k 个决策单元多指标投入和 多指标产出所取得的经济效率。可以适当(shdng)地选择权系数 U、V，使得 hk1。现在，建立(jinl)评价第k0个决策单元相对有效性的C2R模型。设第k0个决策单元的投入向量和产出向量分别为：效率指标h0=hk0。在效率评价指标hk1(k=1,2,，n)的约束条件下，选择一组最优权系数 U和V，使得h

7、0达到最大值，构造优化模型(分式规划)：第4页/共30页第五页，共30页。6 此模型称为C2R模型，是最基本(jbn)的DEA模型，用C2R模型评价第k0个决策单元的有效性，是相对于其它决策单元而言的，故称为评价相对有效性的DEA 模型。第5页/共30页第六页，共30页。7 作Charnes-Cooper变换(binhun)，转化为一个等价的线性规划模型。转化为一个(y)等价的线性规划模型：第6页/共30页第七页，共30页。8 展开(zhn ki)可写为：，对应(duyng)的对偶变量记为 1，对应的对偶(du u)变量记为 n，对应的对偶变量记为 其对偶规划为：第7页/共30页第八页，共30

8、页。9 引入松弛(sn ch)变量 将不等式约束(yush)化为等式约束(yush)，得第8页/共30页第九页，共30页。10【例7-1】设有4个决策单元，2个投入指标(zhbio)和1个产出指标(zhbio)的评价系统，其数据如下图。写出评价第1个决策单元相对效率的C2R模型。1234决策单元投入113342313211211产出 解：（P）：Max VP=1 s.t.1+32-1 0 31+2-1 0 31+32-21 0 41+22-1 0 1+32=1 1,2,1 0（D）：Max VD=s.t.1+32+33+44+s-1=31+2+33+24+s-2=3 1+2+23+4 s+1=

9、1 1,2,3,4,s-1,s-2 s+1 0第9页/共30页第十页，共30页。11 2.评价系统的DEA有效性：决策单元(dnyun)k0 为DEA有效的定义 定义7.1 如果线性规划(P)的最优解满足下列条件 VP=0T Y0=1 则称决策单元 k0 为弱DEA有效(yuxio)。定义7.2 如果线性规划(P)的最优解满足条件 VP=0T Y0=1，并且 00,00 则决策单元 k0 为DEA有效(yuxio)。定理 线性规划(P)及其对偶(du u)规划(D)都有可行解，因而都有最优解，并且最优值 VP=VD 1 定理7.2 关于对偶(du u)规划(D)，有 如果(D)的最优值VD=1

10、，则决策单元k0为弱DEA有效；反之亦然；如果(D)的最优值VD=1，并且每个最优解都满足条件：s0-=0,s0+=0，则决策单元k0为DEA有效；反之亦然。定理 决策单元的最优效率指标VP与投入指标值Xik及产出指标值Ykj的量纲选取无关。第10页/共30页第十一页，共30页。12 3.评价系统(xtng)DEA 有效性的判定 在实际应用中，无论利用(P)还是(D)，上述判断都并非易事。为了方便地使判定决策单元DEA 有效，查恩斯和库伯引用了非阿基米德无穷小量的概念。从而，可以利用单纯形方法(fngf)求解线性规划问题，来判定决策单元的DEA有效性。设 是非阿基米德无穷小量，在广义实数域内，

11、表示一个小于任何正数且大于零的数，考虑带有非阿基米德无穷小量 的C2R模型：其 中(qzhng)=(1,1,1)是元素均为l的 p 维向量，eT=(1,1,1)是元素均为l的 q 维向量。定理7.4 设为非阿基米德无穷小量，线性规划（D）的最优解为0,s0-,s0+,0，有 若0=1，则决策单元k0为弱DEA有效；若0=1，并且s0-=0,s0+=0，则决策单元k0为DEA有效。利用模型一次计算就能够判定决策单元是否DEA 有效。在实际操作中，只要取 足够小，例如取 =10-6。用单纯形法求解，通常可利用 线性规划软件(如QSB，Lindo等)，在计算机上实现。第11页/共30页第十二页，共3

12、0页。13【例7-2】设有4个决策单元，2个投入指标和1个产出指标的评价系统(xtng)，其数据如下图。判定各个决策单元是否 DEA 有效。1234决策单元投入113342313211211产出 解：决策(juc)单元1所对应的线性规划（D），取=10-6，为 （D）：Max VD=-0.000001(s-1+s-2+s+1)s.t.1+32+33+44+s-1=31+2+33+24+s-2=3 1+2+23+4 s+1=1 1,2,3,4,s-1,s-2 s+1 0利用单纯形法求解，得到(d do)最优解0=(1,0,0,0)T，S10-=S20-=S10+=0，0=1因此，决策单元1为DE

13、A有效。决策单元4所对应的线性规划（D），取=10-6，为（D）：Max VD=-0.000001(s-1+s-2+s+1)s.t.1+32+33+44+s-1=4 31+2+33+24+s-2=2 1+2+23+4 s+1=1 1,2,3,4,s-1,s-2 s+1 0利用单纯形法求解，得到最优解0=(0,3/5,1/5,0)T，S10-=S20-=S10+=0，0=3/51因此，决策单元4不是DEA有效。同样地，经过判定，决策单元2，3均为DEA有效。第12页/共30页第十三页，共30页。14 4.DEA有效(yuxio)决策单元的构造 评价系统并非所有的决策单元都是DEA 有效，经过判定

14、后，如何对一些非DEA有效的决 策单元进行分析，指出造成非有效的原因，并据此改进(gijn)为具有 DEA 有效性的决策单元。为此，需要讨论决策单元在相对有效面上的投影。定义7.3 DEA 的相对有效(yuxio)面(有效(yuxio)生产前沿面)：0T X0 0T Y0=0 如果决策单元k0是DEA有效，线性规划(P)有最优解 0、0，并且满足条件 Vp=0T Y0=1，00，0 0 而 0T X0=1，故 0T X0=0T Y0。于是，点(X0,Y0)在超平面上。并且超平面 上的其它点(X,Y)所表示的决策单元也是 DEA 有效的，因此，可以利用在相对有效面上“投影”的方法，改进非 DEA

15、 有效的决策单元。定义7.4 设 0、s0-、s0+、0 是线性规划问题（D）的最优解。令 称 为决策单元 k0 对应的(X0,Y0)在 DEA 相对有效面 上的投影。构成了一个新的决策单元，它是否DEA 有效，有下面的定理。第13页/共30页第十四页，共30页。15 定 理(dngl)7.5 设是决策单元 k0 对应的(X0,Y0)在 DEA 相对(xingdu)有效面 上的投影，则 新 决 策(juc)单元 相对于原来的n个决策单元来说，是DEA 有效的。新决策单元给出了一个改进非DEA有效决策单元的方法，亦即构造新的DEA有效决策单元的方法。【例7-3】设有4个决策单元，2个投入指标和1

16、个产出指标的评价系统，其数据如下图。对非DEA有效的决策单元，求出它在DEA相对有效面上的“投影”，并判定新决策单元的 DEA 有效性。1234决策单元投入113342313211211产出 解：决策单元 1，2，3 均为DEA 有效，决策单元4为非DEA 有效，决策单元 4 对应的 线性规划（D）的最优解为 0=(0,3/5,1/5,0)T，S10-=S20-=S10+=0，0=3/5，令 则新决策单元是决策单元 4 对应的(X0,Y0)在 DEA 相对有效面 上的投影，它(作为第 5 个决策单元)与原来的 4 个决策单元构成新的评价系统，如下图：第14页/共30页第十五页，共30页。161

17、2345 决策单元投入1133412/5231326/511211 1 产出 对应(duyng)的线性规划模型（D）为（D）：Max VD=-0.000001(s-1+s-2+s+1)s.t.1+32+33+44+(12/5)5+s-1=(12/5)31+2+33+24+(6/5)5+s-2=(6/5)1+2+23+4+5 s+1=1 1,2,3,4,5,s-1,s-2 s+1 0利用单纯形法求解，得到(d do)最优解 0=(0,3/5,1/5,0,0)T，S10-=S20-=S10+=0，0=1因此，新决策单元5是DEA有效的。由此例看出，在评价系统中决策单元4非DEA 有效，用“投影”方

18、法构造(guzo)了在DEA相对 有效面上的新决策单元5。并且分析决策单元4非DEA 有效的原因是：投入指标量过大，经过改进，只需要原投入量的3/5，因为决策单元4原投入量为(4，2)T，改进后应为(12/5，6/5)T，后者为前者的3/5，产出量不变，相对效率提高，即可转化为DEA 有效的决策单元。第15页/共30页第十六页，共30页。17 7.2 DEA有效性的经济意义 一、生产函数和生产可能集 1.生产函数 y=f(x)：在单投入(tur)和单产出的情况下，生产函数(一般是增函数)表示理想的生产 状态，即投入(tur)x所能获得的最大产出y。因此，生产函数曲线上的点(x,y)所对应的决策

19、单元，从生产函数的角度看，是处于技术有效状态,生产函数图形如下图，A、C处于技术有效状态。点A将曲线分为两部分，在点A之左，y0，y0，曲线是下凸的在生产函数的下凸区间，表示(biosh)增加投入量可以使产出量的递增速度增加，此时称为规模收益递增，厂商有投资的积极性；在点A之右，y0，y0，曲线是上凸的，在此区间，增加投入量只能使产出量增加的速度减 小，此时称为规模收益递减，厂商己经没有增加投资的积极性。点A是生产函数曲线的拐点，点A所对应的决策单元，既是技术有效，也是规模有效。这是因为该决策单元减少投入量或增加投入量，都不是最佳生产规模。点C在生产函数曲线上，对应的决策单元技术有效，但不是规

20、模有效。这是由于点C位于(wiy)规模收益递减区间。点B不在生产函数曲线之上，并位于(wiy)规模收益递减区域，点B所对应的决策单元既不是技术 有效，也不是规模有效。B(4,1)oyxC(5,3.5)A(2,2)y=f(x)第16页/共30页第十七页，共30页。18 2.生产可能集 所有可能的生产活动构成的集合，记作 T=(X,Y)|产出Y可由投入X生产出来 由于(Xk,Yk)是决策单元k的生产活动，于是有(Xk,Yk)T，k=1,2,n 在C2R模型中，生产可能集应该(ynggi)满足下面的四条公理：公理7.1(凸性)对于任意(X1,Y1)T、(X2,Y2)T，以及(yj)任意0,1，均有

21、(X1,Y1)+(1-)(X2,Y2)=(X1+(1-)X2，Y1+(1-)Y2)T 即是说,如果 X1,X2 分别以,1-加权和作为投入量，则 Y1,Y2以同样的加权和作为产出量。公理7.2(锥性)对于(duy)任意(X,Y)T，以及任意数 0，均有 (X,Y)=(X,Y)T 即是说，如果以 X 的 倍作为投入量，则产出量是 Y 的同样倍数。公理7.3(无效性)对于任意(X,Y)T，若 XX，则均有(X,Y)T；若 YY，则均有(X,Y)T。即是说，在原生产活动中，单方面地增加投入量或者减少产出量，生产活动总是可能的。公理7.4(最小性)生产可能集 T 是满足公理的所有集合的交集。由 n 个

22、决策单元(Xk,Yk)的生产活动所描述的生产可能集，满足公理是唯一确定的。这个生产可能集可以表示为：第17页/共30页第十八页，共30页。19【例7-4】设有单投入单产出3个决策单元的评价(pngji)系统，其数据如下图：1231245213.51 则其生产(shngchn)可能集为 第18页/共30页第十九页，共30页。20 二、模型C2R下DEA有效性的经济(jngj)意义 由于(yuy)(X0,Y0)T，即(X0,Y0)满足条件：线性规划模型（D）表示在生产可能集内，当产出Y0保持不变的情况下，尽量将投入量X0按同一比例减少(jinsho)。如果投入量X0不能按同一比例减少(jinsho

23、)，即模型（D）的最优值VD=0=1，决策单元k0同时技术有效和规模有效；如果投入量X0能按同一比例 减少(jinsho)，模型（D）最优值VD=0 1，决策单元k0不是技术有效或规模有效。第19页/共30页第二十页，共30页。21 设模型（D）的最优解为 0、s0-、s0+、0，分三种(sn zhn)情况进一步讨论：0=1，且 s0-=0、s0+=0：决策单元k0为DEA有效。其经济意义是：决策单元k0的生产活动(X0,Y0)同时为技术有效和规模有效。所谓技术有效，是指对于生产活动(X0,Y0)，从技术角度来看，资源获得了充分利用，投入要素达到最佳组合，取得了最大的产出效果，效率评价(png

24、ji)指标h0=Vp=VD=0=1。0=1，但至少有某个 si0-0 或者至少有某个 sj0+0：决策单元k0为弱DEA有效。其经济意义是：决策单元 k0 不是同时技术(jsh)有效和规模收益有效。若某个si0-0，表示第 i 种投入指标有 si0-没有充分利用；若某个sj0+0，表示第 j 种产出指标与最大产出值尚有 sj0+的不足。0 1：决策单元k0不是DEA有效。其经济意义是：决策单元 k0 的生产活动(X0,Y0)既不是技术效率最佳,也不是规模收益最佳。例如，1，模型（D）的约束条件为 这表示：得到产出量Y0，至多只需投入量0，即生产活动(X0,Y0)的投入规模过大，故不是同时为技术

25、效率最佳和规模收益最佳。第20页/共30页第二十一页，共30页。22【例7-5】设有单投入单产出3个决策单元的评价(pngji)系统(数据如下)，讨论各决策单元的DEA有效性。1231245213.51 解：决策单元 1 的线性规划(xin xn u hu)模型（D），取=10-6，为 （D）：Max VD=-0.000001(s-1+s+1)s.t.21+42+53+s-1=2 21+2+3.53 s+1=2 1,2,3,s-1,s+1 0 利用单纯形法求解，得到最优解 0=(1,0,0)T，S10-=S10+=0，0=1 因此，决策单元 1 同时技术有效和规模有效。生产活动(2，2)在图中

26、对应点A，表示同时取得(qd)最佳技术效率和最佳规模收益。B(4,1)oyxC(5,3.5)A(2,2)y=f(x)第21页/共30页第二十二页，共30页。23 决策(juc)单元 2 的线性规划模型（D），取=10-6，为 （D）：Max VD=-0.000001(s-1+s+1)s.t.21+42+53+s-1=4 21+2+3.53 s+1=1 1,2,3,s-1,s+1 0 利用单纯形法求解，得到最优解 0=(1/2,0,0)T，S10-=S10+=0，0=1/41 因此，决策(juc)单元 2 不是DEA有效。生产活动(hu dng)(4，1)在图中对应点B，既非技术有效，也非规模有

27、效。B(4,1)oyxC(5,3.5)A(2,2)y=f(x)第22页/共30页第二十三页，共30页。24 决策单元(dnyun)3 的线性规划模型（D），取=10-6，为 （D）：Max VD=-0.000001(s-1+s+1)s.t.21+42+53+s-1=5 21+2+3.53 s+1=3.5 1,2,3,s-1,s+1 0 利用单纯形法求解，得到最优解 0=(7/4,0,0)T，S10-=S10+=0，0=7/101 因此(ync)，决策单元 3 不是DEA有效。生产活动(5，3.5)在图中对应点C，该点在生产函数曲线上，仅是技术有效(yuxio)而不是规模有效(yuxio)。B(

28、4,1)oyxC(5,3.5)A(2,2)y=f(x)第23页/共30页第二十四页，共30页。25 三、生产活动(hu dng)规模收益的判定 定理(dngl)7.6 设线性规划（D）的最优解为 0、s0-、s0+、0 若 则决策(juc)单元 k0 规模收益不变；若 则决策单元 k0 规模收益递增；若 则决策单元 k0 规模收益递减。第24页/共30页第二十五页，共30页。26【例7-6】设有单投入单产(dnchn)出5个决策单元的评价系统(数据如下图)。试讨论决策单元1、3、5 的规模收益问题。12345135426 解：决策单元(dnyun)1 的线性规划模型（D），取=10-6，为 （

29、D）：Max VD=-0.000001(s-1+s+1)s.t.31+52+43+24+65+s-1=3 21+42+3+4+4.55 s+1=2 1,2,3,4,5,s-1,s+1 0 利用单纯形法求解，得到最优解 0=(0,1/2,0,0,0)T，S10-=S10+=0，0=5/61 因此(ync)，决策单元 1 非DEA有效。24114.5 1 由于 所以决策单元 1 规模收益递增。第25页/共30页第二十六页，共30页。27 决策单元(dnyun)2 的线性规划模型（D），取=10-6，为 （D）：Max VD=-0.000001(s-1+s+1)s.t.31+52+43+24+65+

30、s-1=5 21+42+3+4+4.55 s+1=4 1,2,3,4,5,s-1,s+1 0 利用单纯形法求解，得到最优解 0=(0,1,0,0,0)T，S10-=S10+=0，0=1 因此，决策单元(dnyun)2 为DEA有效。由于(yuy)所以决策单元 2 规模收益不变。决策单元 5 的线性规划模型（D），取=10-6，为 （D）：Max VD=-0.000001(s-1+s+1)s.t.31+52+43+24+65+s-1=6 21+42+3+4+4.55 s+1=4.5 1,2,3,4,5,s-1,s+1 0 利用单纯形法求解，得到最优解 0=(0,9/8,0,0,0)T，S10-=

31、S10+=0，0=15/161 因此，决策单元 5 非DEA有效。由于 所以决策单元 2 规模收益递减。同样地，可以判定决策单元 3、4 均为规模收益递增。第26页/共30页第二十七页，共30页。28 DEA方法在评价(pngji)中的应用 应用DEA 方法评价企业经济效益的步骤是：确定评价目标；建立(jinl)评价指标体系；收集和整理数据；建立(jinl)DEA 模型，计算分析；作出评价，提出决策建议。在实际应用中，计算过程均可利用DEA 软件，也可利用线性规划软件（如QSB、Lindo等）在计算机上实现。第27页/共30页第二十八页，共30页。29 评价结果表明，大型企业组经济效益好的比例

32、远远超过中型企业组，这是因为大型企业的设备条件、技术进步和管理水平均优于中型企业的缘故。为提高企业的经济效益，还可以对各个企业进行评价分析，找到改善(gishn)经营管理，提高经济效益的途径。利用DEA方法，评价棉纺织企业的经济效益。评价对象(duxing)是纺织部门所属177个大中型企业，每个企业作为一个决策单元。根据产出规模，将这些企业分为大型企业组和中型企业组分别 进行评价。经过多次筛选和研究，确定评价系统的投入和产出指标。产出指标是：销售收入(百万元);利税总额(百万元);工业总产值(百万元);工业净产值(百万元)。投入指标是：年流动资金平均余额(百万元);年固定资产净值平均余额(百万

33、元);工业生产能耗(折标准煤，千吨);年职工平均人数(百人);产品销售成本(百万元);生产用固定资产原值(百万元)。第28页/共30页第二十九页，共30页。30 案例 某卫生局下属四个医院相对有效性评价(一、二、三、四医院)。一、投入(投入要素)指标：非医务人员员工数;开支费用;可用的病床-天数量 二、产出指标：医护监护(jinh)下的病人-天数;非医护监护(jinh)下的病人-天数;培训的护士量;培训的见习医生数量。三、投入产出指标数据：一医院一医院二医院二医院三医院三医院四医院四医院投投入入指指标标(1)(2)(3)285.20123.80106.72162.30128.7064.21275.70348.50104.10210.40154.10104.04 产产 出出指指标标(1)(2)(3)(4)48.1443.102534134.6227.111482736.7245.981752336.1656.4616084第29页/共30页第三十页，共30页。