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1、会计学1数理方程与特殊数理方程与特殊(tsh)函数杨春函数杨春22第一页，共39页。2本次课主要(zhyo)内容平面特殊区域(qy)狄氏格林函数(一)、上半平面(pngmin)狄氏问题Green函数(二)、圆域上狄氏问题 Green函数(三)、第一象限上狄氏问题 Green函数(四)、上半圆域上狄氏问题格林函数第1页/共39页第二页，共39页。3狄氏问题解的积分(jfn)表达式回顾1、三维情形(qng xing)：积分(jfn)表达式为：第2页/共39页第三页，共39页。41、二维情形(qng xing)：积分(jfn)表达式为：第3页/共39页第四页，共39页。5静电势公式(gngsh)1、
2、三维空间(kngjin)中，电量为+q的位置在M0的正点电荷在空间(kngjin)M 处产生的电势为：2、三维空间中，电荷密度(md)为+q的位置在M0的无限长杆在空间 M处产生的电势为：第4页/共39页第五页，共39页。6(一)、上半平面狄氏问题(wnt)的Green函数 问题相当于无限(wxin)长接地导线(x轴)上方的电势。MM0M1xyo第5页/共39页第六页，共39页。7所以(suy)：分析：由镜像法：格林函数 G(M,M0)等于(dngy)在(x0,-y0)处置一电量为-0的点电荷在M处产生的电势与 M0处电量为0的正点电荷在M处产生的电势的叠加。并且(bngqi)有：第6页/共3
3、9页第七页，共39页。8即：例1、求上半平面(pngmin)上泊松与拉氏方程狄氏解 解：由公式(gngsh)：得泊松方程(fngchng)狄氏解为：第7页/共39页第八页，共39页。9拉氏方程(fngchng)狄氏解为：例2、求上半平面(pngmin)上拉氏方程狄氏解，边界条件为：解：由公式(gngsh)：第8页/共39页第九页，共39页。10第9页/共39页第十页，共39页。11(二)、圆域上狄氏问题(wnt)的Green函数 圆域上狄氏问题(wnt)Green函数满足的定解问题(wnt)为 分析：圆域上狄氏问题Green函数(hnsh)G(M,M0)相当于圆内M0处放置电量为0的正点电荷，
4、而圆周接地的电势。MM0OM1其中：第10页/共39页第十一页，共39页。12仿照(fngzho)球形域格林函数求法：延长 OM0至M1,使r1=R2/r0.但是(dnsh)：(可证明：OM0MOMM1)在M0处置一电荷密度为 0的无限(wxin)长细杆，M1处置一电荷密度为-0的无限(wxin)长细杆，两线在 M处产生的平面电势为:所以，格林函数应该为：MM0OM1第11页/共39页第十二页，共39页。13解：因为(yn wi)：例3、求圆域上泊松与拉氏方程(fngchng)狄氏解。所以(suy)：所以，狄氏解为：第12页/共39页第十三页，共39页。14所以(suy)：由于(yuy)：所以
5、(suy)，在极坐标系下，有：从而，在极坐标下，圆域上泊松方程狄氏解为：在极坐标下，圆域上拉氏方程狄氏解为：第13页/共39页第十四页，共39页。15例4、求圆域上拉氏方程(fngchng)狄氏解。(1)、解法(ji f)1:(格林函数法)(2)、选极坐标系，设圆内M0(r0,0),则：第14页/共39页第十五页，共39页。16令：则：(a)采用(ciyng)留数计算上面积分*于是(ysh)得：令：第15页/共39页第十六页，共39页。17复积分(jfn)的留数定理 定理：设函数f(z)在回路L所围成的区域B上除有限个孤立(gl)奇点b1,b2,bn外解析,在L围成的闭区域上除这些奇点外连续，
6、则：特别(tbi)地，当奇点为极点时有：其中m是极点bi的阶数。第16页/共39页第十七页，共39页。18于是(ysh)：所以(suy)，(1)的解为：第17页/共39页第十八页，共39页。19一个常见函数(hnsh)的傅立叶级数展开(b)采用(ciyng)级数展开法计算积分*将如下函数(hnsh)展开为傅立叶级数：令：，那么：第18页/共39页第十九页，共39页。20所以函数展开(zhn ki)为傅立叶级数为：第19页/共39页第二十页，共39页。21于是(ysh)得：所以(suy)：第20页/共39页第二十一页，共39页。22当 时：第21页/共39页第二十二页，共39页。23而：所以(s
7、uy)，有：第22页/共39页第二十三页，共39页。241、分离(fnl)变量：代入方程(fngchng)得：整理(zhngl)后可令比值为：解法2:(分离变量法)第23页/共39页第二十四页，共39页。25得两个常微分方程(wi fn fn chn)如下：2、求解(qi ji)固有值问题第24页/共39页第二十五页，共39页。26(1)0时，令=2 得：结合周期条件(tiojin)，只能取正整数。于是得固有值：固有(gyu)函数为：第25页/共39页第二十六页，共39页。273、求欧拉方程(fngchng)的解(1)、对应(duyng)于0=0的解为：由有限性得：D=0,于是(ysh)有：第
8、26页/共39页第二十七页，共39页。28(2)、对应(duyng)于n=n2(n=1,2.)作变换(binhun)：=et 得：由有限性得：Dn=0,于是(ysh)有：第27页/共39页第二十八页，共39页。294、求定解一般(ybn)解为：由边界条件(1)得：第28页/共39页第二十九页，共39页。30所以(suy)，比较系数得：所以(suy)，(1)的解为：由边界条件(2)得：所以(suy)，比较系数得：所以，(2)的解为：第29页/共39页第三十页，共39页。31(三)、第一象限上狄氏问题(wnt)的Green函数 由镜像法：可确定(qudng)M0 的像点M1,M2,M3.MM0M2
9、(-0)xyoM3(0)M1(-0)第30页/共39页第三十一页，共39页。32第一(dy)象限上狄氏问题的 Green函数为：例5、求第一(dy)象限上拉氏方程狄氏解。解：假定(jidng)定解问题为：第31页/共39页第三十二页，共39页。33由于(yuy)其中(qzhng)：对于(duy)L1:对于L2:第32页/共39页第三十三页，共39页。34对于(duy)L2:第33页/共39页第三十四页，共39页。35所以(suy)，拉氏解为：(四)、上半圆(bnyun)域上狄氏问题格林函数格林函数满足(mnz)的定解问题为：第34页/共39页第三十五页，共39页。36M0M1M1M0Mxy设想
10、在 放置(fngzh)电量为0的电荷(1)对于 在 放置(fngzh)电量为-0的电荷，则能够使边界条件(3)满足，但不能使(2)满足。(2)若要同时使(2)满足，对于圆周(yunzhu)边界来说，M0的对称点为：第35页/共39页第三十六页，共39页。37在M1放置电量(dinling)为 的电荷对于(duy)M1的对称点为：置电量(dinling)为 的电荷四个电荷的叠加满足边界条件，所以得到格林函数：第36页/共39页第三十七页，共39页。38作业(zuy)P155习题(xt)6.5第1，2题第37页/共39页第三十八页，共39页。39Thank You!第38页/共39页第三十九页，共39页。