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1、会计学1数学分析反常积分数学分析反常积分(jfn)习题解答习题解答第一页，共25页。一一.无穷无穷(wqing)(wqing)限积分收敛的限积分收敛的CauchyCauchy准则准则:定定 理理 8.2.1 (Cauchy收收 敛敛(shulin)原则原则)反常积分反常积分 收敛收敛第1页/共25页第二页，共25页。绝对绝对(judu)收敛收敛 收敛而不绝对(judu)收敛的无穷积分为条件收敛.绝对(judu)收敛收敛，反之不成立 第2页/共25页第三页，共25页。反例反例第3页/共25页第四页，共25页。二二非负函数无穷非负函数无穷(wqing)积分判敛法积分判敛法:第4页/共25页第五页，
2、共25页。比较比较(bjio)判别法判别法第5页/共25页第六页，共25页。比较判敛法的极限比较判敛法的极限(jxin)(jxin)形式形式:推论推论(比较判敛法的极限形式比较判敛法的极限形式)设在区间设在区间 上函数上函数则则同敛散同敛散:第6页/共25页第七页，共25页。Cauchy判敛法判敛法:在比较判敛法中在比较判敛法中,以以 为比较对象为比较对象,即取即取则得到以下的则得到以下的 Cauchy判敛法判敛法.以下取以下取 a 0.a 0.第7页/共25页第八页，共25页。定理定理8.2.3(Cauchy判敛法判敛法)设设在在上恒有上恒有为正常数为正常数.(1)若若(2)若若 第8页/共
3、25页第九页，共25页。例例 讨论讨论(toln)(toln)的敛散性.第9页/共25页第十页，共25页。推论推论(Cauchy判敛法的极限形式判敛法的极限形式)设是在设是在 上恒有上恒有且且 则则(1)(2)Cauchy判敛法的极限判敛法的极限(jxin)形式形式:第10页/共25页第十一页，共25页。第11页/共25页第十二页，共25页。例例讨论积分讨论积分 的敛散性的敛散性.第12页/共25页第十三页，共25页。比较判别法是对所给的被积函数做适当(shdng)的放大(如果预判为收敛)或缩小(如果预判为发散)将不易判别的函数转化成易于判定(pndng)敛散性的函数甚至是已知敛散性的函数 所
4、谓适当，即是放大后的无穷积分应为收敛(shulin)的，而缩小后的无穷积分应为发散的 对于简单的函数进行适当的放大或缩小是可能的，但若被积函数比较复杂,则要适当放缩就不易了，可用极限形式的判别法第13页/共25页第十四页，共25页。三三.一般函数反常积分一般函数反常积分(jfn)的收敛判敛法的收敛判敛法:定理定理8.2.4(积分第二中值定理积分第二中值定理)设函数设函数f(x)在区间在区间a,b上可积上可积,g(x)在在a,b上单调上单调.则则使使证证只就函数只就函数(hnsh)f(x)在区间在区间a,b上连续上连续,g(x)在在a,b上可导上可导的特殊情况施证的特殊情况施证.第14页/共25
5、页第十五页，共25页。若若g(x)在在a,b上单调增加上单调增加,且且则则使使若若g(x)在在a,b单调减少单调减少,且且则则使使 积分积分(jfn)第二中值定理的特例第二中值定理的特例:第15页/共25页第十六页，共25页。Abel 判别法判别法:设积分设积分 收敛收敛 ,g(x)在在a,b上上单调有界单调有界,则积分则积分收敛收敛.Dirichlet 判别法判别法:设设 在区间在区间 上有界上有界,g(x)在在a,b上上单调有界且单调有界且 ,则积分则积分收敛收敛.Abel 判别法和判别法和Dirichlet 判敛法统判敛法统(ftng)称为称为 AD 判别法。判别法。定理(dngl)第1
6、6页/共25页第十七页，共25页。例例 讨论积分讨论积分 的敛散性的敛散性.例例讨论积分讨论积分 的敛散性的敛散性.第17页/共25页第十八页，共25页。四四.无界函数反常积分无界函数反常积分(jfn)(jfn)收敛判敛法收敛判敛法:无穷区间反常积分的结论都可以平行地用于无界函数的反无穷区间反常积分的结论都可以平行地用于无界函数的反常积分常积分.以只有一个奇点以只有一个奇点 为例为例,列出相应的结果如下列出相应的结果如下:定理定理8.2.1(Cauchy收敛原则收敛原则)反常积分反常积分 收敛收敛第18页/共25页第十九页，共25页。定理定理8.2.3(8.2.3(Cauchy判敛法判敛法)设
7、在设在a,b)a,b)上有上有 若当若当x x 属于属于b b 的某个左邻的某个左邻域域 时时,存在正常数存在正常数 K,K,使使 (1)若若(2)若若 第19页/共25页第二十页，共25页。推论推论(Cauchy判敛法的极限形式判敛法的极限形式)设在设在 上恒有上恒有且且 则则(1)(2)第20页/共25页第二十一页，共25页。定理定理 8.2.58.2.5 (1)Abel 判别法判别法:设积分设积分 收敛收敛,g(x)在在a,b上上单调有界单调有界,则积分则积分收敛收敛.Dirichlet 判别法判别法:设设 在区间在区间 上有界上有界,g(x)在在a,b)上上单调有界且单调有界且 ,则积分则积分收敛收敛.第21页/共25页第二十二页，共25页。例例 讨论积分 的敛散性.例例 证明积分 当 时收敛.第22页/共25页第二十三页，共25页。例：讨论(toln)反常积分 的敛散性：第23页/共25页第二十四页，共25页。第24页/共25页第二十五页，共25页。