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1、实际问题与一元二次方程实际问题与一元二次方程2时时1.1.列方程解应用题有哪些步骤列方程解应用题有哪些步骤?2.2.直角三角形的面积公式是什么？一般直角三角形的面积公式是什么？一般三角形的面积公式是什么呢？三角形的面积公式是什么呢？3.3.正方形的面积公式是什么呢？长方形正方形的面积公式是什么呢？长方形的面积公式又是什么？的面积公式又是什么？4.4.梯形的面积公式是什么？梯形的面积公式是什么？5.5.菱形的面积公式是什么？菱形的面积公式是什么？6.6.平行四边形的面积公式是什么？平行四边形的面积公式是什么？7.7.圆的面积公式是什么？圆的面积公式是什么？第1页/共28页要设计一本书的封面要设计
2、一本书的封面,封面长封面长2727,宽宽2121,正中央是一个与整个封面长宽比例正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形相同的矩形,如果要使四周的边衬所占如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一面积是封面面积的四分之一,上、下边上、下边衬等宽衬等宽,左、右边衬等宽左、右边衬等宽,应如何设计四应如何设计四周边衬的宽度周边衬的宽度?【解析解析】这本书的长宽之比是这本书的长宽之比是9:7,9:7,依题知依题知正中央的矩形两边之比也为正中央的矩形两边之比也为9:7.9:7.合作探究合作探究第2页/共28页 解法一解法一:设正中央的矩形两边分别为设正中央的矩形两边分别为9xcm,7xcm9xcm,
3、7xcm 依题意得依题意得解得解得 左、右边衬的宽度为左、右边衬的宽度为:故上、下边衬的宽度为故上、下边衬的宽度为:第3页/共28页解方程得解方程得(以下请自己完成以下请自己完成)方程的哪个根合乎实方程的哪个根合乎实际意义际意义?为什么为什么?解法二解法二:设上下边衬的宽为设上下边衬的宽为9xcm9xcm，左右边衬，左右边衬宽为宽为7xcm,7xcm,依题意得依题意得第4页/共28页典型例题典型例题例例1.1.如图，某中学为方便师生活动，准备如图，某中学为方便师生活动，准备在长在长30 30 m m，宽，宽20 m20 m的矩形草坪上修两横两的矩形草坪上修两横两纵四条小路，横纵路的宽度之比为纵
4、四条小路，横纵路的宽度之比为3232，若使余下的草坪面积是原来草坪面积的四分若使余下的草坪面积是原来草坪面积的四分之三，则路宽应为多少？之三，则路宽应为多少？第5页/共28页【总结提升总结提升】图形面积的转化图形面积的转化 平移转化是列一元二次方程解决面积类应用题常用的平移转化是列一元二次方程解决面积类应用题常用的方法，其核心思想是将不在一起的几块图形通过平移转化方法，其核心思想是将不在一起的几块图形通过平移转化为一块规则的图形，通过面积列出一元二次方程为一块规则的图形，通过面积列出一元二次方程.如图如图(1)(1)所示的矩形所示的矩形ABCDABCD长为长为b,b,宽为宽为a,a,阴影道路的
5、宽为阴影道路的宽为x,x,则则4 4块空块空白部分面积的和可以转化为白部分面积的和可以转化为(a-x)(b-x)(a-x)(b-x)，如图，如图(2).(2).第6页/共28页数字问题数字问题例例2.2.有一个两位数，它的十位数字比个位有一个两位数，它的十位数字比个位数字小数字小2 2，十位上的数字与个位上的数字的，十位上的数字与个位上的数字的积的积的3 3倍刚好等于这个两位数，求这个两位倍刚好等于这个两位数，求这个两位数数.第7页/共28页【解题探究解题探究】1.1.若设十位数字为若设十位数字为x x，则个位数字为，则个位数字为多少？这个两位数怎样表示？多少？这个两位数怎样表示？提示：提示：
6、若设十位数字为若设十位数字为x x，根据十位数字比个位数，根据十位数字比个位数字小字小2 2得个位数字为得个位数字为x+2.x+2.这个两位数可表示为这个两位数可表示为10 x+x+2.10 x+x+2.2.2.根据题意可得到什么方程？根据题意可得到什么方程？提示：提示：根据题意得根据题意得3x(x+2)=10 x+x+2.3x(x+2)=10 x+x+2.第8页/共28页【总结提升总结提升】数字、数位及数的表示数字、数位及数的表示(1)(1)一个两位数，十位数字为一个两位数，十位数字为a a，个位数字为，个位数字为b,b,则则十位上的数字十位上的数字a a表示表示a a个十，即个十，即10a
7、10a，个位上的数字，个位上的数字b b表示表示b b个个1 1，即，即b,b,所以这个两位数是所以这个两位数是10a+b.10a+b.(2)(2)三个连续整数，设中间的一个为三个连续整数，设中间的一个为x x，则其余两，则其余两个为个为x-1x-1，x+1x+1；三个连续偶数可设为；三个连续偶数可设为2x-22x-2，2x2x，2x+22x+2；三个连续奇数可设为；三个连续奇数可设为2x-32x-3，2x-12x-1，2x+1.2x+1.第9页/共28页第10页/共28页1.1.如图是宽为如图是宽为2020米米,长为长为3232米的矩形耕地米的矩形耕地,要修筑要修筑同样宽的三条道路同样宽的三
8、条道路(两条纵向两条纵向,一条横向一条横向,且互相且互相垂直垂直),),把耕地分成六块大小相等的试验地把耕地分成六块大小相等的试验地,要使要使试验地的面积为试验地的面积为570570平方米平方米,问问:道路宽为多少米道路宽为多少米?拓展提升拓展提升第11页/共28页【解析解析】设道路宽为设道路宽为x x米，米，化简得，化简得，其中的其中的 x=35x=35超出了原矩形的宽，应舍去超出了原矩形的宽，应舍去.答答:道路的宽为道路的宽为1 1米米.则则第12页/共28页2.2.如图，有长为如图，有长为2424米的篱笆，一面利用墙米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度（墙的最大可用长度a a为为101
9、0米），围成中间隔米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃有一道篱笆的长方形花圃.设花圃的宽设花圃的宽ABAB为为x x米，米，面积为面积为S S米米2 2，（1 1）求）求S S与与x x的函数关系式的函数关系式;（2 2）如果要围成面积为）如果要围成面积为4545米米2 2的花圃，的花圃，ABAB的长的长是多少米？是多少米？第13页/共28页【解析解析】(1)(1)设宽设宽ABAB为为x x米，米，则则BCBC为为(24-3x)(24-3x)米，这时面积米，这时面积S=x(24-3x)=-3xS=x(24-3x)=-3x2 2+24x+24x(2)(2)由由(1)(1)可知，可知，-3x-3
10、x2 2+24x=45+24x=45化为：化为：x x2 2-8x+15=0-8x+15=0解得解得x x1 1=5=5，x x2 2=3=30024-3x1024-3x10得得 x x8 8xx2 2=3=3不不合合题题意意，AB=5AB=5，即即花花圃圃的的宽宽ABAB为为5 5米米第14页/共28页中考链接中考链接(2012(2012青岛中考青岛中考)如图，在一块长为如图，在一块长为2222米，宽为米，宽为1717米的矩形地面上，要修建同样宽的两米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路条互相垂直的道路(两条道路各与矩形的一条边两条道路各与矩形的一条边平行平行)，剩余部分种上草坪，
11、使草坪面积为，剩余部分种上草坪，使草坪面积为300300平平方米若设道路宽为方米若设道路宽为x x米，则根据题意可列方程米，则根据题意可列方程为为_第15页/共28页 (打打“”或或“”)1 1、矩形的面积、矩形的面积=长长宽；菱形的面积宽；菱形的面积=对角线乘积的一半对角线乘积的一半.2 2、若一个数和它的一半的平方和等于、若一个数和它的一半的平方和等于5 5，则这个数是，则这个数是2 2或或-2.-2.3 3、如图，邻边不等的矩形花圃、如图，邻边不等的矩形花圃ABCDABCD，它的一边，它的一边ADAD利用已利用已有的围墙，另外三边所围的栅栏的总长度是有的围墙，另外三边所围的栅栏的总长度是
12、6 m6 m若矩形若矩形的面积为的面积为4 m4 m2 2，则，则ABAB的长度是的长度是1 m1 m或或2 m.()2 m.()当堂达标第16页/共28页1.1.列一元二次方程解应用题的步骤与列一元一次方程解列一元二次方程解应用题的步骤与列一元一次方程解应用题的步骤类似，即审、设、列、解、检、答应用题的步骤类似，即审、设、列、解、检、答.2.2.这里要特别注意这里要特别注意:在列一元二次方程解应用题时，由于在列一元二次方程解应用题时，由于所得的根一般有两个，所以要检验这两个根是否都符所得的根一般有两个，所以要检验这两个根是否都符合实际问题的要求合实际问题的要求.通过本课时的学习，需要我们掌握
13、：通过本课时的学习，需要我们掌握：第17页/共28页1 1用用20cm20cm长的铁丝能否折成面积为长的铁丝能否折成面积为30cm30cm2 2的矩形的矩形,若若能够能够,求它的长与宽求它的长与宽;若不能若不能,请说明理由请说明理由.【解析解析】设这个矩形的长为设这个矩形的长为xcm,xcm,则宽为则宽为 cmcm,即即x x2 2-10 x+30=0-10 x+30=0这里这里a=1,b=a=1,b=10,c=30,10,c=30,此方程无解此方程无解.用用20cm20cm长的铁丝不能折成面积为长的铁丝不能折成面积为30cm30cm2 2的矩形的矩形.【补偿练习补偿练习】第18页/共28页2
14、.2.某校为了美化校园某校为了美化校园,准备在一块长准备在一块长3232米米,宽宽2020米的长方米的长方形场地上修筑若干条宽度相同的道路形场地上修筑若干条宽度相同的道路,余下部分作草坪余下部分作草坪,并请全校同学参与设计并请全校同学参与设计,现在有两位学生各设计了一种方现在有两位学生各设计了一种方案案(如图如图),),根据两种设计方案各列出方程根据两种设计方案各列出方程,求图中道路的求图中道路的宽分别是多少宽分别是多少?使图使图(1),(2)(1),(2)的草坪面积为的草坪面积为540540米米2 2.(1)(1)(2)(2)第19页/共28页【解析解析】（1)1)如图，设道路的宽为如图，设
15、道路的宽为x x米，米，则则化简得，化简得，其中的其中的 x=25x=25超出了原矩形的宽，应舍去超出了原矩形的宽，应舍去.图图(1)(1)中道路的宽为中道路的宽为1 1米米.(1)(1)第20页/共28页则横向的路面面积为则横向的路面面积为 （2）解析：）解析：此题的相等关系是矩此题的相等关系是矩形面积减去道路面积等于形面积减去道路面积等于540540米米2 2.解法一、解法一、如图，设道路的宽为如图，设道路的宽为x x米，米，32x 32x 米米2 2,纵向的路面面积为纵向的路面面积为 20 x 20 x 米米2 2.注意：这两个面积的重叠部分是注意：这两个面积的重叠部分是x x2 2,所
16、列的方程是不是所列的方程是不是？图中的道路面积不是图中的道路面积不是米米2 2.(2)(2)第21页/共28页而是从其中减去重叠部分，即应是而是从其中减去重叠部分，即应是m m2 2所以正确的方程是：所以正确的方程是：化简得，化简得，其中的其中的 x=50 x=50超出了原矩形的长和宽，应舍去超出了原矩形的长和宽，应舍去.取取x=2x=2时，时，道路总面积为：道路总面积为：草坪面积为草坪面积为3220-100=540 3220-100=540（米（米2 2）答：所求道路的宽为答：所求道路的宽为2 2米米.第22页/共28页解法二：解法二：我们利用我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改图形经
17、过移动，它的面积大小不会改变变”的道理，把纵、横两条路移动一下，使列方程容的道理，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些（目的是求出路面的宽，至于实际施工，仍可按易些（目的是求出路面的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）原图的位置修路）第23页/共28页横向路面横向路面:如图，设路宽为如图，设路宽为x x米，米，32x32x米米2纵向路面面积为纵向路面面积为:2020 x米米2草坪矩形的长（横向）为草坪矩形的长（横向）为:草坪矩形的宽（纵向草坪矩形的宽（纵向:）为：）为：相等关系是：草坪长相等关系是：草坪长草坪宽草坪宽=540=540米米2 2(20-x)(20-x)米米（32-x)32-
18、x)米米即即化简得：化简得：再往下的计算、格式书写与解法一相同再往下的计算、格式书写与解法一相同.(2)(2)第24页/共28页2.2.如图如图,长方形长方形ABCD,AB=15m,BC=20m,ABCD,AB=15m,BC=20m,四周外围环绕四周外围环绕着宽度相等的小路着宽度相等的小路,已知小路的面积为已知小路的面积为246m246m2 2,求小求小路的宽度路的宽度.A AB BC CD D第25页/共28页化简得，化简得，答答:小路的宽为小路的宽为3 m.3 m.【解析解析】设小路宽为设小路宽为x mx m，则则第26页/共28页 时间是个常数，但对勤奋者来说，是个“变数”.用“分”来计算时间的人比用“小时”来计算时间的人时间多59倍.雷巴柯夫 第27页/共28页