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1、17世纪是天才世纪,诞生了解析几何、微积分，告别了初等数学时期；18世纪是发明的世纪，数学分析严格化，代数抽象化。直到18世纪末，几何领域仍然是欧几里得一统天下。解析几何改变了几何研究的方法，但没有从实质上改变欧几里得几何本身的内容。解析方法的运用虽然在相当长的时间内冲淡了人们对综合几何的兴趣，但欧几里得几何作为数学严格性的典范始终保持着神圣的地位。第1页/共20页对平行公设的疑惑从公元前3世纪到18世纪末，数学家们始终没有放弃对平行公设的疑惑。第五公设和前四个公设比较起来，显得文字叙述冗长，而且也不那么显而易见。欧几里得在几何原本一书中直到第二十九个命题中才用到，而且以后再也没有使用。第五公
2、设能不能不作为公设，而作为定理？能不能依靠前四个公设来证明第五公设？“同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在某一侧的两个内角的和小于二直角的和，则这二直线经无限延长后在这一侧相交。”第2页/共20页欧氏几何的家丑从公元前3世纪到18世纪，证明第五公设的努力始终没有中断。但每一种“证明”要么隐含了另一个与第五公设等价的假定，要么存在其它形式的推理错误。而且，这类工作中的大多数对数学思想的进展没有多大现实意义。平行公设是欧氏几何的家丑。达朗贝尔第3页/共20页有意义的进展意大利数学家萨凯里（G.Saccheri）在欧几里得无懈可击（1733）一书中，从著名的“萨凯里四边形”出发来证明平行公设。萨
3、凯里四边形萨凯里四边形锐角？直角？钝角？锐角？直角？钝角？z萨凯里在假定直线为无限长的情况下，首先由钝角假设推出了矛盾，然后考虑锐角假设，在这一过程中获得了一系列新奇的结论：如三角形内角和小于两直角；过直线外一点有无数条直线与已知直线平行等。萨凯里认为它们太不合情理，便以为自己导出了矛盾而判断锐角假设是不真实的。而直角假设则是与平行公设等价的。第4页/共20页兰伯特四边形兰伯特四边形锐角？直角？钝角？锐角？直角？钝角？1763年,克吕格尔在其博士论文中首先指出萨凯里的工作实际上并未导出矛盾,只是得到了似乎与经验不符的结论.开始怀疑平行公设能否由其他公理加以证明.1766年，兰伯特发表平行线理论
4、。兰伯特并不认为锐角假设导出的结论是矛盾，而且他认识到一组假设如果不引起矛盾的话，就提供了一种可能的几何。因此，兰伯特最先指出了通过替换平行公设而展开新的无矛盾的几何学的道路。第5页/共20页高斯建立非欧几何最先认识到非欧几何是一种逻辑上相容、而且可以用来描述物质空间的是高斯。他从1799年开始意识到平行公设不能从其它公设推导出来，并从1813年起建立了一种使第五公设在其中不成立的新几何学。他起先称之为“反欧几里得几何”，最后改称为“非欧几里得几何”。然而由于担心世俗的攻击，他决定将自己的发现秘而不宣。第6页/共20页波尔约绝对空间的科学非欧几何的另一位创始人是匈牙利的青年数学家波尔约1823
5、年11月3日，经过不懈努力，得出了非欧几何的基本原理。他高兴地写信告诉父亲：“我已从乌有中创造了另一个新奇的世界”。1832年，在他的父亲的一本著作里，以附录的形式出版。z当他父亲把鲍耶的研究成果写信告诉高斯的时候，高斯感到十分吃惊，回信说：“这和我40年来沉思的结果不谋而合”鲍耶看到高斯的回信，大大刺伤了自己的自尊心，反而怀疑高斯剽窃他的成果。从此消沉下去，不再研究这一问题第7页/共20页高斯的保守，鲍耶的消沉，使非欧几何的诞生推迟了时间只有俄国数学家罗巴切夫斯基(17931856)才无愧于享有这门新学说的创建者和捍卫者的光荣称号第8页/共20页几何学中的“哥白尼”1826年在喀山大学发表了
6、简要论述平行线定理的一个严格证明的演讲，报告了自己关于非欧几何的发现。1829年发表了题为论几何原理的论文，这是历史上第一篇公开发表的非欧几何文献。1893年，在喀山大学树立起了世界上第一个为数学家雕塑的塑像。这位数学家就是俄国的伟大学者、非欧几何的重要创始人罗巴切夫斯基。第9页/共20页罗巴切夫斯基非欧几何的基本思想与高斯、波约是一致的，即用与欧几里得第五公设相反的断言：通过直线外一点，可以引不止一条而至少是两条直线与已知直线不相交。作为替代公设，由此出发进行逻辑推导而得出一连串新几何学的定理。罗巴切夫斯基明确指出，这些定理并不包含矛盾，因而它的总体就形成了一个逻辑上可能的、无矛盾的理论，这
7、个理论就是一种新的几何学-非欧几里得几何学。欧几里得几何学在这里仅成了罗巴切夫斯基几何的一个特例。第10页/共20页非欧几何的意义非欧几何是人类认识史上一个富有创造性的伟大成果，它的创立，不仅带来了近百年来数学的巨大进步，而且对现代物理学、天文学以及人类时空观念的变革都产生了深远的影响。第11页/共20页非欧几何的发展1854年，黎曼发表论文关于几何基础的假设，发展了罗巴切夫斯基等人的思想，并建立了一种更广泛的几何。即现在所称的黎曼几何。罗巴切夫斯基几何以及欧几里得几何都只不过是这种几何的特例。黎曼的研究是以高斯关于曲面的内蕴微分几何为基础的。第12页/共20页黎曼几何在黎曼几何中，最重要的一
8、种对象就是所谓的常曲率空间，对于三维空间，有以下三种情形：曲率为正常数；曲率为负常数；曲率恒等于零。黎曼指出后两种情形分别对应于罗巴切夫斯基的非欧几何学和通常的欧几里得几何学，而第一种情形则是黎曼本人的创造，它对应于另一种非欧几何学。在这种几何中，过已知直线外一点，不能作任何平行于已知直线的直线。这实际上是以前面提到的萨凯里等人的钝角假设为基础而展开的非欧几何学。黎曼可以说是最先理解非欧几何全部意义的数学家。他创立的黎曼几何不仅是对已经出现的非欧几何的承认，而且显示了创造其他非欧几何的可能性。第13页/共20页非欧几何的模型贝尔特拉米的模型：“伪球面”z庞加莱的模型第14页/共20页l综合方法
9、连续性原理对偶原理18221822年庞斯列年庞斯列(法法,1788-1867)1788-1867)的的论图论图形的射影性质形的射影性质射影几何的繁荣第15页/共20页l代数方法默比乌斯默比乌斯(德德,1790-1868),1790-1868)18271827年默比乌斯年默比乌斯(德德,1790-1868),1790-1868)的的重心计算重心计算18291829年普吕克年普吕克(德德,1801-1868),1801-1868)的三线坐标的三线坐标普吕克普吕克(德德,1801-1868),1801-1868)射影几何的繁荣第16页/共20页射影几何的繁荣l1847年施陶特(德,1798-1867
10、)的位置几何学l凯莱(英,1821-1895)在射影几何基础上重建欧氏几何和非欧几何施陶特施陶特(德德,1798-1867),1798-1867)凯莱凯莱(英英,1821-1895),1821-1895)第17页/共20页所谓几何学，就是研究几何图所谓几何学，就是研究几何图形对于某类变换群保持不变的形对于某类变换群保持不变的性质的学科，或者说任何一种性质的学科，或者说任何一种几何学只是研究与特定的变换几何学只是研究与特定的变换群有关的不变量。群有关的不变量。1872年克莱因(德,1849-1925)的爱尔朗根纲领统一的几何学第18页/共20页1899年希尔伯特几何基础n 选择和组织公理系统的原则希尔伯特(德,1862-1943)公理化方法是从公理出发来建造各种几何。希尔伯特在这方面的划时代贡献在于，他比任何前人都更加透彻地弄清了公理系统的逻辑结构与内在联系。几何学的公理化第19页/共20页感谢您的观看。第20页/共20页