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1、会计学1数学数学(shxu)物理方法第十章物理方法第十章第一页，共46页。一般一般(ybn)的球函数的球函数球函数球函数(hnsh)方程：方程：球函数球函数(hnsh)（l 称作球函数称作球函数(hnsh)的阶）：的阶）：10.1 10.1 轴对称球函数轴对称球函数2第2页/共46页第二页，共46页。轴对称拉普拉斯方程轴对称拉普拉斯方程(fngchng)的求解的求解3第3页/共46页第三页，共46页。（一）勒让德多项式（一）勒让德多项式处有限处有限(yuxin)（1 1）代数）代数(dish)(dish)表示表示则对则对约定约定(yudng)最高次幂系数最高次幂系数4第4页/共46页第四页，共
2、46页。勒让德多项式：勒让德多项式：小于、等于：小于、等于(dngy)l/2的最大整数。的最大整数。每项总含每项总含 x x唯一唯一(wi y)不含不含 x 的项的项5第5页/共46页第五页，共46页。6勒让德多项式的图象勒让德多项式的图象(t xin)(t xin)第6页/共46页第六页，共46页。7第7页/共46页第七页，共46页。(2)(2)微分微分(wi fn)(wi fn)表示（罗德里格斯公式）表示（罗德里格斯公式）证：证：8第8页/共46页第八页，共46页。(3)(3)积分积分(jfn)(jfn)表示（施列夫积分表示（施列夫积分(jfn)(jfn)）由科西公式由科西公式(gngsh
3、)C 绕绕 z=x 点点。设半径设半径(bnjng)为为C 上上9第9页/共46页第九页，共46页。即即第二类勒让德函数第二类勒让德函数(hnsh)勒让德方程勒让德方程(fngchng)的一般解的一般解由朗斯基行列式导出第二个线性独立由朗斯基行列式导出第二个线性独立(dl)解解10第10页/共46页第十页，共46页。在在x=1处均发散处均发散(fsn)本征值本征值 v=0,1,2,3,在在 x=0点邻域内，两个点邻域内，两个(lin)线性线性无关解无关解附录附录附录附录(fl)4(fl)4：对于一般的：对于一般的：对于一般的：对于一般的 v v值，两个解在值，两个解在值，两个解在值，两个解在
4、x=x=1 1 处处处处均对数发散均对数发散均对数发散均对数发散11第11页/共46页第十一页，共46页。（三）（三）正交关系正交关系（四）（四）模模习题习题(xt)9.3（5）P261在在 x=1点邻域点邻域(ln y)内，两个线性无内，两个线性无关解关解第一类勒让德函数第一类勒让德函数(hnsh)第二类勒让德函数第二类勒让德函数在在 x=1点解析点解析在在 x=1点点发散发散若还要求在若还要求在 x=-1点有界点有界，本征值本征值 v=0,1,2,3,x=1点有界点有界12第12页/共46页第十二页，共46页。第一项为零，即第一项为零，即进行进行(jnxng)l 次分步积分后次分步积分后只
5、有只有(zhyu)最高次幂才不为零，故最高次幂才不为零，故再逐次再逐次(zh c)进行分步积分，得进行分步积分，得即即13第13页/共46页第十三页，共46页。（五）广义（五）广义(gungy)傅立叶级数傅立叶级数定义定义(dngy)在区间在区间-1,1的函数的函数f(x)可以展开为广义傅立叶级数可以展开为广义傅立叶级数 展开展开(zhn ki)系数为系数为或区间或区间 0,的函数的函数 f()展开为展开为系数为系数为勒让德多项式的完备性：任意一个在区间勒让德多项式的完备性：任意一个在区间-1,1中分段连续的函数中分段连续的函数f(x)，在平均收敛意义下，可展开为级数在平均收敛意义下，可展开为
6、级数平均收敛：平均收敛：14第14页/共46页第十四页，共46页。15正交性正交性正交性应用正交性应用(yngyng)例题例题模模第15页/共46页第十五页，共46页。例例1：在在-1,1中将中将 展开为广义展开为广义(gungy)傅立叶级数。傅立叶级数。解：解：比较比较(bjio)展开式最多含三阶展开式最多含三阶(sn ji)勒让德多项式。勒让德多项式。16第16页/共46页第十六页，共46页。例例2是奇函数：是奇函数：x=1为二阶零点为二阶零点(ln din)17第17页/共46页第十七页，共46页。因因找出找出项，它在项，它在 x=0 才不为零才不为零18第18页/共46页第十八页，共4
7、6页。例例3解：解：由轴对称由轴对称球内含球内含(ni hn)所以所以(suy)（六）拉普拉斯方程（六）拉普拉斯方程(fngchng)的轴对称定解问题的轴对称定解问题边界条件与角边界条件与角 无关，可以推断无关，可以推断解也与角解也与角 无关。故无关。故m=0边界条件：边界条件：19第19页/共46页第十九页，共46页。例例 4定解问题定解问题(wnt)：偶延拓：偶延拓：或或或或20第20页/共46页第二十页，共46页。21第21页/共46页第二十一页，共46页。例例 5均匀电场中放置均匀电场中放置(fngzh)介电常数介电常数的球，求介质球内、外的电场的球，求介质球内、外的电场解：解：无穷远
8、处有边界条件，无穷远处有边界条件，球面处有衔接球面处有衔接(xinji)条件。条件。取球坐标取球坐标(zubio)，z-方向沿方向沿轴对称拉普拉斯问题轴对称拉普拉斯问题内外分别讨论，然后连接起来内外分别讨论，然后连接起来边界条件：边界条件：衔接条件：衔接条件：Internal:External:电势连续：电势连续：电位移连续：电位移连续：有限有限22第22页/共46页第二十二页，共46页。轴对称拉普拉斯方程解的一般轴对称拉普拉斯方程解的一般(ybn)形式：形式：球内球内 有限有限(yuxin)：球外球外无穷远边值：无穷远边值：23第23页/共46页第二十三页，共46页。利用衔接利用衔接(xin
9、ji)条件：条件：解得解得24第24页/共46页第二十四页，共46页。球内电场球内电场(din chng)强度：强度：25第25页/共46页第二十五页，共46页。（七）母函数（七）母函数(hnsh)定义定义(dngy)：叫勒让德多项式的母函数叫勒让德多项式的母函数(hnsh)。电荷在单位球的北极。电荷在单位球的北极。求球内任一点电势。求球内任一点电势。它又是拉普拉斯方程的内解：它又是拉普拉斯方程的内解：令令故故26第26页/共46页第二十六页，共46页。令令所以所以(suy)半径半径(bnjng)R 的球：的球：球外球外27第27页/共46页第二十七页，共46页。例例6解：解：利用利用(lyn
10、g)已知结果。已知结果。导体导体(dot)内：等势。内：等势。导体导体(dot)外：外：无导体时有导体时，设有导体时，设接地接地28第28页/共46页第二十八页，共46页。又又是是 处电荷处电荷 的电势的电势(dinsh)。这个电荷叫原电荷的镜像。这个电荷叫原电荷的镜像。是原电荷是原电荷(dinh)的电势与镜像电荷的电势与镜像电荷(dinh)的电势的叠加。的电势的叠加。29第29页/共46页第二十九页，共46页。（八）递推公式（八）递推公式(gngsh)两边两边(lingbin)对对r求导求导或或两边两边(lingbin)(lingbin)同幂同幂 的系数的系数递推递推公式公式30第30页/共
11、46页第三十页，共46页。31母函数应用母函数应用(yngyng)(yngyng)：勒让德多项式模：勒让德多项式模的计算的计算第31页/共46页第三十一页，共46页。10.2 10.2 连带连带(lindi)(lindi)勒让德函数勒让德函数（一）函数（一）函数(hnsh)设设(1)(1)表达式表达式32第32页/共46页第三十二页，共46页。(2)(2)微分微分(wi fn)(wi fn)表示表示情况情况(qngkung)：二阶微分方程至少有两个独立解，但满足特定二阶微分方程至少有两个独立解，但满足特定(tdng)边界条件的本边界条件的本征解只有一个，故这两个解只相差一个常数。征解只有一个，
12、故这两个解只相差一个常数。比较最高次幂系数比较最高次幂系数33第33页/共46页第三十三页，共46页。(3)(3)积分积分(jfn)(jfn)表示表示（二）正交关系（二）正交关系（三）模（三）模多次分步积分多次分步积分(jfn)：（四）广义（四）广义(gungy)傅立叶级数傅立叶级数34第34页/共46页第三十四页，共46页。35连带连带(lindi)(lindi)勒让德函勒让德函数数第35页/共46页第三十五页，共46页。以以 为基，再为基，再-1,1-1,1区间区间(q jin)(q jin)展开函数展开函数例例1例例236第36页/共46页第三十六页，共46页。项系数项系数(xsh)有贡
13、献有贡献项系数项系数(xsh)有贡献有贡献每项含有每项含有(hn(hn yu)xyu)x37第37页/共46页第三十七页，共46页。10.3 10.3 一般一般(ybn)(ybn)的球的球函数函数（一）（一）球函数球函数(hnsh)(hnsh)（二）正交关系（二）正交关系（三）模（三）模（四）球面（四）球面(qimin)上的广义傅立叶级数上的广义傅立叶级数38第38页/共46页第三十八页，共46页。例例1例例2注意注意(zh y)：39第39页/共46页第三十九页，共46页。例例3偶极矩的电场偶极矩的电场(din chng)中的电势中的电势解解沿x轴40第40页/共46页第四十页，共46页。沿
14、沿y轴轴沿沿z轴轴m=0沿任意沿任意(rny)方向方向(五五)拉普拉斯方程拉普拉斯方程(fngchng)(fngchng)的非轴对称解的非轴对称解例例4球内解球内解41第41页/共46页第四十一页，共46页。其余其余(qy)边界条件：边界条件：例例5球外解球外解42第42页/共46页第四十二页，共46页。四极四极(s j)矩矩取分量取分量(fn ling)：一个一个(y)偶极矩偶极矩的电势的电势两个偶极两个偶极矩的电势矩的电势偶极矩偶极矩43第43页/共46页第四十三页，共46页。一般一般(ybn)的的44第44页/共46页第四十四页，共46页。加法加法(jif)公式：公式：用一般用一般(ybn)球函球函数数展开展开(zhn ki)复数形式复数形式矢量矢量OP与与OM的标积的标积归一化球函数归一化球函数45第45页/共46页第四十五页，共46页。46感谢您的观看感谢您的观看(gunkn)！第46页/共46页第四十六页，共46页。