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1、数学物理方法第十章格林函数数学物理方法第十章格林函数法法现在学习的是第1页，共22页一、三维球对称一、三维球对称对于对于三维球对称三维球对称情形，我们选取情形，我们选取 两边在球内积分两边在球内积分 利用利用高斯定理高斯定理得到得到 现在学习的是第2页，共22页 故有故有 使上式恒成立使上式恒成立，有，有 因此因此，,故得到故得到 现在学习的是第3页，共22页对对于三于三维维无界球无界球对对称情形的格林函数可以称情形的格林函数可以选选取取为为代入代入 得到得到三三维维无界区域无界区域问题问题的解的解为为上式正是我们所熟知的静电场的电势表达式上式正是我们所熟知的静电场的电势表达式 现在学习的是第
2、4页，共22页二、二维轴对称情形二、二维轴对称情形用单位长的圆柱体来代替球积分在单位长的圆柱体内进行用单位长的圆柱体来代替球积分在单位长的圆柱体内进行，即，即因为由于由于 只是垂直于只是垂直于轴轴，且向外的分量，所以上式在，且向外的分量，所以上式在圆柱体上、下底的圆柱体上、下底的面积分为零面积分为零，只剩下沿，只剩下沿侧面的积分侧面的积分，即，即 现在学习的是第5页，共22页选取的选取的圆柱的高度圆柱的高度为单位长，则很容易得到下面的结果为单位长，则很容易得到下面的结果 令令积积分常数分常数为为0 0，得到，得到 因此二因此二维轴对维轴对称情形的格林函数称情形的格林函数为为得到得到二二维维无界
3、区域的解无界区域的解为为现在学习的是第6页，共22页10.4 10.4 用电像法确定格林函数用电像法确定格林函数用格林函数法求解的用格林函数法求解的主要困难主要困难还在于还在于如何确定格林函数本身如何确定格林函数本身 一个具体的定解问题，需要一个具体的定解问题，需要寻找一个合适的格林函数寻找一个合适的格林函数 为了求解的方便，对一些具体问题我们给出构建格林函数的方法为了求解的方便，对一些具体问题我们给出构建格林函数的方法 一、电像法定义一、电像法定义 考虑一个具体的考虑一个具体的物理模型物理模型：设在一接地导体球内的：设在一接地导体球内的 放置一个单位正电荷，求在体内的电势分布，并满足边界条件
4、为零放置一个单位正电荷，求在体内的电势分布，并满足边界条件为零 点点现在学习的是第7页，共22页对对于于第一类边值问题第一类边值问题，其格林函数可定，其格林函数可定义为义为下列定解下列定解问题问题的解的解 为了满足边界条件：电势为零，所以还得在为了满足边界条件：电势为零，所以还得在边界外像点（或对称边界外像点（或对称点）点）放置放置一个合适的负电荷，这样才能使这两个电荷在界面上产生的电一个合适的负电荷，这样才能使这两个电荷在界面上产生的电势之和为零势之和为零 这方法是基于这方法是基于静电学的镜像原理来构建格林函数静电学的镜像原理来构建格林函数，所以我们称，所以我们称这种构建方法为这种构建方法为
5、电像法（也称为镜像法）电像法（也称为镜像法）现在学习的是第8页，共22页二、二、上半平面区域第一边值问题的格林函数构建上半平面区域第一边值问题的格林函数构建拉普拉斯方程的第一边值问题求解拉普拉斯方程的第一边值问题求解物理模型物理模型：若在：若在 处放置一处放置一正单位点电荷正单位点电荷 则虚设的则虚设的负负单位点电荷单位点电荷应该在应该在 于是得到这两点于是得到这两点电荷电荷在在 xoy xoy 的上半平面的的上半平面的电位分布电位分布也就也就是本问题的格林函数，即为是本问题的格林函数，即为 现在学习的是第9页，共22页据上述据上述物理模型物理模型可求解下列定解问题可求解下列定解问题 例例1
6、1 定解问题：定解问题：解：解：根据根据第一边值问题第一边值问题，构建的格林函数满足，构建的格林函数满足 处处放置于一个正和一个放置于一个正和一个负负的点的点电电荷（或点源）荷（或点源）构构建格林函数建格林函数为为 现在学习的是第10页，共22页边边界外法界外法线线方向方向为负为负轴轴，故有，故有 代入到代入到拉普拉斯第一拉普拉斯第一边值问题边值问题解的公式，拉普拉斯方程的解的公式，拉普拉斯方程的自由自由项项,则由则由得得 现在学习的是第11页，共22页或代入拉普拉斯方程的或代入拉普拉斯方程的第一第一边值问题边值问题的解公式的解公式得到称为称为上半平面的拉普拉斯积分公式上半平面的拉普拉斯积分公
7、式现在学习的是第12页，共22页三、三、泊松方程的第一边值问题求解泊松方程的第一边值问题求解 例例2 2 定解问题：定解问题：根据第一类边值问题的解公式第一类边值问题的解公式得到 现在学习的是第13页，共22页根据根据半平面区域第一类边值问题的格林函数式半平面区域第一类边值问题的格林函数式，得到，得到 因因为边为边界上的法界上的法线为负线为负y y轴轴，故，故 得到泊松方程在得到泊松方程在半平面区域第一半平面区域第一边值问题边值问题的解的解现在学习的是第14页，共22页例例.3.3 在上半空间内求解拉普拉斯方程的内求解拉普拉斯方程的第一第一边值问题边值问题 解：构建格林函数解：构建格林函数满满
8、足足四、上半空间内求解拉普拉斯方程的第一边值问题四、上半空间内求解拉普拉斯方程的第一边值问题现在学习的是第15页，共22页根据根据物理模型和无界区域的格林函数物理模型和无界区域的格林函数可以构建为可以构建为即有 现在学习的是第16页，共22页为为了把了把代入代入拉普拉斯第一拉普拉斯第一边值问题边值问题的解的公式，的解的公式，需要先计算需要先计算即即为为 现在学习的是第17页，共22页代入即得到代入即得到 这这公式叫作公式叫作上半空间的拉普拉斯积分上半空间的拉普拉斯积分现在学习的是第18页，共22页五、五、圆形区域第一边值问题的格林函数构建圆形区域第一边值问题的格林函数构建物理模型物理模型：在圆
9、内任找一点 放置一个单位电荷圆外圆外M1放置另一个单位电荷现在学习的是第19页，共22页根据根据图图，这这两两电电荷在荷在圆圆内任一内任一观观察点察点所所产产生的生的电势电势为为当当观观察点察点位于位于圆圆周上周上时时，应该应该有有，即即满满足足第一第一类齐类齐次次边值边值条件条件,即即为为现在学习的是第20页，共22页上式上式应对应对任何任何值值成立，所以上式成立，所以上式对对的的导导数数应为应为零零，即，即即得到即得到 要求上式要求上式对对任意任意的的值值要成立，故提供了确定要成立，故提供了确定的方程的方程现在学习的是第21页，共22页 联联立解得立解得 于是于是圆圆形区域形区域的第一的第一类边值问题类边值问题的格林函数的格林函数为为即即为为 .其中其中现在学习的是第22页，共22页