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1、会计学1不定积分不定积分(jfn)换元法积分换元法积分(jfn)技巧技巧PPT课件课件第一页，共75页。问题问题(wnt)解决解决(jiju)方方法法利用复合函数，设置利用复合函数，设置(shzh)中间变量中间变量.过程过程令令一、第一类换元法一、第一类换元法第1页/共75页第二页，共75页。在一般在一般(ybn)情况下：情况下：设设则则如果如果（可微）（可微）由此可得换元法定理由此可得换元法定理(dngl)第2页/共75页第三页，共75页。第一类换元公式第一类换元公式(gngsh)（凑微分法）（凑微分法）说明说明(shumng)使用使用(shyng)此公式的关键在此公式的关键在于将于将化为化
2、为观察重点不同，所得结论不同观察重点不同，所得结论不同.定理定理1 1第3页/共75页第四页，共75页。例例1 1 求求解解（一）（一）解解（二）（二）解解（三）（三）第4页/共75页第五页，共75页。例例2 2 (1)求求解解第5页/共75页第六页，共75页。例例2 2 (2)求求解解一般一般(ybn)地地第6页/共75页第七页，共75页。例例3 3 求求解解第7页/共75页第八页，共75页。例例4 4 (1)求求解解第8页/共75页第九页，共75页。例例4(2)4(2)求求解解第9页/共75页第十页，共75页。例例5 5 求求解解第10页/共75页第十一页，共75页。例例6 6 求求解解同
3、理可得同理可得（使用了三角函数（使用了三角函数(snjihnsh)恒等变形）恒等变形）第11页/共75页第十二页，共75页。例例7 7 求求解解第12页/共75页第十三页，共75页。例例8 (1)8 (1)求求解解第13页/共75页第十四页，共75页。例例8 8 (2)求求解解第14页/共75页第十五页，共75页。例例8 8 (3)求求解解第15页/共75页第十六页，共75页。例例8 8 (4)求求解解第16页/共75页第十七页，共75页。求求由例由例8可知可知(k zh):第17页/共75页第十八页，共75页。例例9 9 求求解解第18页/共75页第十九页，共75页。例例1010 (1)求求
4、(2)求求第19页/共75页第二十页，共75页。例例1010 (1)求求解解(2)求求解解第20页/共75页第二十一页，共75页。例例11 (1)11 (1)求求(2)求求(3)求求(4)求求第21页/共75页第二十二页，共75页。例例11 (1)11 (1)求求解解第22页/共75页第二十三页，共75页。例例1111 (2)求求解解第23页/共75页第二十四页，共75页。例例1111 (3)求求解解(4)求求解解第24页/共75页第二十五页，共75页。例例1212 求求原式原式解解第25页/共75页第二十六页，共75页。例例1313 求求解解第26页/共75页第二十七页，共75页。例例141
5、4 (1)求求解解第27页/共75页第二十八页，共75页。例例1414 (2)求求解解第28页/共75页第二十九页，共75页。例例1515 (1)求求解解第29页/共75页第三十页，共75页。例例1515 (1)求求(2)求求解解第30页/共75页第三十一页，共75页。例例1515 (1)求求(2)求求解解(3)求求第31页/共75页第三十二页，共75页。例例1616 求求解解说明说明(shumng)当被积函数是三角函数相乘当被积函数是三角函数相乘(xin chn)时，时，拆开奇次项去凑微分拆开奇次项去凑微分.第32页/共75页第三十三页，共75页。例例1717 求求解解第33页/共75页第三
6、十四页，共75页。例例1818 求求解解（一）（一）（使用（使用(shyng)了三角函数恒等变了三角函数恒等变形）形）第34页/共75页第三十五页，共75页。解解（二）（二）类似类似(li s)地可推出地可推出第35页/共75页第三十六页，共75页。例例19 19 求求解解第36页/共75页第三十七页，共75页。例例2020 求求解解（使用了三角函数（使用了三角函数(snjihnsh)恒等变形）恒等变形）第37页/共75页第三十八页，共75页。例例2121 (1)求求解解第38页/共75页第三十九页，共75页。例例2121 (2)求求解解第39页/共75页第四十页，共75页。例例2222 求求
7、解解第40页/共75页第四十一页，共75页。例例 求求解解第41页/共75页第四十二页，共75页。例例 求求解解第42页/共75页第四十三页，共75页。问题问题(wnt)解决解决(jiju)方法方法改变中间变量的设置改变中间变量的设置(shzh)方方法法.过程过程令令（应用（应用“凑微分凑微分”即可求出结果）即可求出结果）二、第二类换元法二、第二类换元法第43页/共75页第四十四页，共75页。证证设设 为为 的原函数的原函数,令令则则即有换元公式即有换元公式(gngsh):定理定理(dngl(dngl)2)2第44页/共75页第四十五页，共75页。第二类积分换元公式第二类积分换元公式(gngs
8、h)第45页/共75页第四十六页，共75页。例例1 1 求求解解令令第46页/共75页第四十七页，共75页。例例2 2 求求解解令令第47页/共75页第四十八页，共75页。例例3 3 求求解解令令第48页/共75页第四十九页，共75页。例例4 4 求求解解令令第49页/共75页第五十页，共75页。例例5 5 求求解解令令第50页/共75页第五十一页，共75页。再令再令第51页/共75页第五十二页，共75页。例例6 6 求求解解令令第52页/共75页第五十三页，共75页。再令再令第53页/共75页第五十四页，共75页。说明说明(shumng(shumng)(1)(1)以上几例所使用的均为三角以上
9、几例所使用的均为三角(snjio)代换代换.三角三角(snjio)代换的目的是化掉根式代换的目的是化掉根式.一般规律如下：当被积函数中含有一般规律如下：当被积函数中含有可令可令可令可令可令可令第54页/共75页第五十五页，共75页。说明说明(shumn(shumng)(2)g)(2)积分积分(jfn)中为了化掉根式除采中为了化掉根式除采用三角代换外还可用双曲代换用三角代换外还可用双曲代换.也可以也可以(ky)化掉化掉根式根式例例 中中,令令第55页/共75页第五十六页，共75页。积分积分(jfn)中为了化掉根式是否一中为了化掉根式是否一定采用三角代换（或双曲代换）并不是绝对定采用三角代换（或双
10、曲代换）并不是绝对的，需根据被积函数的情况来定的，需根据被积函数的情况来定.说明说明(shumng)(shumng)(3)3)例例7 7 求求（三角代换（三角代换(di hun)很繁琐）很繁琐）令令解解第56页/共75页第五十七页，共75页。例例8 8 求求解解 令令第57页/共75页第五十八页，共75页。说明说明(shumng(shumng)(4)(4)当分母当分母(fnm)的阶较高时的阶较高时,可采用倒可采用倒代换代换例例9 9 求求令令解解第58页/共75页第五十九页，共75页。例例1010 求求解解令令（分母（分母(fnm)的阶较高）的阶较高）第59页/共75页第六十页，共75页。第6
11、0页/共75页第六十一页，共75页。说明说明(5)(5)当被积函数含有两种或两种以上的当被积函数含有两种或两种以上的根式根式 时，可采用令时，可采用令 （其中（其中 为各根指数的为各根指数的最小公倍数最小公倍数）例例1111 求求解解令令第61页/共75页第六十二页，共75页。三、三、基本基本(jbn)(jbn)积积分表分表第62页/共75页第六十三页，共75页。第63页/共75页第六十四页，共75页。第64页/共75页第六十五页，共75页。四、小结四、小结(xioji)两类积分换元法：两类积分换元法：（一）凑微分（一）凑微分(wi fn)（二）三角代换（二）三角代换(di hun)、倒代换、
12、倒代换(di hun)、根式代换、根式代换(di hun)基本积分表基本积分表(2)第一类换元积分是把被积函数中的某个第一类换元积分是把被积函数中的某个函数看做一个新变量函数看做一个新变量.第二类换元积分是把积分变量看做一第二类换元积分是把积分变量看做一个函数个函数.第65页/共75页第六十六页，共75页。思考题思考题求积分求积分(jfn)第66页/共75页第六十七页，共75页。思考题解答思考题解答(jid)第67页/共75页第六十八页，共75页。练练 习习 题题第68页/共75页第六十九页，共75页。第69页/共75页第七十页，共75页。第70页/共75页第七十一页，共75页。第71页/共75页第七十二页，共75页。练习题答案练习题答案(d n)第72页/共75页第七十三页，共75页。第73页/共75页第七十四页，共75页。第74页/共75页第七十五页，共75页。