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1、1( (三三) )函数与导数函数与导数(1)(1)1(2018咸阳模拟)已知函数f(x)a(x1)ln xx1(aR R)(1)当a2 时，求函数f(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)当a 时，求证：对任意的x1，f(x)0 恒成立1 2(1)解 由f(x)2(x1)ln xx1，得f(x)2ln x 1，2 x切点为(1,0)，斜率为f(1)3，所求切线方程为y3(x1)，即 3xy30.(2)证明 当a 时，1 2f(x) (x1)ln xx1(x1)，1 2欲证：f(x)0，注意到f(1)0，只要f(x)f(1)即可，f(x)a1(x1)，(ln x1 x1)令g(x)ln x
2、1(x1)，1 x则g(x) 0(x1)，1 x1 x2x1 x2知g(x)在1，)上单调递增，有g(x)g(1)2，所以f(x)2a10，(a1 2)可知f(x)在1，)上单调递增，所以f(x)f(1)0，综上，当a 时，对任意的x1，f(x)0 恒成立1 22(2018潍坊模拟)已知函数f(x)ln xx2ax(aR R)，g(x)exx2.1 23 2(1)讨论函数f(x)极值点的个数；(2)若对x0，不等式f(x)g(x)恒成立，求实数a的取值范围解 (1)f(x) xa(x0)，1 xx2ax1 x令f(x)0，即x2ax10，2a24，当a240，即2a2 时，x2ax10 恒成立
3、，即f(x)0，此时f(x)在(0，)上单调递增，无极值点，当a240，即a2 时，若a0，x20，此时x(0，x1)，f(x)0，f(x)单调递增，x(x1，x2)，f(x)0，f(x)单调递增，故x1，x2分别为f(x)的极大值点和极小值点，因此a2，设方程x2ax10 的两根为x1，x2，且x10 恒成立exln xx2 x设h(x)，exln xx2 xh(x)(ex1 x2x)xexln xx2 x2，exx1ln xx21x2当x(0,1)时，ex(x1)ln xx210，即h(x)0，h(x)单调递增，因此x1 为h(x)的极小值点，即h(x)h(1)e1，故ae1.3(2018
4、亳州模拟)已知函数f(x)在x1 处取得极值aln x x(1)求a的值，并讨论函数f(x)的单调性；(2)当x1，)时，f(x)恒成立，求实数m的取值范围m 1x解 (1)由题意知f(x)，1aln x x2又f(1)1a0，即a1， f(x)(x0)，ln x x2令f(x)0，得 01，函数f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减(2)依题意知，当x1，)时，f(x)恒成立，m 1x即m恒成立，1x1ln xx令g(x)(x1)，1x1ln xx只需g(x)minm即可，又g(x)，xln x x2令h(x)xln x，h(x)1 0(x1)，1 xh(x)在1，)上单调递增
5、， h(x)h(1)10， g(x)0，g(x)在1，)上单调递增，g(x)ming(1)2，故m2.4(2018福建省百校模拟)已知函数f(x)x1aex.(1)讨论f(x)的单调性；(2)当a1 时，设10 且f(x1)f(x2)5，证明：x12x24 .1 e(1)解 f(x)1aex，4当a0 时，f(x)0，则f(x)在 R R 上单调递增当a0，得xln，(1 a)则f(x)的单调递减区间为.(ln(1 a)，)(2)证明 方法一 设g(x)f(x)2xex3x1，则g(x)ex3，由g(x)ln 3；由g(x)0 得x4 .1 e方法二 f(x1)f(x2)5，x112eexxx
6、23，x12x212eexx3x23，设g(x)ex3x，则g(x)ex3，由g(x)0 得xln 3，故g(x)ming(ln 3)33ln 3.10，x12x2e133ln 33 3ln 3，1 e3ln 3ln 274 .1 e5(2018江南十校模拟)已知函数f(x)，g(x)mx.aln x x(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当a0 时，f(x)g(x)恒成立，求实数m的取值范围；5(3)当a1 时，求证：当x1 时，(x1)f(x)2.(x1 ex)(11 e)(1)解 f(x)的定义域为(0，)，aln x x且f(x).1aln xx21ln xa x2由f(x)0 得 1ln xa0，即 ln x0 得 02，(x1 ex)(11 e)等价于.1 e1x1ln x1x2ex1 xex1令p(x)，则p(x)，x1ln x1xxln x x2令(x)xln x，则(x)1 ，1 xx1 xx1，(x)0，(x)在(1，)上单调递增，(x)(1)10，p(x)0，p(x)在(1，)上单调递增，p(x)p(1)2，pxe12 e1令h(x)，则h(x)，2ex1 xex12ex11exxex12x1，1ex1 时，h(x)h(x)，pxe12 e1即(x1)f(x)2，x1.(x1ex)(11e)