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1、用曲线积分求旋转曲用曲线积分求旋转曲面的面积面的面积1第1页，本讲稿共27页 作为定积分的几何应用，旋转曲面作为定积分的几何应用，旋转曲面的面积一般是用定积分来计算。的面积一般是用定积分来计算。本课件用对弧长的曲线积分来建立本课件用对弧长的曲线积分来建立求旋转曲面的面积的公式。求旋转曲面的面积的公式。将曲线积分化为定积分可以得到计将曲线积分化为定积分可以得到计算旋转曲面面积的定积分公式。算旋转曲面面积的定积分公式。2第2页，本讲稿共27页先看特殊的情形旋转轴为坐标轴3第3页，本讲稿共27页 设L是上半平面内的一条平面曲线。将L绕x轴旋转一周得一旋转曲面，求该旋转曲面的面积Ax。我们用元素法来建
2、立旋转曲面面积的曲线积分公式。L4第4页，本讲稿共27页L在曲线L的(x,y)处取一弧微分 它到x轴的距离是 y（如图）。该弧微分绕x轴旋转而成的旋转曲面的面积约为：（面积元素）于是整个曲线绕x轴旋转而成的旋转曲面的面积为：5第5页，本讲稿共27页命题1：上半平面内一条曲线L绕x轴旋转而成的旋转曲面的面积为：L6第6页，本讲稿共27页命题2：右半平面内一条曲线L绕y轴旋转而成的旋转曲面的面积为：同理L7第7页，本讲稿共27页下面针对不同的曲线方程将曲线积分化为定积分得到熟悉的旋转曲面的面积公式8第8页，本讲稿共27页直角坐标方程9第9页，本讲稿共27页y=f(x)如果L绕 x轴旋转的旋转曲面的
3、面积为：10第10页，本讲稿共27页y=f(x)如果L绕 y轴旋转的旋转曲面的面积为：11第11页，本讲稿共27页参数方程12第12页，本讲稿共27页如果L绕 x轴旋转的旋转曲面的面积为：13第13页，本讲稿共27页如果则L绕 y轴旋转的旋转曲面的面积为：14第14页，本讲稿共27页极坐标方程15第15页，本讲稿共27页如果L绕 x轴旋转的旋转曲面的面积为：16第16页，本讲稿共27页我们来推导一个有关曲线L的形心(质心)和旋转曲面面积之间的关系的定理：古尔丁定理Paul Guldin（古尔丁）（古尔丁）1577 1643Swiss mathematician who wrote on vol
4、umes and centres of gravity.17第17页，本讲稿共27页L上半平面内一条曲线L绕x轴旋转而成的旋转曲面的面积等于该曲线的形心所经过的路程与L的弧长s的乘积。古尔丁定理形心18第18页，本讲稿共27页如果你很容易求得曲线L的弧长和形心，用古尔丁定理就很容求得旋转曲面的面积。L形心19第19页，本讲稿共27页下面来看一般的情形一般的曲线&一般的旋转轴20第20页，本讲稿共27页 设L是xOy坐标平面内的一条曲线。L在直线 l 的一侧（如图）。将L绕直线 l 旋转一周得一旋转曲面，求该旋转曲面的面积A。我们用元素法来建立旋转曲面面积的曲线积分公式。Ll21第21页，本讲稿
5、共27页L在曲线L的(x,y)处取一弧微分它到直线 l 的距离是：该弧微分绕 l 旋转而成的旋转曲面的面积约为：于是整个曲线L绕直线 l 旋转而成的旋转曲面的面积为：设直线 l 的方程为 ax+by+c=0。l22第22页，本讲稿共27页命题3 曲线L绕直线 ax+by+c=0旋转而成的旋转曲面的面积为：Ll23第23页，本讲稿共27页下面举几个例子来说明命题中的公式的应用由于其中积分较难计算用数学软件Maple完成24第24页，本讲稿共27页例1 求曲线y=x2(0 xx2;f:=(x,y)-2*x-y;a:=0:b:=2:(2*Pi/sqrt(5)*Int(f(x,y(x)*sqrt(1+
6、D(y)(x)2),x=a.b)=(2*Pi/sqrt(5)*int(f(x,y(x)*sqrt(1+D(y)(x)2),x=a.b);evalf(%);with(plots):quxian:=plot(x2,2*x,x=-1.3,y=-1.5,thickness=4):display(quxian,tickmarks=0,0,scaling=constrained);25第25页，本讲稿共27页例2 求y=x2(0 xx2;f:=(x,y)-y-x+1;a:=0:b:=1:sqrt(2)*Pi*Int(f(x,y(x)*sqrt(1+D(y)(x)2),x=a.b)=sqrt(2)*Pi*int(f(x,y(x)*sqrt(1+D(y)(x)2),x=a.b);evalf(%);26第26页，本讲稿共27页例3 求y=lnx(1xln(x);f:=(x,y)-x+y;a:=1:b:=exp(1):sqrt(2)*Pi*Int(f(x,y(x)*sqrt(1+D(y)(x)2),x=a.b)=sqrt(2)*Pi*int(f(x,y(x)*sqrt(1+D(y)(x)2),x=a.b);evalf(%);27第27页，本讲稿共27页