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1、用曲线积分求旋转曲面的面积用曲线积分求旋转曲面的面积1第1页，共26页，编辑于2022年，星期一 作为定积分的几何应用，旋转曲面的作为定积分的几何应用，旋转曲面的面积一般是用定积分来计算。面积一般是用定积分来计算。本课件用对弧长的曲线积分来建立求本课件用对弧长的曲线积分来建立求旋转曲面的面积的公式。旋转曲面的面积的公式。将曲线积分化为定积分可以得到计算旋将曲线积分化为定积分可以得到计算旋转曲面面积的定积分公式。转曲面面积的定积分公式。2第2页，共26页，编辑于2022年，星期一先看特殊的情形先看特殊的情形旋转轴为坐标轴旋转轴为坐标轴3第3页，共26页，编辑于2022年，星期一 设设L是上半平面
2、内的一条平面曲线。是上半平面内的一条平面曲线。将将L绕绕x轴轴旋转一周得一旋转曲面，求该旋转旋转一周得一旋转曲面，求该旋转曲面的面积曲面的面积Ax。我们用元素法来建立旋转曲面面积的曲线积我们用元素法来建立旋转曲面面积的曲线积分公式。分公式。L4第4页，共26页，编辑于2022年，星期一L在曲线在曲线L的的(x,y)处取一弧微分处取一弧微分 它到它到x轴的距离是轴的距离是 y（如图）。（如图）。该弧微分绕该弧微分绕x轴轴旋转而成的旋转曲面的面积约为：旋转而成的旋转曲面的面积约为：（面积元素）（面积元素）于是整个曲线绕于是整个曲线绕x轴轴旋转而成旋转而成的旋转曲面的面积为：的旋转曲面的面积为：5第
3、5页，共26页，编辑于2022年，星期一命题命题1：上半平面内一条曲线：上半平面内一条曲线L绕绕x轴轴旋转而旋转而成的旋转曲面的面积为：成的旋转曲面的面积为：L6第6页，共26页，编辑于2022年，星期一命题命题2：右半平面内一条曲线：右半平面内一条曲线L绕绕y轴轴旋转而成的旋转而成的旋转曲面的面积为：旋转曲面的面积为：同理同理L7第7页，共26页，编辑于2022年，星期一下面针对不同的曲线方程下面针对不同的曲线方程将曲线积分化为定积分将曲线积分化为定积分得到熟悉的旋转曲面的面积公式得到熟悉的旋转曲面的面积公式8第8页，共26页，编辑于2022年，星期一直角坐标方程直角坐标方程9第9页，共26
4、页，编辑于2022年，星期一y=f(x)如果如果L绕绕 x轴轴旋转的旋转曲面的面积为：旋转的旋转曲面的面积为：10第10页，共26页，编辑于2022年，星期一y=f(x)如果如果L绕绕 y轴轴旋转的旋转曲面的面积为：旋转的旋转曲面的面积为：11第11页，共26页，编辑于2022年，星期一参数方程参数方程12第12页，共26页，编辑于2022年，星期一如果如果L绕绕 x轴轴旋转的旋转曲面的面积为：旋转的旋转曲面的面积为：13第13页，共26页，编辑于2022年，星期一如果如果则则L绕绕 y轴轴旋转的旋转曲面的面积为：旋转的旋转曲面的面积为：14第14页，共26页，编辑于2022年，星期一极坐标方
5、程极坐标方程15第15页，共26页，编辑于2022年，星期一如果如果L绕绕 x轴轴旋转的旋转曲面的面积为：旋转的旋转曲面的面积为：16第16页，共26页，编辑于2022年，星期一我们来推导一个有关曲线我们来推导一个有关曲线L的的形心形心(质心质心)和和旋转曲面面积旋转曲面面积之间的关系的定理：之间的关系的定理：古尔丁定理古尔丁定理Paul Guldin（古尔丁）（古尔丁）1577 1643Swiss mathematician who wrote on volumes and centres of gravity.17第17页，共26页，编辑于2022年，星期一L上半平面内一条上半平面内一条曲
6、线曲线L绕绕x轴旋转而成的旋转曲面轴旋转而成的旋转曲面的面积的面积等于等于该曲线的该曲线的形心形心所经过的路程与所经过的路程与L的弧的弧长长s的乘积的乘积。古尔丁定理古尔丁定理形心形心18第18页，共26页，编辑于2022年，星期一如果你很容易求得曲线如果你很容易求得曲线L的弧长和形心，用古尔的弧长和形心，用古尔丁定理就很容求得旋转曲面的面积。丁定理就很容求得旋转曲面的面积。L形心形心19第19页，共26页，编辑于2022年，星期一下面来看一般的情形下面来看一般的情形一般的曲线一般的曲线&一般的旋转轴一般的旋转轴20第20页，共26页，编辑于2022年，星期一 设设L是是xOy坐标平面内的一条
7、曲线。坐标平面内的一条曲线。L在直在直线线 l 的一侧（如图）的一侧（如图）。将将L绕直线绕直线 l 旋转一周得一旋转曲面，求该旋转一周得一旋转曲面，求该旋转曲面的面积旋转曲面的面积A。我们用元素法来建立旋转曲面面积的曲线积我们用元素法来建立旋转曲面面积的曲线积分公式。分公式。Ll21第21页，共26页，编辑于2022年，星期一L在曲线在曲线L的的(x,y)处取一弧微分处取一弧微分它到直线它到直线 l 的距离是的距离是：该弧微分绕该弧微分绕 l 旋转而成的旋转曲面的面积约为：旋转而成的旋转曲面的面积约为：于是整个曲线于是整个曲线L绕直线绕直线 l 旋转而成旋转而成的旋转曲面的面积为：的旋转曲面
8、的面积为：设直线设直线 l 的方程为的方程为 ax+by+c=0。l22第22页，共26页，编辑于2022年，星期一命题命题3 曲线曲线L绕直线绕直线 ax+by+c=0旋转而成的旋旋转而成的旋转曲面的面积为：转曲面的面积为：Ll23第23页，共26页，编辑于2022年，星期一下面举几个例子来说明下面举几个例子来说明命题中的公式的应用命题中的公式的应用由于其中积分较难由于其中积分较难计算用数学软件计算用数学软件Maple完成完成24第24页，共26页，编辑于2022年，星期一例例1 求曲线求曲线y=x2(0 xx2;f:=(x,y)-2*x-y;a:=0:b:=2:(2*Pi/sqrt(5)*
9、Int(f(x,y(x)*sqrt(1+D(y)(x)2),x=a.b)=(2*Pi/sqrt(5)*int(f(x,y(x)*sqrt(1+D(y)(x)2),x=a.b);evalf(%);with(plots):quxian:=plot(x2,2*x,x=-1.3,y=-1.5,thickness=4):display(quxian,tickmarks=0,0,scaling=constrained);25第25页，共26页，编辑于2022年，星期一例例2 求求y=x2(0 xx2;f:=(x,y)-y-x+1;a:=0:b:=1:sqrt(2)*Pi*Int(f(x,y(x)*sqrt(1+D(y)(x)2),x=a.b)=sqrt(2)*Pi*int(f(x,y(x)*sqrt(1+D(y)(x)2),x=a.b);evalf(%);26第26页，共26页，编辑于2022年，星期一