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1、复变函数与积分变换课堂第一章1第1页，本讲稿共68页第一章第一章 复数与复变函数复数与复变函数1 复数及其代数运算2 复数的几何表示3 复数的乘幂与方根4 区域5 复变函数6 复变函数的极限与连续性第2页，本讲稿共68页1 复数及其代数运算复数及其代数运算1.复数的概念2.复数的代数运算第3页，本讲稿共68页1.复数的概念复数的概念定义定义：在实数范围,方程 是无解的.因此引进一个新数 i,称为虚数单位虚数单位,规定为复数复数,x,y 分别称为 z 的实部实部和虚部虚部,记作两个复数相等相等,是指的它的实部和虚部分别相等.复数 z=0,指实部和虚部都是0.且复数不能比较大小.对于任意二实数 x
2、,y,称或当时,称为纯虚数纯虚数。第4页，本讲稿共68页2.复数的代数运算复数的代数运算 当z1,z2为实数时,上二式与实数的运算一致。复数的加,法和乘法定义为称上面二式右端为 z1,z2 的和和,差差与积积。称满足的复数为z1除以z2的商商,记作第5页，本讲稿共68页与实数一样，复数运算也满足交换律交换律,结合律结合律和分配律分配律:因此第6页，本讲稿共68页共轭复数共轭复数把实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两个共轭复数有如下性质：如果，那么 。复数称为共轭复数共轭复数,与z 共轭的复数记作 。第7页，本讲稿共68页解解例例1 1 设，求与所以第8页，本讲稿共68页解解例例2 设，求与所以
3、第9页，本讲稿共68页解解例例 求满足下列条件的复数z:(1)设设则则由由得得故故(2)则则10第10页，本讲稿共68页证证例例3 设,为两个任意复数，或证明证明第11页，本讲稿共68页2 复数的几何表示复数的几何表示1.复平面2.复球面第12页，本讲稿共68页1.复平面复平面 所以复数的全体与该平面上的点的全体成一一对应关系,此时,x 轴称为实轴实轴,y 轴称为虚轴虚轴,两轴所在的平面称为复平面复平面或 z 平面平面.这样,复数与复平面上的点成一一对应,从而使我们能借助几何语言和方法研究复变函数从而复数可以用该平面上的坐标为的点来表示，这是复数的一个常用表示方法。由一对有序实数唯一确定,一个
4、复数问题。第13页，本讲稿共68页OxyxyqPz=x+iy|z|=r在复平面上,复数 z 还与从原点指向点z=x+iy 的平面长度称为z 的模模或绝对值绝对值,记作向量一一对应,因此复数z 也能用向量来表示。向量的显然,还有下列各式成立在z0的情况,以正实轴为始边,以表示z的向量OP为终边这时,有称为z的辐角辐角,记作的角的弧度数第14页，本讲稿共68页一个,则为任意整数)给出了z的全部幅角,在的幅角中,满足的 称为Arg z的主值主值,记作幅角不确定。时，arg z当其中当时,可由右边关系确定：是其中的有无穷多个幅角,如果任何一个复数第15页，本讲稿共68页由复数运算法则,两个复数Oxyz
5、1z2z1+z2且成立不等式加减法一致。如图(三角不等式),Oxy原点上,还有 。一对共轭复数 在复平面内和，如果 z 不在负实轴和Oxy的位置是关于实数轴对称的,因而 z1和z2的加减法和相应的向量的第16页，本讲稿共68页利用直角坐标与极坐标的关系：OxyxyqPz=x+iy|z|=r可以将 z 表示成三角表示式三角表示式：得指数表示式指数表示式：利用欧拉公式解解 例例1 将下列复数化为三角表示式与指数表示式。1)显然,。又 z在第三象限，则 第17页，本讲稿共68页因此，z 的三角表示式为z 的指数表示式为2)显然,又 故z 的三角表示式为z 的指数表示式为第18页，本讲稿共68页解解
6、例例 将下列复数化为三角表示式与指数表示式。1)显然,所以，19第19页，本讲稿共68页解解 例例 将下列复数化为三角表示式与指数表示式。2)显然,所以，当时，有20第20页，本讲稿共68页证证 例例2 设又为两个任意复数，证明：所以两边开方，应得到所要证明的三角不等式。第21页，本讲稿共68页解解 例例3因此，复数形式的参数方程为将通过两点由此得知由取形式的方程来表示。的直线用复数已知通过点的直线可用参数方程表示为的直线段的参数方程可以写成到，得知线段的中点为第22页，本讲稿共68页解解 例例 将下列复数化为三角表示式与指数表示式。1)显然,所以，23第23页，本讲稿共68页解解 例例 将下
7、列复数化为三角表示式与指数表示式。2)显然,所以，当时，有24第24页，本讲稿共68页解解 例例4设求下列方程所表示的曲线：或1)从几何上看，方程表示所有与点i距离为2，方程可变为也就是的点的轨迹，即中心为i，半径为2的圆。也可用代数方法求出该圆的直角坐标方程。第25页，本讲稿共68页所以，那么轨迹，所以方程表示的曲线是一条垂直平分线，它的2)从几何上看，方程表示到两点距离相等的点的方程为。也可以用代数的方法求得。3)设从而立即可得所求曲线方程为，这是一条平行于x轴的直线。第26页，本讲稿共68页解解 例例求下列方程所表示的曲线：点的轨迹，所以方程表示的曲线是一条垂直平分线，它1)从几何上看，
8、方程表示到两点距离相等的的方程为。也可以用代数的方法求得。的点的轨迹，所以方程表示的曲线是一条垂直平分线，2)从几何上看，方程表示到两点距离之和为定值它的方程为。也可以用代数的方法求得。27第27页，本讲稿共68页解解 例例求下列方程所表示的曲线：3)从几何上看，方程表示 z 到1的距离与 z 到的点集是实轴上的闭区间1,1。1的距离之和为2，而1到1的距离也为2。因此 z 只能在线段1,1上，即满足条件28第28页，本讲稿共68页另一点N。称N为北极北极，S为南极南极。NSOxyPz2.复球面复球面除了复数的平面表示方法外,还可以用球面上的点来表示复数。取一个与复平面切于原点的球面,球面上的
9、一点 S 与原点重合。通过S作垂直于复平面的直线与球面相交于对复平面内任一点z,用直线将z与N相连,与球面相交于P点,则球面上除N点外的所有点和复平面上的所有点有一一对应的关系,而N点本身可代表无穷远点,记作。这样的球面称作复球面复球面。第29页，本讲稿共68页于复数来说，实部、虚部与辐角的概念均无意义，但包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面扩充复平面。不包括无穷远点在内的复平面称为有限平面有限平面，或称复平面复平面。对其模规定为正穷大，即。对于其它复数 z都有关于的四则运算作如下规定：除法除法：但可为)加法加法：至于其它运算，不规定其意义。乘法乘法：减法减法：第30页，本讲稿共68页3 复
10、数的乘幂与方根复数的乘幂与方根1.乘积与商2.幂与根第31页，本讲稿共68页设有两个复数.乘积与商乘积与商于是那么定理一定理一 两个复数乘积的模等于它们的模的乘积,两个复数乘积的幅角等于它们幅角的和。从而有第32页，本讲稿共68页用指数形式表示复数:q2q2z2q1z1z1z21Oxy并旋转一个角度 ，如图所示相当于将z1的模扩大|z2|倍则则定理可以表示为：由定理进一步可证，如果当用向量表示复数时，第33页，本讲稿共68页定理二定理二 两个复数的商的模等于它们的模的商,两个复数的商的辐角等于被除数与除数的幅角之差。按照商的定义,当时,有由乘积公式有于是由此得如果用指数形式表示复数：定理二可简
11、明地表示为：第34页，本讲稿共68页。根据复数乘法，有解解 例例1即为所求的顶点已知正三角形的两个顶点为所以求第三个顶点。如图，将旋转类似可得Oxy表示绕或得到另一个向量，它的终点或第35页，本讲稿共68页。根据复数乘法，有解解 例例向量，它的终点即为所求的顶点已知等腰直角三角形的两个底角的点分别为所以，求顶点。如图，将旋转类似可得Oxy表示绕或，长度再缩短或得到另一个36第36页，本讲稿共68页2.幂与根幂与根则对任意正整数 n,有 n 个相同复数 z 的乘积称为z的 n次幂次幂，记作 ，即若定义，那么当 n为负整数时上式也成立。时，则有棣莫弗棣莫弗(De Moivre)公式公式特别地，当下
12、面用棣莫弗公式求方程的根，其中 z 为已知复数。第37页，本讲稿共68页如 n为正整数,则一个复数的 n 次根不止有一个,而是方根方根设z为己知,方程的根称为z 的n次根次根，都记为，即有 n 个,下面就来求出这个根先不妨令由棣莫弗公式有于是则上式成立，必有第38页，本讲稿共68页由此，可得其中，是算术平方根，所以时，得到 n个相异的根：当第39页，本讲稿共68页当k为其他整数值代入时，这些根又会重复出现。在几何上,不难看出：z1/n的n个值就是以原点为中心,r1/n为半径的圆的内接正n边形的n个顶点。例如 k=n 时，第40页，本讲稿共68页解解 例例2 求因为即所以这四个根是内接于中心在原
13、点，半径为的圆的正方形的四个顶点，且有第41页，本讲稿共68页解解 例例求因为即所以这四个根是内接于中心在原点，半径为的圆的正方形的四个顶点，且有42第42页，本讲稿共68页解解 例例求方程因为即所以的所有根。43第43页，本讲稿共68页4 区域区域1.区域的概念2.单连通域与多连通域第44页，本讲稿共68页1.区域的概念区域的概念平面上以z0为中心,d(任意的正数)为半径的圆：dz0内部的点的集合称为z0的邻域,而称由不等式所确定的点集为z0的去心邻域。设G为一平面点集,z0为G中任意一点。内点内点：若存在z0的一个邻域,该邻域内的所有点都属于G,则称z0为G的内点开集开集：如果G内的每个点
14、都是它的内点,则称G为开集。区域区域：若平面点集D是一个开集，且是连通的，也就是D中任何两点都可以用完全属于D的一条折线连接起来，则称D为一个区域。第45页，本讲稿共68页但在P的任意小的邻域邻域内总包含有D中的点,边界点边界点：设D为复平面内的一个区域区域,如果点P不属于D,则点P称为D的边界点边界点。区域的边界可能是由几条曲线和一些孤立的点所组成的。边界边界：D的所有边界点组成D的边界边界。C3C2zg1g2C1P第46页，本讲稿共68页xyDO如果一个区域可以被包含在一个以原点为中心的圆里面,即存在正数 M,使区域 D的每个点 z 都满足|z|M,则称D为有界的有界的,否则称为无界的无界
15、的。满足不等式r1|z-z0|0角形域：0arg zxyjxab带形域：aIm zb第48页，本讲稿共68页.单连通域与多连通域单连通域与多连通域在数学上,常用参数方程表示各种平面曲线。若 x(t)和 y(t)是两个连续的实变函数,则方程组代表一条平面曲线,称为连续曲线连续曲线。令则此曲线可用一个方程来代表。这就是平面曲线的复数表示式。且 t的每一个值,有这曲线称为光滑的光滑的,由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线,称为按段光滑曲线按段光滑曲线。都连续,上和如果区间连续不连续光滑不光滑第49页，本讲稿共68页z(a)=z(b)简单,闭z(a)z(b)简单,不闭z(a)=z(b)不简单,闭不简单
16、,不闭z(a)z(b)重点的连续曲线C,称为简单曲线简单曲线或若尔当若尔当(Jardan)曲线曲线。如果简单曲线C的起点与终点闭合,即z(a)=z(b),则曲线C称为简单闭曲线简单闭曲线。设为一条连续曲线,与分别为C的起点起点与终点终点。对于满足的t1与t2,当而有时,点称为曲线C的重点。没有定义定义：第50页，本讲稿共68页定义：定义：内部外部C任意一条简单闭曲线C把整个复平面唯一地分成三个互不相交的点集,其中除去C外,一个是有界区域,称为C的内部内部,另一个是无界区域,称为C的外部外部,C为它们的公共边界。单连通域多连通域复平面上的一个区域区域B,如果在其中任就称为单连通域单连通域,一个区
17、域如果不是单连通域,就称为多连通域多连通域。作一条简单闭曲线,而曲线的内部总属于B,一条简单闭曲线的内部是单连通域。单连通域B具有这样的特征：属于B的任何 一条简单闭曲线，在B内可以经过连续的的变形而缩成一点，多连通域则无这个特征。第51页，本讲稿共68页5 复变函数复变函数1.复变函数的定义2.映射的概念第52页，本讲稿共68页1.复变函数的定义复变函数的定义定义定义如果 z的一个值对应着w的一个值,则函数 f(z)是单值单值的；定的法则存在,按照这一法则,对于集合G中的每一个复数 z,就有一个或几个复数数w是复变数z的函数函数(简称复变函数复变函数),记作否则就是多值多值的。集合G称为 f
18、(z)的定义集合定义集合,对应于G中所有z对应的一切w值所成的集合G*,称为函数值集合函数值集合。的集合,如果有一个确设G是一个复数与之对应,则称复变在以后的讨论中,定义集合G常常是一个平面区域,称之为定义域定义域,并且,如无特别声明,所讨论的函数均为单值函数单值函数。第53页，本讲稿共68页由于给定了一个复数实数 x和y,而复数u和v,所以复变函数w和自变量z之间的关系w=f(z)相当它们确定了自变量为x和y的两个二元实变函数.例如,考察函数令因而函数 w=z2 对应于两个二元函数:就相当于给定了两个亦同样地对应着一对实数于两个关系式:，则第54页，本讲稿共68页2.映射的概念映射的概念定义
19、如用z平面的点表示自变量z的值,而用另一个平面w平面上的点表示函数w的值,则函数w=f(z)在几何上就可看做是把 z平面上的一个点集G(定义集合)变到w平面上的一个点集G*(函数值集合)的映射(或变换)。这个映射通常简称为由函数w=f(z)所构成的映射。如果G中的点z被映射w=f(z)映射成G*中的点w,则w称为z的象(映象),而z称为w的原象。例如，函数所构成的映射，是一个关于实轴的对称映射，把任一图形映成关于实轴对称的全同图形。再如，函数所构成的映射，可以把 z 平面上与正实轴交角为的角形域映射成 w 平面上与正实轴交角为的角形域。如下页图。第55页，本讲稿共68页2axyOuvOz1z2
20、w2z3w3aw1xyOuvOABCz1z2ABCw1w2函数函数第56页，本讲稿共68页假定函数 w=f(z)的定义集合为z平面上的集合G,函数值集合为w平面上的集合G*,则G*中的每个点w必将对应着G中的一个(或几个)点。按照函数的定义,在G*上就确定了一个单值(或多值)函数反函数反函数,也称为映射w=f(z)的逆映射逆映射。从反函数的定义可知,对任意的wG*,有当反函数为单值函数时,也有，它称为函数w=f(z)的今后，不再区分函数与映射(变换)。若函数与它的反函数都是单值的，那么称函数是一一的。也称集合G与G*是一一对应的。第57页，本讲稿共68页6 复变函数的极限和连续性复变函数的极限
21、和连续性.函数的极限.函数的连续性第58页，本讲稿共68页1.函数的极限函数的极限作当zz0时,f(z)A。如图定义：内，如果有一确定的数A存在,对于任意给定的地必有一正数则称A为f(z)当z趋向于z0时的极限极限,记作设函数w=f(z)定义在z0的去心邻域去心邻域,相应,使得当时有,或记xyOz0dzOuvAef(z)几何意义：z0的充分小的点 f(z)就落 A的预先给定的邻域中。应当注意,z 趋向于 z0的方式是任意的,无论以何种方式趋向于 z0,f(z)都要趋向于同一常数 A。当变点z一旦进入邻域时,它的象第59页，本讲稿共68页充分必要条件是则证证 必要性:任给，根据极限的定义有如果,
22、存在,当时，或当这就是说时，因此有定理一定理一 设第60页，本讲稿共68页充分性充分性:如果由极限定义，对于任给，总存在，使当时，而则当时，有即第61页，本讲稿共68页定理定理二二定理一将求复变函数的极限问题转化为求两个二元定理一将求复变函数的极限问题转化为求两个二元，则，则实变函数的极限问题。实变函数的极限问题。由定理一，下面的极限有理运算法则对于复变函数由定理一，下面的极限有理运算法则对于复变函数也成立。也成立。如果如果第62页，本讲稿共68页证证 例例证明函数令由此得，则当时的极限不存在。让z沿直线 y=kx趋于零时有显然，它随k的不同而不同，所以不存在。虽然，但根据定理一，不存在。此题
23、也可用另一种方法证明。令则第63页，本讲稿共68页2.函数的连续性函数的连续性如果 f(z)在区域D内处处连续,就说 f(z)在 D内连续。定义定义 如果定理三定理三 函数 连续的充要条件是则说 f(z)在 z0处连续。在处处连续。和在例如，函数在复平面内除原点外处处连续，因为除原点外是处处连续的，而是处处连续的。由定理二和定理三，还可以推得接下来的定理四。第64页，本讲稿共68页其中 P(z)和 Q(z)都是多项式,在复平面分母不为零的点也是连续的。由以上定理,可以推得有理整函数(多项式)对复平面内所有的 z 都是连续的,而有理分式函数 2)若函数 h=g(z)在z0处连续,函数w=f(h)在 h0=g(z0)连续,则复合函数 w=f g(z)在z0处连续。定理四定理四 1)在 z0连续的两个函数 f(z)与g(z)的和,差,积,商(分母在z0不为零)在z0处连续；第65页，本讲稿共68页在闭曲线或包括曲线端点在内的曲线段上连续的函数 f(z)，在曲线上是有界的。即存在一正数M，在曲线上还应指出，所谓函数 f(z)在曲线 C上 z0点处连续的意义是指恒有第66页，本讲稿共68页解解例例 求极限67第67页，本讲稿共68页解解 因为例例 求极限所以有故有68第68页，本讲稿共68页