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1、用放缩法证明数列中的不等式第1页，本讲稿共37页 放缩法放缩法灵活多变，技巧性要求较高，所谓灵活多变，技巧性要求较高，所谓“放大一点点就太放大一点点就太大，缩小一点点又太小大，缩小一点点又太小”，这就让同学们找不到头绪，摸不着规这就让同学们找不到头绪，摸不着规律，总觉得高不可攀！律，总觉得高不可攀！高考命题专家说：高考命题专家说：“放缩是一种能力放缩是一种能力.”如何把握放缩的如何把握放缩的“度度”，使得放缩，使得放缩“恰到好处恰到好处”，这正是放缩法的精髓和关键，这正是放缩法的精髓和关键所在！所在！其实，任何事物都有其内在规律，其实，任何事物都有其内在规律，放缩法也是放缩法也是“有法可依有法
2、可依”的的，本节课我们一起来研究数列问题中一些常，本节课我们一起来研究数列问题中一些常见见的放缩类型的放缩类型及方法，破解其思维过程，揭开其神秘的面纱，领略和感受放及方法，破解其思维过程，揭开其神秘的面纱，领略和感受放缩法的无限魅力！缩法的无限魅力！第2页，本讲稿共37页放缩目标模型放缩目标模型可求和可求和可求积可求积等差模型等差模型等比模型等比模型错位相减模型错位相减模型裂项相消模型裂项相消模型第3页，本讲稿共37页几种常见的放缩方法几种常见的放缩方法平方型：平方型：立立方型：方型：第4页，本讲稿共37页根式型：根式型：指数指数型：型：奇偶奇偶型：型：平方型、平方型、立方型、立方型、根式型根
3、式型都都可放缩为可放缩为裂项相消裂项相消模型模型指数型指数型可放缩为可放缩为等比模型等比模型奇偶型奇偶型放缩为放缩为可求积可求积第5页，本讲稿共37页一一.放缩目标模型放缩目标模型可求和可求和第6页，本讲稿共37页不等式左边可用等比数列前不等式左边可用等比数列前n项和公式求和项和公式求和.分析分析左边左边表面是证数列不等式，表面是证数列不等式，实质是实质是数列求和数列求和第7页，本讲稿共37页不等式左边可用不等式左边可用“错位相减法错位相减法”求和求和.分析分析由错位相减法得由错位相减法得 表面是证数列不等式，表面是证数列不等式，实质是实质是数列求和数列求和第8页，本讲稿共37页左边不能直接求
4、和，须先将其左边不能直接求和，须先将其通项放缩通项放缩后求和，后求和，如何放缩？如何放缩？分析分析将通项放缩为将通项放缩为等等比数列比数列注意到注意到左边左边第9页，本讲稿共37页左边不能直接求和，须先将其通项放缩后求和，左边不能直接求和，须先将其通项放缩后求和，如何放缩？如何放缩？分析分析注意到注意到将通项放缩为将通项放缩为 错位错位相减相减模型模型第10页，本讲稿共37页【方法总结之一方法总结之一】第11页，本讲稿共37页第12页，本讲稿共37页左边可用左边可用裂项相消法裂项相消法求和，先求和再放缩求和，先求和再放缩.分析分析表面是证数列不等式，表面是证数列不等式，实质是实质是数列求和数列
5、求和第13页，本讲稿共37页左边不能求和，应先将通项放缩为左边不能求和，应先将通项放缩为裂项相消模型裂项相消模型后后求和求和.分析分析保留第一项，保留第一项，从从第二项第二项开开始放缩始放缩当当n=1时，不等式显然也成立时，不等式显然也成立.第14页，本讲稿共37页变式变式2 2的结论比变式的结论比变式1 1强，要达目的，须将强，要达目的，须将变式变式1 1放缩的放缩的“度度”进行修正，如何修正？进行修正，如何修正？分析分析保留前两项，从保留前两项，从第三第三项项开始放缩开始放缩思路一思路一左边左边将变式将变式1 1的通项从第三项才开始放缩的通项从第三项才开始放缩.当当n=1,2时，不等式显然
6、也成立时，不等式显然也成立.第15页，本讲稿共37页变式变式2 2的结论比变式的结论比变式1 1强，要达目的，须将变式强，要达目的，须将变式1 1放放缩的缩的“度度”进行修正，如何修正？进行修正，如何修正？分析分析保留第一项，保留第一项，从从第二项第二项开开始放缩始放缩思路二思路二左边左边将通项放得比变式将通项放得比变式1 1更小一点更小一点.当当n=1时，不等式显然也成立时，不等式显然也成立.第16页，本讲稿共37页变式变式3 3的结论比变式的结论比变式2 2更强，要达目的，须将变更强，要达目的，须将变式式2 2放缩的放缩的“度度”进一步修正，如何修正？进一步修正，如何修正？分析分析保留前两
7、项，保留前两项，从从第三项第三项开开始放缩始放缩思路一思路一左边左边将变式将变式2 2思路二中通项从第三项才开始放缩思路二中通项从第三项才开始放缩.当当n=1,2时，不等式显然也成立时，不等式显然也成立.第17页，本讲稿共37页变式变式3 3的结论比变式的结论比变式2 2更强，要达目的，须将变式更强，要达目的，须将变式2 2放缩的放缩的“度度”进一步修正，如何修正？进一步修正，如何修正？分析分析保留保留第一第一项，项，从从第第二项二项开始开始放缩放缩思路二思路二左边左边将通项放得比变式将通项放得比变式2 2思路二更小一点思路二更小一点.当当n=1时，不等式显然也成立时，不等式显然也成立.第18
8、页，本讲稿共37页评注评注第19页，本讲稿共37页【方法总结之二方法总结之二】放缩法证明与数列求和有关的不等式的过程放缩法证明与数列求和有关的不等式的过程中，很多时候要中，很多时候要“留一手留一手”，即采用即采用“有所保留有所保留”的方法，的方法，保留数列的第一项或前两项，从数列的第保留数列的第一项或前两项，从数列的第二项或第三项开始放缩二项或第三项开始放缩，这样才不致使结果放得过，这样才不致使结果放得过大或缩得过小大或缩得过小.第20页，本讲稿共37页牛刀小试牛刀小试（变式练习（变式练习1 1）证明证明当当n=1时，不等式显然也成立时，不等式显然也成立.第21页，本讲稿共37页右边保留右边保
9、留第一项第一项思路思路为了确定为了确定S的整数部分，必须将的整数部分，必须将S的值放缩在相邻的两个的值放缩在相邻的两个整数之间整数之间.第23页，本讲稿共37页分析分析思路思路左边利用指数函数的单调性放缩为等比模型利用指数函数的单调性放缩为等比模型第24页，本讲稿共37页分析分析左边左边保留第一项，从保留第一项，从第第二项二项开始放缩开始放缩左边不能直接求和，能否仿照例左边不能直接求和，能否仿照例4的方法将通项也放缩的方法将通项也放缩为为等比模型等比模型后求和？后求和？当当n=1时，不等式显然也成立时，不等式显然也成立.第25页，本讲稿共37页【方法总结之三方法总结之三】第26页，本讲稿共37
10、页思路思路第27页，本讲稿共37页证明证明评注评注用分析法寻找证明思路显得一气呵成！用分析法寻找证明思路显得一气呵成！第28页，本讲稿共37页【方法总结之四方法总结之四】第29页，本讲稿共37页二二.放缩目标模型放缩目标模型可求积可求积第30页，本讲稿共37页思路思路第31页，本讲稿共37页证明证明第32页，本讲稿共37页【方法总结之五方法总结之五】第33页，本讲稿共37页牛刀小试牛刀小试（变式练习（变式练习2 2）(1998(1998全国理全国理2525第第(2)(2)问问)证明证明第34页，本讲稿共37页放缩目标模型放缩目标模型可求和可求和可求积可求积等差模型等差模型等比模型等比模型错位相减模型错位相减模型裂项相消模型裂项相消模型第35页，本讲稿共37页又如又如：我们可以这样总结我们可以这样总结本节课学到的放缩方法本节课学到的放缩方法：平方型：平方型：立方型：立方型：第36页，本讲稿共37页根式型：根式型：指数型：指数型：奇偶型：奇偶型：平方型、立平方型、立方型、根式方型、根式型型都可放缩都可放缩为为裂项相裂项相消模型消模型指数型指数型可放缩为可放缩为等比模型等比模型奇偶型奇偶型放缩为放缩为可求积可求积第37页，本讲稿共37页