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1、用放缩法证明数列中的不等式,普宁侨中 郑庆宏,放缩法证明数列不等式是数列中的难点内容，在近几年的广东高考数列试题中都有考查.放缩法灵活多变，技巧性要求较高，所谓“放大一点点就太大，缩小一点点又太小”，这就让同学们找不到头绪，摸不着规律，总觉得高不可攀！高考命题专家说：“放缩是一种能力.” 如何把握放缩的“度”，使得放缩“恰到好处”，这正是放缩法的精髓和关键所在！其实，任何事物都有其内在规律，放缩法也是“有法可依”的，本节课我们一起来研究数列问题中一些常见的放缩类型及方法，破解其思维过程，揭开其神秘的面纱，领略和感受放缩法的无限魅力！,一. 放缩目标模型可求和,不等式左边可用等比数列前n项和公式
2、求和.,分析,左边,表面是证数列不等式，实质是数列求和,不等式左边可用“错位相减法”求和.,分析,由错位相减法得,表面是证数列不等式，实质是数列求和,左边不能直接求和，须先将其通项放缩后求和，如何放缩？,分析,将通项放缩为等比数列,注意到,左边,左边不能直接求和，须先将其通项放缩后求和，如何放缩？,分析,注意到,将通项放缩为 错位相减模型,【方法总结之一】,左边可用裂项相消法求和，先求和再放缩.,分析,表面是证数列不等式，实质是数列求和,左边不能求和，应先将通项放缩为裂项相消模型后求和.,分析,保留第一项，从第二项开始放缩,当n = 1时，不等式显然也成立.,变式2的结论比变式1强，要达目的，
3、须将 变式1放缩的“度”进行修正，如何修正？,分析,保留前两项，从第三项开始放缩,思路一,左边,将变式1的通项从第三项才开始放缩.,当n = 1, 2时，不等式显然也成立.,变式2的结论比变式1强，要达目的，须将变式1放缩的“度”进行修正，如何修正？,分析,保留第一项，从第二项开始放缩,思路二,左边,将通项放得比变式1更小一点.,当n = 1时，不等式显然也成立.,变式3的结论比变式2更强，要达目的，须将变式2放缩的“度”进一步修正，如何修正？,分析,保留前两项，从第三项开始放缩,思路一,左边,将变式2思路二中通项从第三项才开始放缩.,当n = 1, 2时，不等式显然也成立.,变式3的结论比变
4、式2更强，要达目的，须将变式2放缩的“度”进一步修正，如何修正？,分析,保留第一项，从第二项开始放缩,思路二,左边,将通项放得比变式2思路二更小一点.,当n = 1时，不等式显然也成立.,评注,【方法总结之二】,放缩法证明与数列求和有关的不等式的过程 中，很多时候要“留一手”， 即采用“有所保留” 的方法，保留数列的第一项或前两项，从数列的第 二项或第三项开始放缩，这样才不致使结果放得过 大或缩得过小.,牛刀小试（变式练习1）,证明,当n = 1时，不等式显然也成立.,（08辽宁卷）已知：,求证： .,故,当 时，有 也成立,当 时，有 也成立,常见的裂项放缩技巧：,4.,1.,3.,5.,6
5、.,2.,右边保留第一项,思路,为了确定S的整数部分，必须将S的值放缩在相邻的两个 整数之间.,分析,思路,左边,利用指数函数的单调性放缩为等比模型,分析,左边,保留第一项，从第二项开始放缩,左边不能直接求和，能否仿照例4的方法将通项也放缩为等比模型后求和？,当n = 1时，不等式显然也成立.,【方法总结之三】,故,当 时，有 也成立,思路,证明,评注,用分析法寻找证明思路显得一气呵成！,【方法总结之四】,二. 放缩目标模型可求积,思路,证明,【方法总结之五】,牛刀小试（变式练习2）(1998全国理25第(2)问),证明,课堂小结,本节课我们一起研究了利用放缩法证明数列不等 式，从中我们可以感
6、受到在平时的学习中有意识地去 积累总结一些常用的放缩模型和放缩方法非常必要，厚积薄发，“量变引起质变”. 当然，要想达到炉火纯青的深厚功力，还必须在实践中不断去感悟，仔细揣摩其方法，逐步内化为自己个人的“修为”. 南宋杰出的诗人陆游说得好：“古人学问无遗力，少壮工夫老始成。纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行。”讲的就是这个道理.,例如：我们可以这样总结本节课学到的放缩模型：,放缩目标模型,可求和,可求积,等差模型,等比模型,错位相减模型,裂项相消模型,又如：我们可以这样总结本节课学到的放缩方法：,平方型：,立方型：,根式型：,指数型：,奇偶型：,平方型、立方型、根式型都可放缩为裂项相消模型,指数型可放缩为等比模型,奇偶型放缩为可求积,再见，谢谢！,