《数学物理方程第三章达朗贝尔公式精品文稿.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学物理方程第三章达朗贝尔公式精品文稿.ppt（37页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、数学物理方程第三章达朗贝尔公式第1页，本讲稿共37页对定解问题对定解问题3.1 达朗贝尔（达朗贝尔（）公式）公式1 无界弦自由振动的达朗贝尔公式推导无界弦自由振动的达朗贝尔公式推导方程的特征方程为方程的特征方程为解得特征线为解得特征线为做变换做变换 ，则，则代入方程并化简得代入方程并化简得第2页，本讲稿共37页其中其中 为两个任意函数。于是得偏微分方程为两个任意函数。于是得偏微分方程 的的通解为通解为于是于是 的的通解通解为为第3页，本讲稿共37页联立求解得联立求解得于是原问题的解为于是原问题的解为第4页，本讲稿共37页这就是无界弦自由振动的达朗贝尔公式。这就是无界弦自由振动的达朗贝尔公式。特
2、解特解例例1 解定解问题解定解问题解解方程的特征方程为方程的特征方程为第5页，本讲稿共37页解得特征线为解得特征线为做变换做变换 ，则，则于是方程的通解为于是方程的通解为两式联立，求解得两式联立，求解得第6页，本讲稿共37页故原问题的解为故原问题的解为第7页，本讲稿共37页2 达朗贝尔公式的物理意义达朗贝尔公式的物理意义的物理意义的物理意义(1)即即 t=0 时的波形时的波形即即 t 时的波形时的波形表示在表示在t时刻初始波以速度时刻初始波以速度a沿沿x轴向右平移轴向右平移at个单位，个单位，称为右行波。称为右行波。第8页，本讲稿共37页同理同理 表示以速度表示以速度a沿沿x轴的左行波。轴的左
3、行波。的物理意义的物理意义(2)行波行波例例2 在上述问题中，初值条件为在上述问题中，初值条件为试说明其解的物理意义。试说明其解的物理意义。-22012第9页，本讲稿共37页可见右行波与左行波分别为可见右行波与左行波分别为由达朗贝尔公式有由达朗贝尔公式有于是右行波与左行波的波形均为于是右行波与左行波的波形均为随着时间的推移，其波形如图所示：随着时间的推移，其波形如图所示：第10页，本讲稿共37页0-2-42412-224012-42012-2-424第11页，本讲稿共37页012-2-424012-2-424012-2-424第12页，本讲稿共37页图形演示：图形演示：（1）初位移不为零，初速
4、度为零：）初位移不为零，初速度为零：则解为则解为解的动画演示（解的动画演示（my1）第13页，本讲稿共37页第14页，本讲稿共37页（2）初位移为零，初速度不为零：）初位移为零，初速度不为零：则解为则解为解的动画演示（解的动画演示（my2）该式表示将函数该式表示将函数表示的波形向左、右以表示的波形向左、右以a的速度移动。的速度移动。第15页，本讲稿共37页第16页，本讲稿共37页解：将初始条件代入解：将初始条件代入达朗贝尔公式，有达朗贝尔公式，有例例3 用达朗贝尔公式求解下列问题用达朗贝尔公式求解下列问题第17页，本讲稿共37页3 依赖区间、决定区域和影响区域依赖区间、决定区域和影响区域看达朗
5、贝尔公式，回答下面三个问题：看达朗贝尔公式，回答下面三个问题：（1），即在，即在(x,t)处函数值由哪些初值决定？进一步处函数值由哪些初值决定？进一步由由x轴上哪些点对应的初值决定？轴上哪些点对应的初值决定？答：由区间答：由区间x-at,x+at上的初值决定。将此区间称为点上的初值决定。将此区间称为点(x,t)的依赖区间。的依赖区间。第18页，本讲稿共37页进一步分析：方程的特征线为进一步分析：方程的特征线为过过(x,t)的两条特征线与的两条特征线与x轴的轴的交点正好是交点正好是x-at和和x+at.如图如图（2）区间）区间 上的初值都能上的初值都能确定哪些点处的函数值？确定哪些点处的函数值？
6、特征线，斜率1/a特征线答：过答：过 和和 分别作斜率分别作斜率为为 和和 的两条直线，与的两条直线，与x轴围成的三角形区域内任一点的轴围成的三角形区域内任一点的函数值都可由函数值都可由 上的初值决上的初值决定。定。称此区域为称此区域为 的决定域。的决定域。依赖区间依赖区间决定区域第19页，本讲稿共37页（3）区间）区间 上的初值都能影响到哪些点处的函数值？上的初值都能影响到哪些点处的函数值？答：过答：过 和和 分别作斜率为分别作斜率为 和和 的两条直线，的两条直线，与与x轴围成的无界区域内任一点的函数值都能受到轴围成的无界区域内任一点的函数值都能受到 上的上的初值的影响。初值的影响。称此区域
7、为称此区域为 的影响域。的影响域。一点的影响域如图一点的影响域如图影响区域影响区域第20页，本讲稿共37页4 齐次化原理齐次化原理考虑非齐次问题考虑非齐次问题不能用达朗贝尔公式不能用达朗贝尔公式可分解成如下两个问题可分解成如下两个问题和和用达朗贝尔公式求解用达朗贝尔公式求解如何求解？用齐次化原理如何求解？用齐次化原理（）（）第21页，本讲稿共37页齐次化原理：齐次化原理：若若 是下列问题是下列问题的解，则的解，则（）的解为）的解为#解的进一步分析：令解的进一步分析：令 ，则有，则有由达朗贝尔公式由达朗贝尔公式，有，有第22页，本讲稿共37页于是于是从而从而（）的解为）的解为例例4：求解下列初：
8、求解下列初值问题：值问题：自己验证自己验证原问题的解为原问题的解为第23页，本讲稿共37页解：由如上公式，有解：由如上公式，有第24页，本讲稿共37页例例 求解求解Goursat问题问题解解：令：令即即于是有于是有第25页，本讲稿共37页补充作业：补充作业：解定解问题解定解问题作业：习题作业：习题1，2，4；习题；习题3（1）、（）、（3）第26页，本讲稿共37页3.2 髙维波动方程的初值问题髙维波动方程的初值问题1 三维波动方程的泊松公式三维波动方程的泊松公式从形式上看，三维与一维相似，不妨将一维的达朗贝尔公式从形式上看，三维与一维相似，不妨将一维的达朗贝尔公式推广到三维中来，为了便于推广，
9、将达朗贝尔公式写成如下推广到三维中来，为了便于推广，将达朗贝尔公式写成如下积分形式：积分形式：表示表示 在在 上的平均值上的平均值第27页，本讲稿共37页一维到三维的对应一维到三维的对应一维一维三维三维区间区间区间中心区间中心球心球心区间长度区间长度球面面积球面面积区间上的平均值区间上的平均值球面上的平均值球面上的平均值于是推广的三维波动方程的泊松公式于是推广的三维波动方程的泊松公式球面球面第28页，本讲稿共37页计算中采用球面坐标，直角坐标与球面坐标的关系：计算中采用球面坐标，直角坐标与球面坐标的关系：此解法称为平均值法。此解法称为平均值法。可以验证。可以验证。第29页，本讲稿共37页解：由
10、泊松公式有解：由泊松公式有例例1 计算下列初值问题的解：计算下列初值问题的解：第30页，本讲稿共37页2 二维波动方程的降维法二维波动方程的降维法先将其看成三维问题，则由泊松公式有先将其看成三维问题，则由泊松公式有下面将曲面积分化成二重积分：下面将曲面积分化成二重积分：曲面曲面或或投影区域投影区域第31页，本讲稿共37页面积元素面积元素于是有于是有第32页，本讲稿共37页例例2 求解下列问题求解下列问题解解 由泊松公式，有由泊松公式，有第33页，本讲稿共37页3 髙维波动方程初值问题泊松公式解的物理意义髙维波动方程初值问题泊松公式解的物理意义1 三维泊松公式解的物理意义三维泊松公式解的物理意义
11、不妨假设初始扰动仅发生在空间某个有限区域不妨假设初始扰动仅发生在空间某个有限区域 内，如图。内，如图。三维泊松公式为三维泊松公式为可见可见 时刻在时刻在 处的函数值是处的函数值是由以由以 为球心、以为球心、以 为半径的球面为半径的球面 上的初值来确定。上的初值来确定。(见图示见图示)记记 到到 的最短距离为的最短距离为 ，在长距离为，在长距离为 ，则，则第34页，本讲稿共37页当当 时，时，上的初值为零，故上的初值为零，故 ，说明扰动，说明扰动还未到达点还未到达点 处；处；当当 时，时，与与 相交，即相交，即 上有初值，故一般有上有初值，故一般有 ，说明点，说明点 处于扰动状态；处于扰动状态；
12、当当 时，时，上的初值为零，故上的初值为零，故 ，说明扰动，说明扰动已经越过了已经越过了 点，此处恢复到原来的静止状态。点，此处恢复到原来的静止状态。这种现象在物理学上称为这种现象在物理学上称为惠更斯原理惠更斯原理或或无后效现象无后效现象。第35页，本讲稿共37页可见可见 时刻在时刻在 处的函数值是处的函数值是由以由以 为圆心、以为圆心、以 为半径的圆面为半径的圆面 上的初值来确定。上的初值来确定。(见图示见图示)2 二维泊松公式解的物理意义二维泊松公式解的物理意义也不妨假设初始扰动仅发生在某个有限区域也不妨假设初始扰动仅发生在某个有限区域 内，如图。内，如图。二维泊松公式为二维泊松公式为第36页，本讲稿共37页当当 时，时，与与 相交，即相交，即 上有初值，故一般有上有初值，故一般有 ，说明点，说明点 处于扰动状态；处于扰动状态；这种现象在物理学上称为这种现象在物理学上称为有后效现象有后效现象或称为或称为波的弥散波的弥散。当当 时，时，全部包含全部包含 ，说明所有初值对，说明所有初值对 均有扰动，均有扰动，这和三维情形完全不一样。这和三维情形完全不一样。记记 到到 的最短距离为的最短距离为 ，在长距离为，在长距离为，则，则当当 时，时，上的初值为零，故上的初值为零，故 ，说明扰动，说明扰动还未到达点还未到达点 处；处；第37页，本讲稿共37页