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1、数学建模排队论第1页，本讲稿共31页排队论课件2现实生活中的实例：进餐馆就餐到图书馆借书去售票处购票在车站等车等等第2页，本讲稿共31页排队论课件3一、排队系统的特征及排队论：顾客为了得到某中服务而到达系统，若不能获得服务而允许排队等待，则加入等待队伍，待获得服务后离开系统。第3页，本讲稿共31页排队论课件4排队的形式：顾客到达队列 服务台服务完成后离去 服务台1 服务台2 服务台s顾客到达队列服务完成后离去顾客到达队列1队列2队列s 服务台1 服务台2 服务台s服务完成后离去服务完成后离去服务完成后离去第4页，本讲稿共31页排队论课件5随机服务系统：输入来源队 列服务机构排队系统排队系统顾客
2、服务完离开第5页，本讲稿共31页排队论课件6二、排对系统的描述系统由三个部分组成：输入过程排队和排队规则服务机制第6页，本讲稿共31页排队论课件71、输入过程（1）顾客总数量：有限或者无限（2）到达方式：单个到达或成批到达（3）到达方式：顾客相继到达时间间隔的分布，这是刻画输入过程的最主要内容。令表示第n个顾客到达的时刻，则有：记假设：是独立同分布的，并记其分布函数为关于的分布，排队论中经常用到以下几种：第7页，本讲稿共31页排队论课件8 定长分布（D）：顾客相继到达时间间隔为确定的常数，如产品通过传输带进入包装箱 最简流（或称poisson分布）（M）：顾客相继到达时间间隔为独立，同负指数分
3、布，其密度函数为：第8页，本讲稿共31页排队论课件92、排队及排队规则（1）排队分为有限和无限排队损失制排队系统：排队空间为零的系统混合制排队系统：等待制和损失制的结合，是指允许排队，但是不允许队列无限长下去，具体的又分三种情况：（）队长有限，即等待空间有限（）等待时间有限，即顾客在系统中等待时间不超过某一给定的长度T（）逗留时间（等待时间和服务时间之和）（系统只能容纳K个顾客）第9页，本讲稿共31页排队论课件10不难注意到损失制和等待制可以看成是混合制的特殊情况如记为系统中服务台的个数，当时，混合制即为损失制当时，即成为等待制。(2)排队规则：先来先服务（FCFS）第10页，本讲稿共31页排
4、队论课件113、服务机制主要包括：服务员的数量及其连接形式（串联或并联）；顾客是单个还是成批接受服务的；服务时间的分布。记某服务台的服务时间为V，其分布函数为B(t),密度函数为b(t),则常见的分布有：定长分布（D）：每位顾客接受的服务的时间是常数；负指数分布（M）：每位顾客接受服务时间相互独立，具有相同的负指数分布：第11页，本讲稿共31页排队论课件12其中为一常数。k阶爱尔朗分布密度函数为第12页，本讲稿共31页排队论课件13三、排队系统的符号表示为了方便对众多的模型的描述，D.G.Kendall提出了一种目前在排队论中被广泛的使用的“Kendall记号”，一般形式为：X/Y/Z/A/B
5、/C其中X表示顾客相继到达时间间隔的分布，Y表示服务时间分布，Z表示服务台的个数；A表示系统的容纳，即可容纳最多顾客数B表示顾客源的数目；C表示服务规则；第13页，本讲稿共31页排队论课件14表示了一个顾客的到达时间间隔服从相同的负指数分布，服务时间为负指数分布、单个服务台、系统容量为无限、顾客量无限、排队规则为先来先服务的排队模型。第14页，本讲稿共31页排队论课件15四、排队系统的主要数量指标和记号1、队长和排队长2、等待时间和逗留时间3、忙期和闲期第15页，本讲稿共31页排队论课件16下面给出上述一些主要数量指标的常用记法：时刻 t 系统中的顾客数，即队长时刻 t 系统中排队的顾客数，即
6、排队长时刻 t 到达系统的顾客在系统中的逗留时间时刻 t 到达系统的顾客在系统中的等待时间上述数量指标与时间有关的随机变量，求它们的瞬时分布非常困难。第16页，本讲稿共31页排队论课件17讨论系统处于平衡状态下的性质：记为时刻t时系统处于状态n概率，即系统的瞬时分布根据前面的约定，我们将主要分析系统的平衡分布，即当系统到达统计平衡时时所处状态 n 概率，记为又记：系统处于平衡状态时队长，其均值为L，称为平均队长系统处于平衡状态时排队长，其均值为称为平均排队长；系统处于平衡状态时顾客的逗留时间，均值为称为逗留时间；第17页，本讲稿共31页排队论课件18系统处于平衡状态时顾客的等待时间，其均值记为
7、称为平均等待时间；当系统处于状态n时，新来顾客的平均到达率（单位时间内来到系统的平均顾客数）当系统处于状态n时，整个系统的平均服务率（单位时间内完成的顾客数）当为常数时，记为当每个服务台的平均服务率为常数时，记为当时，有：第18页，本讲稿共31页排队论课件191/期望到达间隔时间1/期望服务时间 服务强度，或称使用因子,/(s)五、排队论原理第19页，本讲稿共31页排队论课件20为了使系统中各个状态保持平衡，得到下列方程：对状态对状态对状态记则平稳状态分布：第20页，本讲稿共31页排队论课件21则概率分布的要求：有：于是：第21页，本讲稿共31页排队论课件22六、M/M/S等待制排队模型1、单
8、服务台模型队长的分布记为系统到达平衡状态后队长N的概率分布，注意到记并设则：第22页，本讲稿共31页排队论课件23因此：其中：第23页，本讲稿共31页排队论课件24几个主要数量指标平均队长：平均排队长：第24页，本讲稿共31页排队论课件25的负指数分布，关于顾客在系统中的逗留时间T，说明服从参数因此，平均逗留时间W为：顾客在系统中逗留时间为等待时间和接受服务时间之和：第25页，本讲稿共31页排队论课件26其中V为服务时间，故由：可得平均等待时间为：平均队长与平均逗留时间具有的关系：平均排队长与平均等待时间的关系：称为little公式第26页，本讲稿共31页排队论课件272、多服务台模型记为系统
9、到达平衡状态后队长N的概率分布，注意到对个数s个服务台系统，有：记并设则：第27页，本讲稿共31页排队论课件28其中：第28页，本讲稿共31页排队论课件29几个主要数量指标平均排队长：平均队长：Little公式：第29页，本讲稿共31页排队论课件30其他模型nM/M/c/K/Kn顾客来源是有限的服务系统.例如：一个饭店有 X 张桌子和 Y个服务生服务来源有限的顾客.nM/D/1n服务时间不变的服务系统.nD/M/1n确定性到达模式,及指数分布服务时间.例如：医生赴约治病的时间表.nM/E k/1n服务服从 Erlang 分布.例如：用相同平均时间去完成一些程序。第30页，本讲稿共31页排队论课件31结束语n排队论是专门研究带有随机因素，产生拥挤现象的优化理论。也称为随机服务系统。n排队论应用十分广泛。第31页，本讲稿共31页