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1、数学建模 排队论第1页，本讲稿共46页排排 队队 论论p随机服务系统pM/M/1 模型pM/M/1/k 模型pM/M/c 模型第2页，本讲稿共46页随机服务系统v问题与实例v基本组成v描述方法v评价方法v概率分布和生灭过程第3页，本讲稿共46页问题与实例问题问题：如何设计服务系统使得：p 损失的顾客尽量少p 服务效率尽量高p 运营成本尽量低顾客到达进入离开离开排队 服务 服务过程n服务行业理发店、银行储蓄所、专家门诊、收银台等 第4页，本讲稿共46页系统类型顾客服务台管道服务阻塞的管道管道工电影院售票窗口人售票员机场检票处人航空公司代理人经纪人服务人股票经纪人商业服务系统顾客来源数量庞大，存在
2、顾客走失，服务人员多第5页，本讲稿共46页系统类型顾客服务台秘书服务雇员秘书复印服务雇员复印机大型计算机雇员计算机传真服务雇员传真机物料处理系统 货物物料处理单元维护系统设备维修工人质检站物件质检员内部服务系统服务对象数量有限，不存在顾客走失，服务人员少第6页，本讲稿共46页公共行政服务系统 系统类型系统类型 顾客顾客 服务台服务台 城市热线 市民 热线电话 行政审批 市民 审批窗口 服务对象数量非常多，不存在顾客走失，服务人员比较少第7页，本讲稿共46页系统类型顾客服务台公路收费站汽车收费员卡车装货地卡车装货工人港口卸货区轮船卸货工人等待起飞的飞机飞机跑道航班服务人飞机出租车服务人出租车电梯
3、服务人电梯停车场汽车停车空间急救车服务人急救车其他服务系统第8页，本讲稿共46页共同特点p有两个独立的行为主体顾客和服务者；p需求是不确定的，何时来、来几个是不确定的；p服务时间是变化的p服务完成后立刻离开-随机服务系统第9页，本讲稿共46页基 本 组 成输入来源队 列服务机构排队系统顾客服务完离开服务过程的三个基本阶段.输入排队 服务第10页，本讲稿共46页输 入p顾客来源顾客来源 有限/无限p顾客到达规则顾客到达规则一次到达人数到达规律p顾客的行为顾客的行为是否进入系统 是否为一次性行为第11页，本讲稿共46页排 队n队列容量队列容量有限/无限n排队规则排队规则 先来先服务后来先服务 随机
4、服务有优先权的服务n队列规则队列规则 第12页，本讲稿共46页队列规则队列规则一队排列，依次服务多队排列，各自服务第13页，本讲稿共46页服 务p服务时间服务时间p服务台数量服务台数量单服务台多服务台第14页，本讲稿共46页描述方案顾客来源-总体数量顾客到达规律-时间间隔分布系统容量-允许的最大顾客容量排队规则服务台数目服务规律-时间分布输入来源队 列服务机构排队系统顾客服务完离开第15页，本讲稿共46页Kendall 记号以到达时间间隔的概率分布表示到达规律以服务时间的概率分布表示服务规律按下列顺序描述到达规律/服务规律/服务台数/系统容量/顾客来源/排队规则 M/M/1/FCFS M/M/
5、1/M:指数分布(Markovian)D:定长分布(常数时间)Ek:k级Erlang 分布 G:独立的概率分布(任意概率分布)第16页，本讲稿共46页评估方法p评价指标p系统状态p稳定状态p平均参数p常用记号第17页，本讲稿共46页系统评价指标p顾客顾客-服务质量 排队的时间 滞留时间 排队的人数 滞留人数p系统系统效率和成本 系统忙的概率 忙的服务台个数p稳定状态下平均意义的指标第18页，本讲稿共46页系 统 状 态系统人数：某时刻系统内顾客的数量。N(t)=在时间 t 系统中顾客的数量。Pn(t)=在时间t,排队系统中恰好有n个顾客的概率。接受服务的人数 cn(t)=工作的服务台数目。排队
6、长度：等待服务的顾客的数量。N(t)-cn(t)第19页，本讲稿共46页稳定状态系统人数：稳定状态下系统内顾客的数量。N=系统中顾客的数量。Pn=排队系统中恰好有n个顾客的概率。接受服务的人数 cn=工作的服务台数目。排队长度：等待服务的顾客的数量。N-cn第20页，本讲稿共46页平均 参 数平均等待时间平均逗留时间平均队长：平均等待队长：第21页，本讲稿共46页常用记号n =系统有n个顾客时的平均到达率（单位时间平均到达的顾客人数即是平均到达率）n =系统有n个顾客时的平均到达率 =对任何n都是常数的平均到达率.m =对任何n都是常数的平均到达率.1/=期望到达间隔时间1/=期望服务时间 =
7、服务强度，或称使用因子,/(s)第22页，本讲稿共46页M/M/1/模型p问题设定p平稳条件下的概率分布p基本参数p应用实例第23页，本讲稿共46页问题设定问题设定p到达是最简单流p服务时间是负指数分布p一个服务台p顾客来源为无穷p系统容量为无穷第24页，本讲稿共46页概率分布p生灭过程:n=,n=第25页，本讲稿共46页若第26页，本讲稿共46页基本参数p平均队长系统平均的人数n平均等待队长系统平均等待的人数第27页，本讲稿共46页基本参数p平均等待时间等待前面人员完成服务的时间n平均滞留时间等待时间加上接受服务时间n工作强度平均忙的概率第28页，本讲稿共46页Little公式第29页，本讲
8、稿共46页设备选择问题p在某工地卸货台装卸设备的设计方案种，有三个方案可供选择，分别记为甲乙丙。每个方案的有关费用见下表。货车到达为最简单流，平均每天（按10 小时计算）到达15车，平均每车装货500袋，卸货时间服从负指数分布。每辆车停留1小时的损失为10元。p问应如何选择使得总费用最小？方案固定费用/天可变费用/天装卸袋数/小时甲601001000乙1301502000丙2502006000第30页，本讲稿共46页问题分析p分别算出每种方案的总费用，然后选出总费用最小的方案。n总费用=固定费用+可变费用+停留费用n可变费用=每天可变费用*平均工作时间n停留费用=每车平均停留时间*车数*单位停
9、留费用第31页，本讲稿共46页=15/10=卸货量/500=停留时间*15*10=1-P0=天可变费用*忙的概率第32页，本讲稿共46页第33页，本讲稿共46页M/M/1/k/模型p问题设定p平稳条件下的概率分布p基本参数第34页，本讲稿共46页问问 题题 设设 定定p到达是最简单流p服务时间是负指数分布p一个服务台p顾客来源为无穷p系统容量为N第35页，本讲稿共46页概率分布p生灭过程:n=,n=,n=0,1,2,k第36页，本讲稿共46页第37页，本讲稿共46页基本参数p平均队长系统平均的人数n平均等待队长系统平均等待的人数第38页，本讲稿共46页基本参数p平均等待时间等待前面人员完成服务
10、的时间n平均滞留时间等待时间加上接受服务时间n工作强度平均忙的概率n平均进入的人=平均到达的人数减去流失的人数第39页，本讲稿共46页M/M/c/模型p问题设定p概率分布p基本参数第40页，本讲稿共46页问问 题题 设设 定定p到达是最简单流p服务时间是负指数分布pc个服务台p顾客来源为无穷p系统容量为无穷第41页，本讲稿共46页概率分布p生灭过程:n=,n=n ,n=1,2,c;n=c,n=c+1,c+2,第42页，本讲稿共46页第43页，本讲稿共46页基本参数p平均队长系统平均的人数n平均等待队长系统平均等待的人数n平均忙的工作台数第44页，本讲稿共46页基本参数p平均等待时间等待前面人员完成服务的时间n平均滞留时间等待时间加上接受服务时间第45页，本讲稿共46页结 束 语p排队系统的组成p生灭过程的概率分布pM/M/1/系统p其它系统第46页，本讲稿共46页