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1、 山东理工职业学院 高等数学无穷小与无穷大1.5 无穷小与无穷大第一章一、无穷小 如果当如果当 （或（或 ）时，函数）时，函数 的极限为零，的极限为零，那么称函数那么称函数 当当 （或（或 ）时为）时为无穷无穷小量，小量，简称简称无穷小无穷小.定义定义通常用通常用 、来来表示无穷小表示无穷小1.5 无穷小与无穷大第一章1.说函数是无穷小，必须指明自变量的变化趋势.2.无穷小和绝对值很小的数是截然不同的，无穷小是一种极限为零的变量.例如,当 时是无穷小，在 时就不是无穷小.注意：注意：3.在常量中，唯有数唯有数0是无穷小是无穷小.例如,是很小的数，但当 （或当 ）就不是无穷小为常数）为常数）1.
2、5 无穷小与无穷大第一章（1）当当 时时，是是无穷小无穷小.（2）当当 时时，是是无穷小无穷小.例如（3）当当 时时，是是无穷小无穷小.1.5 无穷小与无穷大第一章无穷小的运算性质无穷小的运算性质 性质性质1 1有限个无穷小的代数和为无穷小有限个无穷小的代数和为无穷小 性质性质2 2 有界函数与无穷小的乘积为无穷小有界函数与无穷小的乘积为无穷小 性质性质3 3有限个无穷小的乘积为无穷小有限个无穷小的乘积为无穷小推论 常数与无穷小的乘积是无穷小1.5 无穷小与无穷大第一章函数函数 是是无穷小无穷小解 因为 函数函数 是有界函数是有界函数由无穷小的性质2可知思考例例1 1求不存在1.5 无穷小与无
3、穷大第一章解 因为 ，函数函数 是无穷小是无穷小由无穷小的性质1知，例例2 2求1.5 无穷小与无穷大第一章记作记作：二、无穷大如果当 （或 ）时，函数 取正值而绝对值无限增大（取负值而绝对值无限增大），则称函数为正（负）无穷大，记作 或 定义 如果当 (或 )时，函数 的绝对值无限增大，那么称函数 当 （或 ）时为无穷大量，简称无穷大.定义定义1.5 无穷小与无穷大第一章（1）说）说函数是无穷大，必须指明自变量的变化趋势函数是无穷大，必须指明自变量的变化趋势.例如，函数例如，函数 ，所以当所以当 时时，是是无穷大；无穷大；，所以当，所以当 时时 是是无穷小无穷小.（2）无穷大）无穷大是指绝对
4、值可以无限增大的变量，绝是指绝对值可以无限增大的变量，绝不能与绝对值很大的常数混为一谈不能与绝对值很大的常数混为一谈.注意：注意：1.5 无穷小与无穷大第一章（1）当当 时时，是无穷大是无穷大.（2）当当 时，时，是正无穷大是正无穷大.（3）当当 时时，是负无穷大是负无穷大.例如1.5 无穷小与无穷大第一章当当 时时，是无穷大是无穷大，则，则 是是无无穷小穷小.三、无穷小与无穷大的关系（2 2）若）若 为为无穷小，且无穷小，且 则则 是是无穷大无穷大.（1 1）若）若 为无穷大，则为无穷大，则 为为无穷小无穷小.在自变量的同一变化过程中在自变量的同一变化过程中：当当 时时，是是无穷小，则无穷小
5、，则 是是无穷大无穷大.例如1.5 无穷小与无穷大第一章三、无穷小的比较两两个无穷小的和、个无穷小的和、差、积还是无穷差、积还是无穷小小，两，两个无穷小个无穷小的的商不一定是无商不一定是无穷小穷小.不同的无穷小趋于零的速度有快有慢，两个无穷小之比的极限的各种情况，反映了不同的无穷小趋于零的速度的差异.为比较无穷小趋于零的快慢,引入无穷小阶的概念1.5 无穷小与无穷大第一章设设 与与 是是同一变化过程中的两个无穷小，即同一变化过程中的两个无穷小，即 （1 1）如果）如果 ，那么称那么称 是是比比 高高阶的阶的无穷小；无穷小；（2 2）如果）如果 ，那么称那么称 是是比比 低低阶的无穷小；阶的无穷
6、小；（3 3）如果）如果 ，那么称那么称 与与 是是同阶无穷小；同阶无穷小；定义定义特别地，当特别地，当 ，即当即当 时时，则称，则称 与与 是是等价无穷小等价无穷小，记作记作记作记作1.5 无穷小与无穷大第一章无穷小的阶揭示了无穷小趋向于零的速度快慢程度：高阶的较快；低阶的较慢；同阶相当；等价的同步说明说明1.5 无穷小与无穷大第一章例例1 1当当 时，时，都是无穷小都是无穷小，将上述将上述无穷小与无穷小与 相比较相比较.解解是比是比 高阶的无穷小高阶的无穷小.是与是与 同同阶的无穷小阶的无穷小.是比是比 低阶的无穷小低阶的无穷小.是与是与 等价的无穷小等价的无穷小.1.5 无穷小与无穷大第一章课课堂堂练练习习当当 时，比较时，比较下列各组无穷小阶的高低下列各组无穷小阶的高低.比比 低阶低阶与与 同同阶阶与与 同同阶阶比比 高阶高阶1.5 无穷小与无穷大第一章理解无穷小与无穷大的定义理解无穷小与无穷大的定义掌握掌握无穷小的性质、无穷小无穷小的性质、无穷小与无穷大与无穷大的的关系关系会进行无穷小的比较会进行无穷小的比较内容小结3 321