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1、中考数学图形的相似第1页，本讲稿共25页20082008年年课程标准及学习目标课程标准及学习目标第2页，本讲稿共25页(4)(4)图形的相似图形的相似 了了解解比比例例的的基基本本性性质质，了了解解线线段段的的比比1 1成成比比例例线线段段，通通过过建建筑筑、艺艺术术上上的的实实例例了了解解黄黄金金分分割。割。通通过过具具体体实实例例认认识识图图形形的的相相似似，探探索索相相似似图图形形的的性性质质，知知道道相相似似多多边边形形的的对对应应角角相相等等，对应边成比例，面积的比等于对应边比的平方。对应边成比例，面积的比等于对应边比的平方。了了解解两两个个三三角角形形相相似似的的概概念念，探探索索
2、两两个个三角形相似的条件。三角形相似的条件。了了解解图图形形的的位位似似，能能够够利利用用位位似似将将一一个个图图形放大或缩小。形放大或缩小。第3页，本讲稿共25页 通通过过典典型型实实例例观观察察和和认认识识现现实实生生活活中中物物体体的的相相似似，利利用用图图形形的的相相似似解解决决一一些些实实际际问问题题(如利用相似测量旗杆的高度如利用相似测量旗杆的高度)。通通过过实实例例认认识识锐锐角角三三角角函函数数(sinA(sinA，cosAcosA，tanA)tanA)，知知道道30300 0，45450 0，60600 0角角的的三三角角函函数数值值；会会使使用用计计算算器器由由已已知知锐锐
3、角角求求它它的的三三角角函函数数值值，由由已已知知三三角角函函数数值值求求它它对对应应的锐角。的锐角。运运用用三三角角函函数数解解决决与与直直角角三三角角形形有有关关的简单实际问题。的简单实际问题。第4页，本讲稿共25页 (1)(1)认认识识并并能能画画出出平平面面直直角角坐坐标标系系；在在给给定定的的直直角角坐坐标标系系中中，会会根根据据坐坐标标描描出出点点的的位位置置、由由点点的的位位置置写写出出它它的的坐坐标标。参参见见例例44 (2)(2)能能在在方方格格纸纸上上建建立立适适当当的的直直角角坐坐标标系，描述物体的位置。系，描述物体的位置。参见例参见例55 (3)(3)在在同同一一直直角
4、角坐坐标标系系中中，感感受受图图形形变变换后点的坐标的变化。换后点的坐标的变化。参见例参见例66 (4)(4)灵灵活活运运用用不不同同的的方方式式确确定定物物体体的的位位置。置。参见例参见例77 3 3图形与坐标图形与坐标 第5页，本讲稿共25页其其中中a,ba,b分分别别叫叫做做这这个个线线段段比比的的前前项项和和后项后项.一、线段的比一、线段的比 l1.1.如果选用一个长度单位量得两如果选用一个长度单位量得两条线段条线段a a、b b 的长度分别为的长度分别为m m、n n，那么，那么两条线段的比为两条线段的比为a a：b=mb=m：n n或或第6页，本讲稿共25页2.2.在在四四条条线线
5、段段中中,如如果果其其中中两两条条线线段段的的比比等等于于另另外外两两条条线线段段的的比比,那那么么这这四四条条线线段段叫叫做做成比例线段成比例线段,简称简称比例线段比例线段 四条线段四条线段a,b,c,da,b,c,d成比例成比例,记作记作ab=cd.ab=cd.或或 其中其中a,da,d为为比例外项比例外项;b,c;b,c为为比例内项比例内项.d d称为称为a,b,ca,b,c的的第四比例项第四比例项特殊情况：若作为比例内项的两条线段相同特殊情况：若作为比例内项的两条线段相同,即即ab=bc(ab=bc(或表示为或表示为b b2 2=ac=ac),),则线段则线段b b叫叫a,ca,c的的
6、比例中项比例中项第7页，本讲稿共25页3.3.比例基本性质比例基本性质比例的灵活变形可助你达到希望的颠峰比例的灵活变形可助你达到希望的颠峰:横竖、上下都可比，惟有交叉只能乘横竖、上下都可比，惟有交叉只能乘.5.5.等比性质等比性质:4.4.合比性质合比性质:第8页，本讲稿共25页l6.6.黄金分割黄金分割如图如图4-5,4-5,点点C C把线段把线段ABAB分成两条线段分成两条线段ACAC和和BC,BC,如如果果 那么称线段那么称线段ABAB被点被点C C黄金分割黄金分割,点点C C叫做线段叫做线段ABAB的的黄金分割点黄金分割点,ACAC与与ABAB的比的比 (或或BCBC与与ACAC的比的
7、比 )称为称为黄金比黄金比.A AB BC C第9页，本讲稿共25页l1.1.形状相同的图形形状相同的图形l表象：大小不等，表象：大小不等，形状相同形状相同.l实质：各实质：各对应角对应角相等、各相等、各对应边对应边成比例成比例.l2.2.相似多边形相似多边形l各对应角相等、各对应边成比例的两个多边形叫做各对应角相等、各对应边成比例的两个多边形叫做相相似多边形似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似多边形对应边的比叫做相似比相似比(相似比相似比与叙述的顺序有关与叙述的顺序有关).l3.3.相似多边形性质：相似多边形性质：l相似多边形的相似多边形的对应角相等对应角相等,对应边成比例对应边成比例.l
8、相似多边形周长的比相似多边形周长的比等于相似比等于相似比.二、二、图形的相似图形的相似第10页，本讲稿共25页l相似多边形相似多边形对应对角线对应对角线的比等的比等于相似比于相似比.w相似多边形相似多边形对应三角形对应三角形相似相似,且且相似比等于相似多边形的相似比等于相似多边形的相似比相似比.w相似多边形相似多边形对应三角形面积的对应三角形面积的比比等于相似多边形的等于相似多边形的相似比的平相似比的平方方.w相似多边形面积的比相似多边形面积的比等于相似等于相似比的平方比的平方.第11页，本讲稿共25页l4.4.多边多边形与三角形形与三角形l三角形是边数最少的多边形三角形是边数最少的多边形.l
9、相似三角形可类比相似多边形来学习相似三角形可类比相似多边形来学习.l5.5.相似三角形相似三角形l三个对应角相等、三条对应边成比例的两个三角形三个对应角相等、三条对应边成比例的两个三角形叫做叫做相似三角形相似三角形.相似三角形对应边的比叫做相似三角形对应边的比叫做相似比相似比(相似比与叙述的顺序有关相似比与叙述的顺序有关).).l6.6.相似三角形性质：相似三角形性质：l相似三角形的相似三角形的对应角相等对应角相等,对应边成比例对应边成比例.l相似三角形对应相似三角形对应中线中线的比的比,对应角对应角平分线平分线的比，对的比，对应应高高的比的比,对应对应周长周长的比都的比都等于相似比等于相似比
10、.l相似三角形面积的比相似三角形面积的比等于相似比的平方等于相似比的平方.第12页，本讲稿共25页l7.7.相似相似三角形与三角形与全等全等三角形的三角形的关系关系：l相似比等于相似比等于1 1的两个三角形全等的两个三角形全等.l若若ADEABC,ADEABC,则则lDAE=BAC,ADE=ABC,AED=ACB.DAE=BAC,ADE=ABC,AED=ACB.l8.8.两个极具代表性的两个极具代表性的益智益智“模型模型”：“A”A”型和型和“X”X”型相似三角形型相似三角形.ABCDEEDCBA第13页，本讲稿共25页l1.1.定理定理 两角对应相等的两个三角形相似两角对应相等的两个三角形相
11、似.l2.2.推论推论1 1 平行于三角形一边直线截其它两边平行于三角形一边直线截其它两边(或其延长或其延长线线),),所截得的三角形与原三角形相似所截得的三角形与原三角形相似;l如图如图:如果如果DEBC,DEBC,那么那么A A三、三、三角形相似的判定方法三角形相似的判定方法l2.2.推论推论1 1 平行于三角形一边直线截其它两边平行于三角形一边直线截其它两边(或其延或其延长线长线),),所截得的三角形与原三角形相似所截得的三角形与原三角形相似;l如图如图:如果如果DEBC,DEBC,那么那么A Al3.3.推论推论2 2 平行于三角形一边直线截其它两边平行于三角形一边直线截其它两边(或其
12、延或其延长线长线),),所得的对应线段成比例所得的对应线段成比例.如果如果DEBCDEBC，ABCDEADEBCEDCBA第14页，本讲稿共25页l4.4.定理定理 三边对应成比例的两个三角形相似三边对应成比例的两个三角形相似.l5.5.定理定理 两边对应成比例两边对应成比例,且夹角相等的两个三角形且夹角相等的两个三角形相似相似;l6.6.定理定理 斜边直角边对应成比例的两个直角三角形斜边直角边对应成比例的两个直角三角形相似相似.l7.7.模型模型“双垂直双垂直”三角形三角形ABCDlACDCBDABC.ACDCBDABC.l认识结论认识结论:A=DCB;B=ACD;:A=DCB;B=ACD;
13、l直角三角形斜边上的高分直角三角形所成的两个直角三直角三角形斜边上的高分直角三角形所成的两个直角三角形与原三角形相似角形与原三角形相似.第15页，本讲稿共25页三、三、相似图形的特例相似图形的特例图形的位似图形的位似l1.1.如果两个图形不仅相似如果两个图形不仅相似,而且每组对应顶点所在而且每组对应顶点所在的直线都经过同一个点的直线都经过同一个点,那么这样的两个图形叫做那么这样的两个图形叫做位似图形位似图形,这个点叫做这个点叫做位似中心位似中心,这时的相似比又称为这时的相似比又称为位似比位似比.l2.2.性质：性质：l位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离位似图形上的任意一对对应点到位似中
14、心的距离之比等于位似比之比等于位似比.DEFAOBCDEFAOBC第16页，本讲稿共25页l3.3.如何作位似图形如何作位似图形(放大放大).l5.5.体会位似图形何时为体会位似图形何时为正像正像何时为何时为倒像倒像.l4.4.如何作位似图形如何作位似图形(缩小缩小).OPABGCEDFPBACDEFGABCDEFGABGCEDFP第17页，本讲稿共25页l6.6.如图如图,添加一个条件添加一个条件,使则使则ABCAED,ABCAED,则这条件则这条件可以是可以是 .l7.7.如图所示如图所示,在在ABCABC中中,底边底边BC=60cm,BC=60cm,高高 AD=40cm,AD=40cm,
15、四四边形边形PQRSPQRS是矩形形是矩形形.w(1)ASR(1)ASR与与ABCABC相似吗相似吗?为什么为什么?w(2)(2)求矩形求矩形PQRSPQRS的边长的边长.AEDCBABCSREPD Q第18页，本讲稿共25页l1.1.正切的定义正切的定义:如图如图:RtABCRtABC中中,锐角锐角A A的对边的对边与邻边的比叫做与邻边的比叫做A A的的正正切切,记作记作tanA,tanA,即即l2.2.余切的定义余切的定义:A:A的正切的正切的倒数叫做的倒数叫做A A的的余切余切,即即RtABCRtABC中中,锐角锐角A A的邻边与的邻边与对边的比叫做对边的比叫做A A的的余切余切,记记作
16、作cotA,cotA,即即四、直角四、直角三角形的边角关系三角形的边角关系l3.3.坡面与水平面的夹坡面与水平面的夹角角()()称为称为坡角坡角,坡面坡面的铅直高度与水平宽的铅直高度与水平宽度的比称为度的比称为坡度坡度i i(或坡或坡比比),),即即坡度等于坡角的坡度等于坡角的正切正切.ABCA的对边A的邻边i第19页，本讲稿共25页l4.4.正弦的定义正弦的定义:在在RtABCRtABC中中,锐角锐角A A的对边与斜边的比叫做的对边与斜边的比叫做A A的的正弦正弦,记作记作sinA,sinA,即即l5.5.余弦的定义余弦的定义:在在RtABCRtABC中中,锐角锐角A A的邻边的邻边与斜边的
17、比叫做与斜边的比叫做A A的的余弦余弦,记作记作cosA,cosA,即即l6.6.锐角锐角A A的正弦的正弦,余弦余弦,正切正切和余切都叫做和余切都叫做A A的锐角的锐角三三角函数角函数.l sinA,cosA,tanA,cotA sinA,cosA,tanA,cotA是是在直角三角形中定义的在直角三角形中定义的(注注意数形结合意数形结合,构造直角三构造直角三角形角形).).它的实质是一个比它的实质是一个比值其大小只与值其大小只与A A的大小有的大小有关关.ABCA的对边A的邻边第20页，本讲稿共25页l7.7.互余两角互余两角之间的三角函数关系：之间的三角函数关系：l sinA=cosB,s
18、inA=cosB,或或sinB=cosA.sinB=cosA.l一个锐角的正弦等于它的余角的余弦一个锐角的正弦等于它的余角的余弦,即即l cosA=sinB,cosA=sinB,或或cosB=sinA.cosB=sinA.l一个锐角的余弦等于它的余角的正弦一个锐角的余弦等于它的余角的正弦,即即l tanA=cotB,tanA=cotB,或或tanB=cotA.tanB=cotA.l一个锐角的正切等于它的余角的余切一个锐角的正切等于它的余角的余切,即即l cotA=tanB,cotA=tanB,或或cotB=tanA.cotB=tanA.l一个锐角的余切等于它的余角的正切一个锐角的余切等于它的余
19、角的正切,即即l8.8.同角同角之间的三角函数关系：之间的三角函数关系：l平方和关系平方和关系:sin:sin2 2A+cosA+cos2 2A=1.A=1.lABCabc商商的关的关系系:第21页，本讲稿共25页l9.9.特殊角特殊角(30(300 0,45,450 0,60,600 0角角)的三角函数值的三角函数值.l10.10.三角尺三角尺三边之间的比值关系三边之间的比值关系:特殊角的三角函数值表特殊角的三角函数值表三角函数三角函数锐角锐角正弦正弦sinsin余弦余弦coscos正切正切tantan余切余切cotcot30300 045450 060600 030060045045012
20、11第22页，本讲稿共25页l11.11.三角函数的有关计算：三角函数的有关计算：l由锐角求三角函数值由锐角求三角函数值.l由锐角的三角函数值由锐角的三角函数值反求锐角反求锐角.l运用特殊角运用特殊角(30300 0,45,450 0,60,600 0角角)的三角函数值和计算的三角函数值和计算器进行计算器进行计算.l由于计算器的型号与功能的不同由于计算器的型号与功能的不同,按相应的说明书按相应的说明书使用使用.l12.12.解直角三角形：解直角三角形：l工具工具:a2+b2=c2.A+B=900.ll类型类型:已知一边一角解三角形已知一边一角解三角形;已知两边解三角形已知两边解三角形.bABCac第23页，本讲稿共25页13.13.几种模型：根据图中所示数值求几种模型：根据图中所示数值求ADADw1.w5.w4.w14.14.三角函数的应用三角函数的应用w(1)(1)解直角三角形应用题解直角三角形应用题;w(2)(2)测量物体的高度测量物体的高度.ABCaDCBAD20300450w3.600450ABC20D300600ABCD20ABC4503004cmDw2.第24页，本讲稿共25页祝同学们：祝同学们：金榜题名！金榜题名！愿我们：愿我们：心想事成！心想事成！第25页，本讲稿共25页