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1、第四章第四章 扭扭 转转 41扭转的概念与工程实例扭转的概念与工程实例 轴：轴：工程中以扭转为主要变形的构件。工程中以扭转为主要变形的构件。如机器中的传动轴、石油钻机中的钻如机器中的传动轴、石油钻机中的钻杆、开门拧把手、汽车转向轴、丝锥杆、开门拧把手、汽车转向轴、丝锥等。等。扭转：扭转：在一对大小相等在一对大小相等，方向相反的外力偶作用下，方向相反的外力偶作用下,且力偶的作用面与直且力偶的作用面与直杆的轴线垂直，杆发生的变形为扭转变形。杆的轴线垂直，杆发生的变形为扭转变形。ABOmm OBA 受力特征：杆受一对大小相等、方向相反的力偶，力偶作用面垂直于轴线。受力特征：杆受一对大小相等、方向相反
2、的力偶，力偶作用面垂直于轴线。变形特征：横截面绕轴线转动。变形特征：横截面绕轴线转动。汽车中的转向轴汽车中的转向轴42 圆轴扭转时的内力圆轴扭转时的内力扭矩的计算扭矩的计算已知：轴的传递功率Pk（kW）、转速n（rpm），求：外力偶矩m（Nm）其中：Pk 功率，千瓦（kW）n 转速，转/分（rpm）一、外力偶矩的计算二、扭矩的计算与扭矩图mmTmxmT构件受扭时，横截面上的内力为力偶构件受扭时，横截面上的内力为力偶，称为扭矩，记作称为扭矩，记作“T”。扭矩的正负规定：扭矩的正负规定：以右手螺旋法则，沿截面外法以右手螺旋法则，沿截面外法线方向为正，反之为负。线方向为正，反之为负。Tmx取左段：取
3、右段：mTx扭矩扭矩图图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。目的目的扭矩变化规律；扭矩变化规律；清楚的表明清楚的表明|T|max值及其截面位置以方便强度计算（危险截值及其截面位置以方便强度计算（危险截面）。面）。以轴的轴线为横坐标，以扭矩为纵坐标，画扭矩方程以轴的轴线为横坐标，以扭矩为纵坐标，画扭矩方程T(x)的曲线或直线。的曲线或直线。扭矩图画法：扭矩图画法：例例 已知：一传动轴，已知：一传动轴，n=300r/min，主动轮输入主动轮输入 P1=500kW，从动轮输出从动轮输出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW,试绘制
4、扭矩图。试绘制扭矩图。解：解：计算外力偶矩计算外力偶矩nA B C Dm2 m3 m1 m4112233求扭矩求扭矩扭矩按正方向画，计算为正时，说明假设正确，计算为负，说明实际扭矩扭矩按正方向画，计算为正时，说明假设正确，计算为负，说明实际扭矩方向与假设相反。方向与假设相反。绘制扭矩图绘制扭矩图BC段为危险截面。段为危险截面。xTnA B C Dm2 m3 m1 m44.78KN.m9.56KN.m6.37KN.m 薄壁圆筒：薄壁圆筒：壁厚壁厚（r0为平均半径）为平均半径）一、薄壁圆筒扭转时的切应力一、薄壁圆筒扭转时的切应力1.扭转扭转前：前：43 薄壁圆筒扭转时横截面上的切应力薄壁圆筒扭转时
5、横截面上的切应力绘纵向线，圆周线；绘纵向线，圆周线；施加一对外力施加一对外力m。2、扭转扭转后：后：圆周线不变；圆周线不变；纵向线倾斜纵向线倾斜同一个角度，变成平行的螺旋同一个角度，变成平行的螺旋线。线。3、结论：、结论：圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改变，只是绕圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改变，只是绕 轴线作了相对转动。轴线作了相对转动。各纵向线均倾斜了同一微小角度各纵向线均倾斜了同一微小角度 。所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。根据以上实验现象根据以上实验现象,可得结论：可得结论：圆筒横截面上没有正应力，只有剪应力。剪
6、应力在截面上均圆筒横截面上没有正应力，只有剪应力。剪应力在截面上均匀分布，方向垂直于半径。匀分布，方向垂直于半径。5、薄壁圆筒剪应力、薄壁圆筒剪应力 大小：大小：假定假定 平均分布平均分布,方向垂直于半径方向垂直于半径.A0：平均半径所作圆的面积。平均半径所作圆的面积。acddxbdy 4、分析分析矩形变成平行四边形矩形变成平行四边形,各边长不变各边长不变,所以两侧截所以两侧截面上只有切应力面上只有切应力,无正应力无正应力.(实际上与扭矩对实际上与扭矩对应的应力只能是切应力应的应力只能是切应力)上式称为切应力互等定理。称为切应力互等定理。dx dytzxy 该定理表明：在两个相互垂直的面上，切
7、应力必然成对出现，且数值相在两个相互垂直的面上，切应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向为共同指向或共同背离该交线。等，两者都垂直于两平面的交线，其方向为共同指向或共同背离该交线。右上图单元体称为纯剪切单元体。右上图单元体称为纯剪切单元体。44切应力互等定理切应力互等定理 薄壁圆筒的实验薄壁圆筒的实验,证实了剪应力与剪应变之间存在着象拉压胡克定律类似的证实了剪应力与剪应变之间存在着象拉压胡克定律类似的关系关系,即当剪应力不超过材料的剪切比例极限即当剪应力不超过材料的剪切比例极限p时时,剪应力与剪应变成正比剪应力与剪应变成正比G称为材料的剪切弹性模量。上式关系称为称为材料
8、的剪切弹性模量。上式关系称为剪切胡克定律剪切胡克定律。切应变(量纲为弧度rad)剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三个常数。对各剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系45等直圆轴横截面的切应力等直圆轴横截面的切应力 强度条件强度条件一、等直圆轴横截面上的切应力 变形几何关系变形几何关系从三方面考虑：从三方面考虑：物理关系物理关系 静力学关系静力学关系 1.横截面变形后仍为平面；横截面变形后仍为平面；2.轴向无伸缩；轴向无伸缩；3.纵向线变形后仍为平行。纵向线变形后仍为平
9、行。通过实验结果可假设横截面象刚性平面一样通过实验结果可假设横截面象刚性平面一样地绕杆的轴线转动地绕杆的轴线转动.平面假设平面假设等直圆杆扭转现象：等直圆杆扭转现象：1.变形几何关系：变形几何关系：ldxm m ACBDdxBADCOR 扭转角 沿长度方向变化率。ABCCDREFGHdxOODGH2.物理关系：物理关系：胡克定律：3.静力学关系：静力学关系：记Ip横截面的极惯性矩代入物理关系式 得：应力分布应力分布（实心截面）（空心截面）这表明，横截面上各点的剪应力与点到截面中心的间距成正比，即剪应力沿截面的半径呈线性分布剪应力沿截面的半径呈线性分布。最大剪应力：最大剪应力：Wt 称为抗扭截面
10、系数，几何量，单位：mm3 或 m3。对于实心圆截面：对于实心圆截面：对于空心圆截面：对于空心圆截面：圆轴扭转时圆轴扭转时，杆内各点均处于纯剪切应力状态。其强度条件应该杆内各点均处于纯剪切应力状态。其强度条件应该是横截面上的最大工作剪应力是横截面上的最大工作剪应力 max 不超过材料的许用剪应力不超过材料的许用剪应力 。二二 强度条件强度条件 圆轴扭转时的最大工作剪应力圆轴扭转时的最大工作剪应力 max 发生在最大扭矩所在横截面（危发生在最大扭矩所在横截面（危险截面）的周边上的任一点处（危险点）险截面）的周边上的任一点处（危险点）例题：例题：图示阶梯圆轴，图示阶梯圆轴，AB段的直径段的直径d1
11、=120 mm，BC段的直径段的直径 d2=100 mm。扭转力偶矩为扭转力偶矩为 mA=22 kN.m，mB=36 kN.m，mC=14kN.m。已知材料的许用剪应力已知材料的许用剪应力 =80MPa，试试校核该轴的度。校核该轴的度。ABC解解：作轴的扭矩图作轴的扭矩图ABC+2214mA=22 kN.m，mB=36 kN.mmC=14 kN.m因此，该轴满足强度要求。因此，该轴满足强度要求。分别校核两段轴的强度分别校核两段轴的强度有一根轴，T=1.5kNm，=50M Pa,按两种方案确定轴截面尺寸，并比较重量：（1）实心轴；（2）=0.9的空心轴。解：（1 1）实心轴）实心轴例例（2 2）
12、空心轴）空心轴（3 3）比较重量）比较重量实实心轴的心轴的重量接近重量接近空空心轴重量的心轴重量的3 3倍。倍。一、扭转时的变形一、扭转时的变形4.6 圆轴扭转时的变形和刚度计算圆轴扭转时的变形和刚度计算m m dxlGIp反映了截面抵抗扭转变形的能力，称为截面的截面的抗扭刚度抗扭刚度。即：（rad）m2m1m3lABlACABC 已知：m1=1592N m，m2=995N m，m3=637N m，lAB=300mm，lAC=500mm，d=70mm，G=80GPa。试求截面C对B的扭转角。解：12例例二、刚度条件二、刚度条件或：刚度条件：刚度条件：单位长度扭转角单位长度扭转角 ：称为许可单位长度扭转角，取0.150.30/m。例 长为 L=2m 的圆杆受均布力偶 m=20Nm/m 的作用，如图，若杆的内外径之比为=0.8，G=80GPa，许用剪应力=30MPa，试设计杆的外径；若=2/m，试校核此杆的刚度，并求右端面转角。解：解：设计杆的外径设计杆的外径代入数值得：代入数值得：D 0.0226m。由扭转刚度条件校核刚度由扭转刚度条件校核刚度右端面转角右端面转角为：为：