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1、含权债券定价方法分含权债券定价方法分析析期权定价模型期权定价模型 Black-Scholes modelBlackScholes(1973)其中，其中，c为买入期权的价格，为买入期权的价格，S为标的股票的当前市价，为标的股票的当前市价，K为买入期权的执行价，为买入期权的执行价，T为距离到期日的时间，为距离到期日的时间，r为无风险为无风险利率，利率，为股价变动的标准差。为股价变动的标准差。B-S公式的比较静态分析公式的比较静态分析例：例：Black-Scholes 模型的问题模型的问题给欧式给欧式 call option 定价：定价：3年零息债券，年零息债券，行权价为行权价为$110,面值为面值
2、为$100。结论很明显，应该是结论很明显，应该是0。但在下面假设情况下，但在下面假设情况下，r=10%，4%的年的年价格波动率，用价格波动率，用Black-Scholes 模型计算模型计算出来的价格为出来的价格为7.78!应用传统应用传统 Black-Scholes Model给债券定价的问题给债券定价的问题如果要使用上述公式为债券定价，我们必须要假如果要使用上述公式为债券定价，我们必须要假设债券价格未来设债券价格未来3年的演变过程，可这一过程异常年的演变过程，可这一过程异常的复杂，原因如下：的复杂，原因如下：债券价格在到期日必须收敛至面值，而股票的随债券价格在到期日必须收敛至面值，而股票的随
3、机演变过程不需要这一限制。机演变过程不需要这一限制。随着到期日的临近，债券价格的波动率会下降，随着到期日的临近，债券价格的波动率会下降，B-S公式假定波动率为常数显然不合适。公式假定波动率为常数显然不合适。B-S公式假定短期利率为常数，而在固定收益证公式假定短期利率为常数，而在固定收益证券方面，我们又假定了债券价格随机变动，明显券方面，我们又假定了债券价格随机变动，明显矛盾。矛盾。此外，上述的利率可能为负值也是一个问题。此外，上述的利率可能为负值也是一个问题。Blacks Model尽管存在着以上问题，尽管存在着以上问题，Black-Scholes 的变形，的变形，即即Blacks Model
4、,也还经常被使用，其条件也还经常被使用，其条件是是:a.期权的盈亏在某一特点时间只依赖于一个变量。期权的盈亏在某一特点时间只依赖于一个变量。b.可以假定在那个时点上，那个变量的分布呈对数可以假定在那个时点上，那个变量的分布呈对数正态分布。正态分布。例如，当期权有效的时间远远短于债券偿还期例如，当期权有效的时间远远短于债券偿还期时，就可以利用时，就可以利用Blacks Model 利用利用Blacks Model给欧式期权定价给欧式期权定价利用利用Blacks Model给欧式期权定价给欧式期权定价T=期权到期日期权到期日F=到期日为到期日为T，价值为，价值为V的远期价格的远期价格K=执行价格执
5、行价格r=T期的即期收益率期的即期收益率(连续利率连续利率)=F的波动率的波动率N=累积正态分布累积正态分布Pc=value of callPp=value of put例例:应用应用 Blacks Model给给10个月期的欧式期权定价：标的债券为个月期的欧式期权定价：标的债券为9.75 年，面值年，面值$1,000,半年利息半年利息$50(在在3个月后和个月后和9个月后得到个月后得到)?已知已知今天债券价格今天债券价格$960(包括应计利息包括应计利息)执行价格执行价格$1,0003个月的无风险利率为个月的无风险利率为 9%，9个月的无风险利率为个月的无风险利率为 9.5%，10个月的无风
6、险利率为个月的无风险利率为10%(以年为基础，以年为基础，连续利率连续利率)债券价格的波动率为年债券价格的波动率为年9%例例:应用应用 Blacks Model求解求解第一步第一步:找到远期价格找到远期价格计算期权价格的参数为计算期权价格的参数为:F=939.68,K=1000,r=0.1,=0.09,T=10/12=.8333.例例:应用应用 Blacks ModelBlacks Model的缺陷的缺陷尽管尽管Blacks Model通过假定某个利率，或债券价通过假定某个利率，或债券价格，或其他变量在将来某个时刻的概率分布为对格，或其他变量在将来某个时刻的概率分布为对数正态，从而在某种程度上
7、改进了数正态，从而在某种程度上改进了Black-Scholes Model的缺陷，这也使得这一模型能够的缺陷，这也使得这一模型能够被应用于对上限、欧式债券期权和欧式互换这样被应用于对上限、欧式债券期权和欧式互换这样的产品定价，但是，这一模型仍然有局限性。的产品定价，但是，这一模型仍然有局限性。这些模型不能够对利率如何随时间变化来提供描这些模型不能够对利率如何随时间变化来提供描述，因此，对美式互换期权、可赎回债券或结构述，因此，对美式互换期权、可赎回债券或结构性债券产品定价时就不再适用了。性债券产品定价时就不再适用了。因此，我们需要将注意力由债券的价格转移至利因此，我们需要将注意力由债券的价格转
8、移至利率上来。率上来。含权债券定价的定价策略含权债券定价的定价策略可回购债券的价值可回购债券的价值=不可回购债券价值不可回购债券价值-Call Option 的价值的价值可回卖债券的价值可回卖债券的价值=不可回卖债券价值不可回卖债券价值+Put Option的价值的价值回购债券定价策略回购债券定价策略:利用利率模型给不可回购债券定价利用利率模型给不可回购债券定价利用利率模型给嵌入的利用利率模型给嵌入的call option定价定价.利率二叉树（利率二叉树（binomial interest rate tree）前面已经提及，当我们为债券的含权证券定价时，前面已经提及，当我们为债券的含权证券定价
9、时，我们需要将注意力转移到利率的演化上来。我们需要将注意力转移到利率的演化上来。假设假设6个月期和个月期和1年期的即期利率分别为年期的即期利率分别为3.99%和和4.16%。另外，。另外，6个月后个月后6个月的即期利率可能演个月的即期利率可能演变成变成4%与与4.5%，图示如下：，图示如下：利率二叉树与无套利定价利率二叉树与无套利定价根据即期利率目前所呈现的期限结构与根据即期利率目前所呈现的期限结构与6个个月期利率的树状图，我们可以计算月期利率的树状图，我们可以计算6个月期个月期与与1年期零息债券的价格。面值年期零息债券的价格。面值1000美元的美元的6个月零息债券，其价格树状图为：个月零息债
10、券，其价格树状图为：980.4402=1000/(1+0.0399/2)利率二叉树与无套利定价利率二叉树与无套利定价面值面值1000美元的美元的1年期零息债券，其价格树状图年期零息债券，其价格树状图为：为：注：在这里，我们按照半年复利进行贴现的。注：在这里，我们按照半年复利进行贴现的。959.6628=1000/(1+0.0416/2)2977.9951=1000/(1+0.045/2)2959.6628=1000/(1+0.04/2)2利率二叉树与无套利定价利率二叉树与无套利定价1年期零息债券在年期零息债券在“日期日期1”的期望价格的期望价格（expected price）是：）是：0.5*
11、977.9951+0.5*980.3922=979.1937以当时的以当时的6个月期即期利率将上述价格折算个月期即期利率将上述价格折算为为“日期日期0”的现值，则期望折现值为：的现值，则期望折现值为：979.1937/(1+0.0399/2)=960.04这一数值与前面的这一数值与前面的959.6628并不相同，为并不相同，为什么？因为上述期望值是有风险的。什么？因为上述期望值是有风险的。利率二叉树与无套利定价利率二叉树与无套利定价考虑一个在考虑一个在6个月之后可以以个月之后可以以978.50美元的美元的价格买进面值为价格买进面值为1000美元的美元的6个月零息债券个月零息债券的期权的价值。选
12、择权价值的树状图如下：的期权的价值。选择权价值的树状图如下：利率二叉树与无套利定价利率二叉树与无套利定价无套利原理为我们提供了一套处理上述问题的定无套利原理为我们提供了一套处理上述问题的定价方法，这一点在上一章中已有所体现。价方法，这一点在上一章中已有所体现。我们在我们在“日期日期0”使用使用6个月期和个月期和1年期零息债券构年期零息债券构建一个当利率上升到建一个当利率上升到4.5%时价值为时价值为0，当利率上，当利率上升到升到4%时价值为时价值为1.8922的组合。的组合。假定假定F0.5和和F1分别表示分别表示6个月和个月和1年期债券的面值，年期债券的面值，有有利率二叉树与无套利定价利率二
13、叉树与无套利定价解前述方程式得，解前述方程式得，F0.5=-772.0005，F1=789.3705即需要买进面值为即需要买进面值为789.3705美元的美元的1年期零息债券，年期零息债券，卖空卖空772.0005美元的美元的6个月期零息债券。个月期零息债券。依据无套利原理，选择权的价格应当为，依据无套利原理，选择权的价格应当为，0.9804402*-772.0005+0.9596628*789.3705=0.63而当我们直接将选择权的树状图中的值加权并贴现时，而当我们直接将选择权的树状图中的值加权并贴现时，其价值等于其价值等于(0.5*0+0.5*1.8922)/(1+0.0399/2)=0
14、.9276，要大于选择权的真实价值。，要大于选择权的真实价值。利率二叉树与无套利定价利率二叉树与无套利定价与考察股票期权的价值时不考虑股价变动的概率与考察股票期权的价值时不考虑股价变动的概率相似，我们在计算上述选择权价值时，并未考虑相似，我们在计算上述选择权价值时，并未考虑利率发生变动的机率。利率发生变动的机率。这里给出的解释与股票期权的解释相同，即无论这里给出的解释与股票期权的解释相同，即无论利率上升的机率是利率上升的机率是0.1还是还是0.9，我们组合的成分，我们组合的成分均不变。均不变。这可能会引发人们的疑问，即各种状况出现的这可能会引发人们的疑问，即各种状况出现的“机率机率”扮演的是什
15、么角色？利率上升和下降的机扮演的是什么角色？利率上升和下降的机率实际上已经反映在债券的价格之中了，因而已率实际上已经反映在债券的价格之中了，因而已经通过这一渠道影响了选择权的价值。经通过这一渠道影响了选择权的价值。利率期权的风险中性定价利率期权的风险中性定价在前面，我们利用无套利原理，通过构建投资组合的方法在前面，我们利用无套利原理，通过构建投资组合的方法得到了选择权的价值，但这一方法并不简便，我们可以借得到了选择权的价值，但这一方法并不简便，我们可以借用上一章提出了风险中性定价原理来为利率期权定价，具用上一章提出了风险中性定价原理来为利率期权定价，具体如下：体如下：在前面，我们已经说明了，未
16、来的期望值的现值并不等于在前面，我们已经说明了，未来的期望值的现值并不等于该债券的价格，但某一虚拟的机率可以做到这一点。该债券的价格，但某一虚拟的机率可以做到这一点。利率期权的风险中性定价利率期权的风险中性定价假定假定P为为“上行状况上行状况”的机率，的机率，(1-P)为为“下下行状况行状况”的机率，依据下述方程式有，的机率，依据下述方程式有，P等等于于0.661，并不是我们假定的实际机率，并不是我们假定的实际机率0.5。让我们再次考虑选择权价格的树状图，让我们再次考虑选择权价格的树状图，利率期权的风险中性定价利率期权的风险中性定价当我们使用上述的当我们使用上述的“虚拟机率虚拟机率”（风险中性
17、概率）对选择权的（风险中性概率）对选择权的价值求期望并贴现时有，价值求期望并贴现时有，可以看出，这一结果与前面使用复制的投资组合的方法得出的可以看出，这一结果与前面使用复制的投资组合的方法得出的结论完全一致。结论完全一致。这就是上一章已经提及的风险中性定价。作为现代金融学中最这就是上一章已经提及的风险中性定价。作为现代金融学中最为微妙的概念，我们将风险中性定价在利率期权中的应用步骤为微妙的概念，我们将风险中性定价在利率期权中的应用步骤总结如下：总结如下：求取虚拟机率而使根本证券（求取虚拟机率而使根本证券（underlying securities）的价格）的价格等于其未来期望值的现值。然后，根
18、据虚拟机率来计算利率期等于其未来期望值的现值。然后，根据虚拟机率来计算利率期权的期望价值的现值。权的期望价值的现值。利率期权的风险中性定价利率期权的风险中性定价具体逻辑如下：具体逻辑如下：首先：在一个既定的零息债券价格树状图之下，一种证券根据首先：在一个既定的零息债券价格树状图之下，一种证券根据套利方式所定的价格并不取决于投资者的风险偏好。既然人人套利方式所定的价格并不取决于投资者的风险偏好。既然人人都同意复制的投资组合的价值，他们也应当会同意期权合约的都同意复制的投资组合的价值，他们也应当会同意期权合约的价值。价值。其次，设想一个经济体系，它的当时债券价格与其次，设想一个经济体系，它的当时债
19、券价格与6个月期的利率个月期的利率演变和我们的经济体系相同。在这一经济体中，每个人都具有演变和我们的经济体系相同。在这一经济体中，每个人都具有中性的风险偏好，且通过组合的现金流得到风险中性概率。中性的风险偏好，且通过组合的现金流得到风险中性概率。再次，在中性风险偏好的经济体内，选择权的定价是将现金流再次，在中性风险偏好的经济体内，选择权的定价是将现金流的期望值折现为现值。的期望值折现为现值。最后，由于中性风险偏好的经济体的价格和利率演变与我们的最后，由于中性风险偏好的经济体的价格和利率演变与我们的完全相同，因此，我们的经济体和风险中性经济体内选择权的完全相同，因此，我们的经济体和风险中性经济体
20、内选择权的价值相等。价值相等。股票定价不能使用套利定价的原因股票定价不能使用套利定价的原因没有任何的组合能够复制未来个股价格的没有任何的组合能够复制未来个股价格的波动。波动。风险中性定价的扩展风险中性定价的扩展前面的分析都是在两期框架下进行的，从这里开前面的分析都是在两期框架下进行的，从这里开始，我们开始讨论三期框架下的情形。假定当时始，我们开始讨论三期框架下的情形。假定当时1.5年期的即期利率为年期的即期利率为4.33%。我们仍然假定我们仍然假定6个月期利率只有两种演变可能，即个月期利率只有两种演变可能，即上行和下行。但是，上行和下行。但是，“上行上行-下行下行”与与“下行下行-上行上行”并
21、不一定相等，即如下图。并不一定相等，即如下图。风险中性定价的扩展风险中性定价的扩展这种树状图一般被称为这种树状图一般被称为“非结合性树状图非结合性树状图”（non-recombining tree）。从经济的角度来看，这一设定）。从经济的角度来看，这一设定非常合理，但是在实务中，这一设定非常难于处理，非常合理，但是在实务中，这一设定非常难于处理，甚至无法处理。当我们处理一个二十年期的债券时，甚至无法处理。当我们处理一个二十年期的债券时，最后一期的节点数将超过最后一期的节点数将超过5000亿个。因此，我们一般亿个。因此，我们一般设定结合性的树状图，我们设定一个设定结合性的树状图，我们设定一个1.
22、5年期的树状年期的树状图如下。图如下。风险中性定价的扩展风险中性定价的扩展当树状图的阶段增加时，我们需要设计某种方法当树状图的阶段增加时，我们需要设计某种方法来表示节点的位置。一种常用的方法是，以来表示节点的位置。一种常用的方法是，以“日日期期”表示树状图的表示树状图的“列列”，起始点为，起始点为0，从左忘右，从左忘右计数。以计数。以“状况状况”来表示树状图的来表示树状图的“行行”，起始，起始点为点为0，由下往上计算。我们很容易构建，由下往上计算。我们很容易构建1.5年期年期零息债券的价格树状图，如下。零息债券的价格树状图，如下。937.7641=1000/(1+0.0433/2)3风险中性定
23、价的扩展风险中性定价的扩展在上图中，在上图中，Pu和和Pd是表示是表示1.5年期债券在经过了年期债券在经过了0.5年之后的价格，它当时是年之后的价格，它当时是1年期的零息债券，年期的零息债券，这两个价格是未知的。我们很自然就想到使用风这两个价格是未知的。我们很自然就想到使用风险中性概率求取债券的期望值，并将其折算为市险中性概率求取债券的期望值，并将其折算为市场价格。具体的树状图如下。场价格。具体的树状图如下。风险中性定价的扩展风险中性定价的扩展依据风险中性定价的偏好，我们有依据风险中性定价的偏好，我们有解之得，解之得，q=0.632。风险中性定价的扩展风险中性定价的扩展此时，此时，1.5年期零
24、息债券价格的树状图变为：年期零息债券价格的树状图变为：风险中性定价的扩展风险中性定价的扩展此时，我们可以使用此时，我们可以使用“日期日期0”和和“日期日期1”两组风两组风险中性概率，和利率的树状图为含权债券定价了。险中性概率，和利率的树状图为含权债券定价了。例如，某例如，某1年期证券的到期价值有三种可能的结果：年期证券的到期价值有三种可能的结果：500、100、-10，该证券未来一年的树状图为，该证券未来一年的树状图为，风险中性定价的扩展风险中性定价的扩展“日期日期1-状况状况1”的价格为的价格为“日期日期1-状况状况0”的价格为的价格为“日期日期0”的价格为的价格为风险中性定价的扩展风险中性
25、定价的扩展既然我们可以将风险中性定价模型由既然我们可以将风险中性定价模型由2期扩展到期扩展到3期，那么我们应当可以将其扩展至任何日期。计期，那么我们应当可以将其扩展至任何日期。计算算(n+1)个半年期债券价格的步骤如下：个半年期债券价格的步骤如下：(1)取得当时的利率期限结构，即取得当时的利率期限结构，即r(0.5),r(1),r(1.5),r(2)r(n/2+0.5)；(2)设定设定6个月期利率在未来个月期利率在未来n期期的演变图，换言之，就是的演变图，换言之，就是“日期日期0”到到“日期日期n-1”之间的利率树状图；之间的利率树状图；(3)分别计算分别计算1年期、年期、1.5年期年期（n/
26、2+0.5）年期零息债券价格的树状图，以及）年期零息债券价格的树状图，以及所有相关的风险中性概率；所有相关的风险中性概率；(4)计算计算(n+1)个半年期个半年期的债券价格：由债券的到期价值依次往前推算，的债券价格：由债券的到期价值依次往前推算，其依据是风险中性概率。最终得到第其依据是风险中性概率。最终得到第0期的价格。期的价格。一年期即期利率的树状图一年期即期利率的树状图根据前面所讨论的根据前面所讨论的1.5年期零息债券价格树状图，我年期零息债券价格树状图，我们可以计算们可以计算6个月之后所可能发生的两个个月之后所可能发生的两个1年期即期利年期即期利率。在率。在6个月之后，个月之后，1.5年
27、期的债券将成为年期的债券将成为1年期的零年期的零息债券，它有两个可能的价格：息债券，它有两个可能的价格：955.6376与与960.4493。这两个价格蕴含的。这两个价格蕴含的1年期利率为年期利率为4.59%与与4.08%，由于我们假定当时的，由于我们假定当时的1年期利率为年期利率为4.16%，因，因此，此，1年期利率的树状图如下：年期利率的树状图如下：单一因子模型的缺陷单一因子模型的缺陷实质上，上述实质上，上述6个月之后个月之后1年期即期利率之所以能年期即期利率之所以能够推算出来，是因为当我们确定了够推算出来，是因为当我们确定了6个月期利率的个月期利率的树状图之后，已经隐含的假定所有固定收益
28、证券树状图之后，已经隐含的假定所有固定收益证券的价格都可以由的价格都可以由6个月期利率的演变所决定。也就个月期利率的演变所决定。也就是说，我们假定的每种可能状况都完全取决于该是说，我们假定的每种可能状况都完全取决于该状况的状况的6个月期利率。个月期利率。在多重因子模型在多重因子模型(multi-factor)中，我们可以假定中，我们可以假定所有证券的价格是取决于数种而不是一种随机变所有证券的价格是取决于数种而不是一种随机变量。例如，在量。例如，在Longstaff and Schwartz(1992)的的模型中，可能的状况由短期利率水平及其波动率模型中，可能的状况由短期利率水平及其波动率共同决
29、定。共同决定。单一因子模型的缺陷单一因子模型的缺陷单一因子模型的重大缺陷在于，由于单一因子单一因子模型的重大缺陷在于，由于单一因子的随机演变将决定所有证券的价格，所以各种的随机演变将决定所有证券的价格，所以各种证券的报酬率之间具有完美的相关性。证券的报酬率之间具有完美的相关性。就技术上而言，不同到期日的债券报酬率之间就技术上而言，不同到期日的债券报酬率之间虽然存在正向关联，但并不完美。多因子模型虽然存在正向关联，但并不完美。多因子模型就能够做到这一点。然而，尽管多因子模型比就能够做到这一点。然而，尽管多因子模型比较符合实际情况，但模型本身非常难以处理。较符合实际情况，但模型本身非常难以处理。因
30、此，我们仅仅介绍比较单纯的单一因子模型。因此，我们仅仅介绍比较单纯的单一因子模型。时间阶段的缩短时间阶段的缩短将间隔时间缩短至将间隔时间缩短至6个月以下，在建构利率个月以下，在建构利率树状图时，仅仅涉及技术性而不是观念性树状图时，仅仅涉及技术性而不是观念性的调整。的调整。首先，利率期限结构的资料必须对应于模首先，利率期限结构的资料必须对应于模型所选定的时间阶段。型所选定的时间阶段。其次，利率树状图中所演变的利率也必须其次，利率树状图中所演变的利率也必须对应阶段的时间。对应阶段的时间。时间阶段的选择时间阶段的选择这必然导致另一个问题，即时间阶段如何这必然导致另一个问题，即时间阶段如何选择？选择？
31、第一，时间阶段越短，耗时越长；第一，时间阶段越短，耗时越长；第二，计算证券涉及的步骤越多，数据上第二，计算证券涉及的步骤越多，数据上的处理越需要留意，例如：四舍五入。的处理越需要留意，例如：四舍五入。最理想的时间阶段取决于所处理的问题。最理想的时间阶段取决于所处理的问题。比较精密的模型，允许树状图有数种时间比较精密的模型，允许树状图有数种时间阶段，以便在精密性与方便性之间取得最阶段，以便在精密性与方便性之间取得最佳的均衡。佳的均衡。期限结构模型的艺术期限结构模型的艺术利率模型利率模型到目前为止，我们已经知道，根据当时的到目前为止，我们已经知道，根据当时的利率期限结构，并假设短期利率的演变过利率
32、期限结构，并假设短期利率的演变过程，我们就可以为利率期权定价了。程，我们就可以为利率期权定价了。这一方法的内部结构相互协调而不矛盾，这一方法的内部结构相互协调而不矛盾，但价格的精确性则取决于利率模型的假设。但价格的精确性则取决于利率模型的假设。而如何假设短期利率的演变过程则更像是而如何假设短期利率的演变过程则更像是一门艺术。一门艺术。从这里开始，我们将介绍业内人士如何拟从这里开始，我们将介绍业内人士如何拟定假设，借以创造可靠的期限结构。定假设，借以创造可靠的期限结构。期限结构模型的艺术期限结构模型的艺术利率模型利率模型利率模型分为两类：无套利模型利率模型分为两类：无套利模型(arbitrage
33、-free model)和均衡模型和均衡模型(equilibrium model)。前者是指利用当前的债券市场价格推导出短期利率的演前者是指利用当前的债券市场价格推导出短期利率的演变过程，因此，无套利机会模型推导出的结果必须符合变过程，因此，无套利机会模型推导出的结果必须符合当时的利率期限结构。当时的利率期限结构。后者则不同，它并不认为债券的市场价格必然合理。从后者则不同，它并不认为债券的市场价格必然合理。从基本方面来说，均衡模型是根据当时的期限结构来推导基本方面来说，均衡模型是根据当时的期限结构来推导出期望报酬所具有的风险溢价。均衡模型一般先对经济出期望报酬所具有的风险溢价。均衡模型一般先对
34、经济变量做假设，并推导出一个关于短期利率的演变过程，变量做假设，并推导出一个关于短期利率的演变过程，然后再得出对债券价格与期权价格的影响。然后再得出对债券价格与期权价格的影响。简而言之，在均衡模型中，利率的演变过程是模型输出简而言之，在均衡模型中，利率的演变过程是模型输出的结果；在无套利模型中，今天的利率期限结构是作为的结果；在无套利模型中，今天的利率期限结构是作为输入值来使用的。输入值来使用的。利率模型利率模型无套利模型无套利模型从上一章可以看出，股票价格变动参数的设定决从上一章可以看出，股票价格变动参数的设定决定了股票期权二叉树中的风险中性概率，同理，定了股票期权二叉树中的风险中性概率，同
35、理，短期利率的演变过程参数的设定也将决定利率二短期利率的演变过程参数的设定也将决定利率二叉树中的风险中性概率。叉树中的风险中性概率。通常情况下，我们会假定利率变化服从某一分布通常情况下，我们会假定利率变化服从某一分布过程，然后，通过无套利的方法来确定这一分布过程，然后，通过无套利的方法来确定这一分布过程中的参数。过程中的参数。注意到，我们可以通过将风险中性概率设为注意到，我们可以通过将风险中性概率设为0.5，从而方便我们后来的计算，但此时随机游走过程从而方便我们后来的计算，但此时随机游走过程中的参数也会发生相应的变化。这些参数必须满中的参数也会发生相应的变化。这些参数必须满足均值和方差的要求。
36、足均值和方差的要求。一个简单的例子一个简单的例子r0r1,Lr1,Hr2,HHr3,HLLr3,HHLr2,LLr3,HHHr2,HLr3,LLL一个简单的例子一个简单的例子表示整个期间内表示整个期间内1年期利率波动的标准差；年期利率波动的标准差；r1,H表示在第表示在第1年底较高的年底较高的1年期即期利率；年期即期利率；r1,L表示在第表示在第1年底较低的年底较低的1年期即期利率；年期即期利率；由于我们假设了利率的变化服从对数正态随机游走过程，由于我们假设了利率的变化服从对数正态随机游走过程，这两者的关系就是：这两者的关系就是：r1,H=r1,Le2同理有同理有r2,HH=r2,LLe4;r
37、2,HL=r2,LLe2r3,HHH=r3,LLLe6;r3,HHL=r3,LLLe4;r3,HLL=r3,LLLe2因此，我们在每一阶段只需要计算出最低利率即可。因此，我们在每一阶段只需要计算出最低利率即可。一个简单的例子一个简单的例子假定市场上存在四种债券，四种债券都是按照面假定市场上存在四种债券，四种债券都是按照面值销售，因此债券的到期收益率等于其票面利率。值销售，因此债券的到期收益率等于其票面利率。同时假设这两种债券是按年付息，同时假设这两种债券是按年付息，=10%。有关。有关信息如下表信息如下表期限到期收益率市场价格即期利率13.51003.500024.21004.214734.7
38、1004.734545.21005.2707一个简单的例子一个简单的例子1003.5%VL4.2VH4.21004.21004.21004.2一个简单的例子一个简单的例子VH=(100+4.2)/(1+r1e2)VL=(100+4.2)/(1+r1)100=1/2*(VH+4.2)/(1+r0)+(VL+4.2)/(1+r0)解之得，解之得，r1=4.4448%重复上面的步骤，我们可以得到重复上面的步骤，我们可以得到r2,r3,r4rt。“Ho-Lee”模型模型Ho and Lee(1986)第一次提出了关于期限结构的无第一次提出了关于期限结构的无套利模型，在该模型中，短期利率的二项式变动套利
39、模型，在该模型中，短期利率的二项式变动如下：如下：也就是说，新的短期利率是前一期的短期利率，也就是说，新的短期利率是前一期的短期利率，加上某常数乘以时间阶段，再加上或减去某一个加上某常数乘以时间阶段，再加上或减去某一个常数乘以时间阶段的平方根。前者称之为趋势变常数乘以时间阶段的平方根。前者称之为趋势变量量(drift)，后者称之为随机偏离，后者称之为随机偏离(random deviation)。“Ho-Lee”模型模型在这里波动率和利率都是以基点的形式表在这里波动率和利率都是以基点的形式表示的，所以波动率示的，所以波动率()也称为基点波动率。也称为基点波动率。“Ho-Lee”模型模型剩下的工作
40、就如前面的那个简单例子一样剩下的工作就如前面的那个简单例子一样了，即确定参数了，即确定参数m和和的数值。的数值。波动率阐述波动率阐述是用来取得期权的是用来取得期权的“理想理想”价价格，它的数值可以根据利率波动率的某种格，它的数值可以根据利率波动率的某种看法、历史资料或某种隐含的方法来设定。看法、历史资料或某种隐含的方法来设定。下面我将简单的介绍一下如何使用历史资下面我将简单的介绍一下如何使用历史资料来确定波动率的方法。料来确定波动率的方法。波动率波动率波动率是利率模型的关键因素，我们可以用波动率是利率模型的关键因素，我们可以用标准差来表示波动率。标准差来表示波动率。用历史数据估计波动率用历史数
41、据估计波动率a)选择到期收益率的历史数据（每天）选择到期收益率的历史数据（每天）b)计算到期收益率变化的标准差计算到期收益率变化的标准差c)乘以乘以 365(或或 250)，得到年的波动率，得到年的波动率“Ho-Lee”模型模型让我们重新用回前面的半年期债券的例子。假定让我们重新用回前面的半年期债券的例子。假定等于等于0.45%，那么，那么6个月期（一个阶段）的波动率个月期（一个阶段）的波动率为，为，6个月期和个月期和1年期的即期利率分别为年期的即期利率分别为3.99%、4.16%，因此，因此，1年期零息债券的树状图应当为，年期零息债券的树状图应当为，“Ho-Lee”模型模型此时，使用利率二叉
42、树模型估计出的价格必须等此时，使用利率二叉树模型估计出的价格必须等于于1年期零息债券的价格，因此有年期零息债券的价格，因此有解之得，解之得，m=0.342089%。将这一数值代入到利率。将这一数值代入到利率树状图中，可得树状图中，可得“Ho-Lee”模型模型同样的，我们将利率树状图延伸一期，同样的，我们将利率树状图延伸一期，Ho-Lee模型假定了波动率保持不变，因此有模型假定了波动率保持不变，因此有“Ho-Lee”模型模型依据先前推演的数据，我们可以得到下图依据先前推演的数据，我们可以得到下图假定假定1.5年期零息债券的即期利率为年期零息债券的即期利率为4.33%，1.5年期零息年期零息债券的
43、价格为债券的价格为0.937764，那么，那么1.5年期零息债券的价格树年期零息债券的价格树状图应当为如下。状图应当为如下。“Ho-Lee”模型模型“Ho-Lee”模型模型对于一个对于一个1.5年期的零息债券来说，模型的定价必须等于年期的零息债券来说，模型的定价必须等于市场价格，因此有市场价格，因此有解之得，解之得，m=1.36176%，带入，带入6个月期的利率树状图可得个月期的利率树状图可得“Ho-Lee”模型模型依次类推，我们得到任何利率期间的树状图。但依次类推，我们得到任何利率期间的树状图。但该模型也存在一些缺点。该模型也存在一些缺点。第一个缺点就是该模型的正态分布假设，这将导第一个缺点
44、就是该模型的正态分布假设，这将导致利率可能为负值：当负值的随机冲击相当大时，致利率可能为负值：当负值的随机冲击相当大时，利率可能为负值。某些业内人士认为这是一个严利率可能为负值。某些业内人士认为这是一个严重的错误，但另一些人则认为，只要模型能够理重的错误，但另一些人则认为，只要模型能够理想的定价，不需过分在意这一点。想的定价，不需过分在意这一点。第二个缺点是短期利率的基点波动率不受利率水第二个缺点是短期利率的基点波动率不受利率水平的影响。而业内人士认为，当利率水平比较高平的影响。而业内人士认为，当利率水平比较高时，短期利率的基点波动率应该比较大。但这也时，短期利率的基点波动率应该比较大。但这也
45、不是一个公认的现象。不是一个公认的现象。所罗门兄弟模型所罗门兄弟模型所罗门兄弟模型弥补了所罗门兄弟模型弥补了Ho-Lee模型的一些缺陷，如使用模型的一些缺陷，如使用对数正态分布取代了正态分布，这保证了利率值不可能为对数正态分布取代了正态分布，这保证了利率值不可能为负；同时，短期利率的基点波动率将与利率水平成比例，负；同时，短期利率的基点波动率将与利率水平成比例，也就是说基点波动率等于比例波动率乘以利率。短期利率也就是说基点波动率等于比例波动率乘以利率。短期利率的演变过程如下：的演变过程如下：所罗门兄弟模型所罗门兄弟模型如果对树状图中的每个节点取自然对数，则有如果对树状图中的每个节点取自然对数，
46、则有换言之，短期利率的自然对数呈正态分布。在统计学上，换言之，短期利率的自然对数呈正态分布。在统计学上，某种随机变量的自然对数呈现正态分布，该随机变量本身某种随机变量的自然对数呈现正态分布，该随机变量本身呈现对数正态分布。呈现对数正态分布。所罗门兄弟模型所罗门兄弟模型我们使用与前面完全相同的计算方法可以得到模型的参数，我们使用与前面完全相同的计算方法可以得到模型的参数，进而得到各时间段的短期利率的演变过程。但是这一模型进而得到各时间段的短期利率的演变过程。但是这一模型同样具有缺陷。同样具有缺陷。与与Ho-Lee模型一样，原始的所罗门兄弟模型对短期利率模型一样，原始的所罗门兄弟模型对短期利率波动
47、率也提出的假设，只不过这一假设是隐含的而已。如波动率也提出的假设，只不过这一假设是隐含的而已。如果果6个月期利率的比例波动率为个月期利率的比例波动率为12%，则使用所罗门模型，则使用所罗门模型所隐含的波动率期限结构计算得到的所隐含的波动率期限结构计算得到的30年期利率的波动率年期利率的波动率将降至将降至10.5%。就实际观察而言，波动率的期限结构，期。就实际观察而言，波动率的期限结构，期斜率确实是下降的，但下降的速度快于所罗门兄弟模型所斜率确实是下降的，但下降的速度快于所罗门兄弟模型所蕴含的速度。蕴含的速度。Black-Derman-Toy模型模型和所罗门兄弟模型相比，这一模型的最主和所罗门兄
48、弟模型相比，这一模型的最主要的优点是可以反映利率期限结构的实际要的优点是可以反映利率期限结构的实际波动情况。这是因为，它假设短期利率波波动情况。这是因为，它假设短期利率波动率动率随时间而变动，且利率的趋势变量随时间而变动，且利率的趋势变量m将受到利率水准的影响。将受到利率水准的影响。业内人士认为，利率水平偏高时，它的趋业内人士认为，利率水平偏高时，它的趋势变量相对较小，甚至为负值，而当利率势变量相对较小，甚至为负值，而当利率水平偏低时，趋势变量相对较大。也就是水平偏低时，趋势变量相对较大。也就是说具有所谓的均值复归现象。说具有所谓的均值复归现象。Black-Derman-Toy模型模型BDT模
49、型具有如下的结构：模型具有如下的结构：为了保证树状图时结合的，我们一般假定为了保证树状图时结合的，我们一般假定这相当于假定，这相当于假定，其他的利率模型其他的利率模型同样的是，同样的是，BDT模型也并非是完美无缺的，它也模型也并非是完美无缺的，它也存在很多缺陷，后续的模型也对其进行了改进。存在很多缺陷，后续的模型也对其进行了改进。无套利的利率模型还有，无套利的利率模型还有，Black and Karasinski(1990)模型模型Hull and White(1990)模型模型等等利率模型中的均衡模型有利率模型中的均衡模型有Vasicek(1977)模型模型Rendleman and Bar
50、tter(1980)模型模型Cox,Ingersoll and Ross(1985)模型模型等等无套利模型和均衡模型的比较无套利模型和均衡模型的比较取得模型所需要的资料取得模型所需要的资料无套利模型需要即期利率期限结构的资料，相无套利模型需要即期利率期限结构的资料，相对容易取得；均衡模型需要以某种方法来衡量对容易取得；均衡模型需要以某种方法来衡量投资者承担利率风险所需要的报酬，难以取得。投资者承担利率风险所需要的报酬，难以取得。对资料瑕疵的敏感程度对资料瑕疵的敏感程度无套利机构模型将利率期限结构视为合理，但无套利机构模型将利率期限结构视为合理，但事实上，市场报价并不必然合理，这可能是由事实上，