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1、第三章第三章 协方差传播律及权协方差传播律及权 概概 述述3.1 3.1 协方差传播律协方差传播律3.2 3.2 协方差传播律的应用协方差传播律的应用3.3 3.3 权与定权的常用方法权与定权的常用方法3.4 3.4 协因数阵与权阵协因数阵与权阵3.5 3.5 协因数传播律协因数传播律3.6 3.6 由真误差计算中误差及其实际应用由真误差计算中误差及其实际应用3.7 3.7 系统误差的传播系统误差的传播结束结束概概 述述一、一、为什么要学习协方差传播律为什么要学习协方差传播律 以及什么是以及什么是协方差传播律协方差传播律二、二、学习协方差传播律需要的基础知识学习协方差传播律需要的基础知识返回返
2、回一、一、一、一、为什么要学习协方差传播律为什么要学习协方差传播律以及什么是以及什么是协方差传播律协方差传播律 在右图中，在右图中，在右图中，在右图中，A A、B B为已知点，为了确定为已知点，为了确定为已知点，为了确定为已知点，为了确定P P的平面坐标，观测了边长的平面坐标，观测了边长的平面坐标，观测了边长的平面坐标，观测了边长S S S S和角度和角度和角度和角度。则则则则P P P P点坐标为：点坐标为：点坐标为：点坐标为：式中：式中：1.1.1.1.问题的提出问题的提出问题的提出问题的提出：在已知观测边长：在已知观测边长：在已知观测边长：在已知观测边长S S S S和角度和角度和角度和
3、角度的方差和协方差的方差和协方差的方差和协方差的方差和协方差的前提下，如何计算的前提下，如何计算的前提下，如何计算的前提下，如何计算P P P P点坐标的方差和协方差？点坐标的方差和协方差？点坐标的方差和协方差？点坐标的方差和协方差？2.2.2.2.协方差传播律协方差传播律协方差传播律协方差传播律：是研究函数与自变量之间协方差的运算：是研究函数与自变量之间协方差的运算：是研究函数与自变量之间协方差的运算：是研究函数与自变量之间协方差的运算 规律。或者说：规律。或者说：规律。或者说：规律。或者说：是描述观测值方差与观测值函数方差之间的关系式。是描述观测值方差与观测值函数方差之间的关系式。是描述观
4、测值方差与观测值函数方差之间的关系式。是描述观测值方差与观测值函数方差之间的关系式。返回返回二、学习协方差传播律需要的基础知识二、学习协方差传播律需要的基础知识方差：方差：1、方差与协方差、方差与协方差 设有随机变量设有随机变量设有随机变量设有随机变量 X X X X 和和和和 Y Y Y Y，则定义：，则定义：，则定义：，则定义：协方差：协方差：相关与不相关、独立与不独立相关与不相关、独立与不独立 因为在测量中的观测值和观测误差均为服从正态分因为在测量中的观测值和观测误差均为服从正态分因为在测量中的观测值和观测误差均为服从正态分因为在测量中的观测值和观测误差均为服从正态分布的随机变量，布的随
5、机变量，布的随机变量，布的随机变量，“不相关不相关不相关不相关”与与与与“独立独立独立独立”等价等价等价等价，故称不相，故称不相，故称不相，故称不相关观关观关观关观测值为独立观测值，称相关观测值为不独立观测值。测值为独立观测值，称相关观测值为不独立观测值。测值为独立观测值，称相关观测值为不独立观测值。测值为独立观测值，称相关观测值为不独立观测值。二、学习协方差传播律需要的基础知识二、学习协方差传播律需要的基础知识 就是就是观测值向量观测值向量观测值向量观测值向量 的方差的方差的方差的方差-协方差阵协方差阵协方差阵协方差阵 简称为简称为简称为简称为协方差阵协方差阵协方差阵协方差阵。2、方差、方差
6、协方差阵与互协方差阵协方差阵与互协方差阵 假定有假定有假定有假定有 个不同精度的相关观测值个不同精度的相关观测值个不同精度的相关观测值个不同精度的相关观测值 ，数学期望和，数学期望和，数学期望和，数学期望和方差分别为方差分别为方差分别为方差分别为 和和和和 ，它们两两之间的协方差为，它们两两之间的协方差为，它们两两之间的协方差为，它们两两之间的协方差为 ,用矩阵表示为用矩阵表示为用矩阵表示为用矩阵表示为:方差方差协方差阵协方差阵学习协方差传播率需要的基础知识学习协方差传播率需要的基础知识设有观测值向量设有观测值向量设有观测值向量设有观测值向量 和和和和 ，它们的数学期望分别为，它们的数学期望分
7、别为，它们的数学期望分别为，它们的数学期望分别为 和和和和 。令：令：令：令：，则，则，则，则 的协方差阵为：的协方差阵为：的协方差阵为：的协方差阵为：式中：式中：式中：式中：是是是是X X关于关于关于关于Y Y的的的的互协方差阵互协方差阵互协方差阵互协方差阵。互协方差阵互协方差阵返回返回3.1 3.1 协方差传播律协方差传播律 一、观测值线性函数的方差一、观测值线性函数的方差一、观测值线性函数的方差一、观测值线性函数的方差设有观测值向量设有观测值向量设有观测值向量设有观测值向量 ，其数学期望为，其数学期望为，其数学期望为，其数学期望为 ，协方差阵为，协方差阵为，协方差阵为，协方差阵为 ,即即
8、即即 又设有的线性函数为：又设有的线性函数为：又设有的线性函数为：又设有的线性函数为：如何求如何求如何求如何求Z Z Z Z的方差呢？的方差呢？的方差呢？的方差呢？3.1 3.1 协方差传播律协方差传播律Z Z Z Z的方差为：的方差为：的方差为：的方差为：令：令：令：令：则：则：则：则：对对对对 两边取数学期望，得：两边取数学期望，得：两边取数学期望，得：两边取数学期望，得：即：即：3.1 3.1 协方差传播律协方差传播律的纯量形式为：的纯量形式为：的纯量形式为：的纯量形式为：当向量中的各分量当向量中的各分量当向量中的各分量当向量中的各分量两两独立时：两两独立时：两两独立时：两两独立时：（中
9、误差传播律）（中误差传播律）（中误差传播律）（中误差传播律）线性函数的协方差传播律概括如下：线性函数的协方差传播律概括如下：线性函数的协方差传播律概括如下：线性函数的协方差传播律概括如下：设有线性函数：设有线性函数：设有线性函数：设有线性函数：则有：则有：3.1 3.1 协方差传播律协方差传播律例例3-1 3-1 在在1 1：500500的地图上，量得某两点间的距离的地图上，量得某两点间的距离 =23.4mm=23.4mm 的量测中误差的量测中误差 =0.2mm=0.2mm，求该两点实地距离求该两点实地距离 及及中误差中误差 。解解：最后写成最后写成:3.1 3.1 协方差传播律协方差传播律
10、二、多个观测值线性函数的协方差阵二、多个观测值线性函数的协方差阵二、多个观测值线性函数的协方差阵二、多个观测值线性函数的协方差阵设有观测值向量设有观测值向量设有观测值向量设有观测值向量 ，其数学期望为，其数学期望为，其数学期望为，其数学期望为 ，协方差阵为，协方差阵为，协方差阵为，协方差阵为 ,即：即：即：即：3.1 3.1 协方差传播律协方差传播律设有设有t t个个 的线性函数：的线性函数：设设设设有有有有t t t t个个个个 的的的的线线线线性性性性函函函函数数数数：令：令：则：则：如何求如何求如何求如何求Z Z Z Z的协方差阵呢？的协方差阵呢？的协方差阵呢？的协方差阵呢？3.1 3.
11、1 协方差传播律协方差传播律证明：方法同一个线性函数，均根据方差定义推导。证明：方法同一个线性函数，均根据方差定义推导。3.1 3.1 协方差传播律协方差传播律设另有设另有r r个个 的线性函数：的线性函数：设设设设有有有有t t t t个个个个 的的的的线线线线性性性性函函函函数数数数：令：令：则：则：则则则则Y Y Y Y的协方差阵为：的协方差阵为：的协方差阵为：的协方差阵为：3.1 3.1 协方差传播律协方差传播律下面导出互协方差阵的公式：下面导出互协方差阵的公式：若：若：则：则：即：即：3.1 3.1 协方差传播律协方差传播律例例3-4 3-4 在一个三角形中，同精度独立观测得到在一个
12、三角形中，同精度独立观测得到 三个内角三个内角L1L1、L2L2、L3L3，其中误差均为其中误差均为，将，将 闭合差平均分配后各角的协方差阵。闭合差平均分配后各角的协方差阵。例例3-5 3-5 设有函数：设有函数：已知已知:求求:3.1 3.1 协方差传播律协方差传播律上节课小结：上节课小结：一个线性函数：一个线性函数：中误差传播律：中误差传播律：多个线性函数：多个线性函数：若：若：互协方差阵：互协方差阵：无协方差！无协方差！3.1 3.1 协方差传播律协方差传播律 三、非线性函数的情况三、非线性函数的情况三、非线性函数的情况三、非线性函数的情况 1.1.一个非线性函数一个非线性函数一个非线性
13、函数一个非线性函数 设有观测值设有观测值设有观测值设有观测值 的非线性函数：的非线性函数：的非线性函数：的非线性函数：已知协方差阵已知协方差阵已知协方差阵已知协方差阵 ，求方差，求方差，求方差，求方差。若有：若有：取台劳级数至一次项：取台劳级数至一次项：3.1 3.1 协方差传播律协方差传播律若令：若令：则：则：同样可得：同样可得：为什么？为什么？3.1 3.1 协方差传播律协方差传播律2 2 2 2多个非线性函数多个非线性函数多个非线性函数多个非线性函数 设有观测值设有观测值设有观测值设有观测值 的多个非线性函数的多个非线性函数的多个非线性函数的多个非线性函数 将函数求全微分得将函数求全微分
14、得将函数求全微分得将函数求全微分得 两组非线性函数时怎样做？两组非线性函数时怎样做？两组非线性函数时怎样做？两组非线性函数时怎样做？3.1 3.1 协方差传播律协方差传播律应用协方差传播律的具体步骤为：应用协方差传播律的具体步骤为：应用协方差传播律的具体步骤为：应用协方差传播律的具体步骤为：1.1.按要求写出函数式，如：按要求写出函数式，如：或：或：2.2.如果为非线性函数，则对函数式求全微分，得：如果为非线性函数，则对函数式求全微分，得：3.3.写成矩阵形式：写成矩阵形式：4.4.应用协方差传播律求方差或协方差阵：应用协方差传播律求方差或协方差阵：返回返回3.2 3.2 协方差传播律的应用协
15、方差传播律的应用 一、水准测量的精度一、水准测量的精度一、水准测量的精度一、水准测量的精度经个经个N N测站测定两水准点测站测定两水准点A A、B B间的高差，间的高差，站的观测高差为站的观测高差为 ，其中第其中第i(ii(i=1,2N)=1,2N)则则A A、B B两水准点间的高差为：两水准点间的高差为：（3-2-3-2-1 1）设各测站观测高差是设各测站观测高差是等精度等精度的的独立观测值独立观测值，其中误差均为，其中误差均为则由中误差传播律可得：则由中误差传播律可得：（3-2-3-2-2 2）若水准路线敷设在平坦的地区，前后量测站间的距离若水准路线敷设在平坦的地区，前后量测站间的距离s
16、s大致大致相等，设相等，设A A、B B间的距离为间的距离为S S，则测站数，则测站数N=S/sN=S/s，代入上式得：，代入上式得：（3-2-3-2-5 5）设设对对某某量量以以等等精精度度独独立立观观测测了了N N次次，得得观观测测值值 ，它它们们的中误差均等于的中误差均等于 。则。则N N个观测值的算术平均值为：个观测值的算术平均值为：由中误差传播律得：由中误差传播律得：即：即：N N个同精度独立观测值的算术平均值的中误差，等于各观测值的中误差除以个同精度独立观测值的算术平均值的中误差，等于各观测值的中误差除以 。3.2 3.2 协方差传播律的应用协方差传播律的应用二、同精度独立观测值的
17、算术平均值的精度二、同精度独立观测值的算术平均值的精度二、同精度独立观测值的算术平均值的精度二、同精度独立观测值的算术平均值的精度 设设对对某某量量以以等等精精度度独独立立观观测测了了N N次次，得得观观测测值值 ，它它们们的中误差均等于的中误差均等于 。则。则N N个观测值的算术平均值为：个观测值的算术平均值为：由中误差传播律得：由中误差传播律得：即：即：N N个同精度独立观测值的算术平均值的中误差，等于各观测值的中误差除以个同精度独立观测值的算术平均值的中误差，等于各观测值的中误差除以 。3.2 3.2 协方差传播律的应用协方差传播律的应用三、若干独立误差的联合影响三、若干独立误差的联合影
18、响三、若干独立误差的联合影响三、若干独立误差的联合影响 一个观测结果同时受到许多独立误差的联合影响。在这种情况下，一个观测结果同时受到许多独立误差的联合影响。在这种情况下，观测结果的真误差是各个独立误差的代数和，即观测结果的真误差是各个独立误差的代数和，即由于这里的真误差是相互独立的，各种误差的出现都是随机的，因而也由于这里的真误差是相互独立的，各种误差的出现都是随机的，因而也可由（可由（1-5-121-5-12）并顾及）并顾及 得出它们之间的方差关系式得出它们之间的方差关系式 即观测结果的方差即观测结果的方差 ，等于各独立误差所对应的方差之和。，等于各独立误差所对应的方差之和。五、五、五、五
19、、GISGIS线元要素的方差线元要素的方差线元要素的方差线元要素的方差四、交会定点的精度四、交会定点的精度四、交会定点的精度四、交会定点的精度返回返回3.3 3.3 权与定权的常用方法权与定权的常用方法一、权的定义一、权的定义称为观测值称为观测值LiLi的权。权与方差成反比：的权。权与方差成反比：表示各观测值方差之间比例关系的数字特征称之为权。表示各观测值方差之间比例关系的数字特征称之为权。权是表征精度的权是表征精度的相对的相对的数字指标。数字指标。（3）权是衡量精度的相对指标，为了使权起到比较精度的作用，同一平差问题只能选选定一个0。（4）只要事先给定一定的条件，就可以定权。3.3 3.3
20、权与定权的常用方法权与定权的常用方法关于权的几点重要解释：关于权的几点重要解释：二、单位权中误差二、单位权中误差三、常用的定权方法三、常用的定权方法1、水准测量的权、水准测量的权3.3 3.3 权与定权的常用方法权与定权的常用方法3 3、观测量中既有边又有角时的定权、观测量中既有边又有角时的定权3.3 3.3 权与定权的常用方法权与定权的常用方法返回返回2 2、同精度观测值的算术平均值的权、同精度观测值的算术平均值的权3.4 协因数阵与权阵一、协因数与协因数阵一、协因数与协因数阵注意：协因数与权互为注意：协因数与权互为 倒数关系！倒数关系！不难得出：为为协协因数阵因数阵3.4 协因数阵与权阵特
21、点特点：对称，对角元素为权倒数；对称，对角元素为权倒数；正定；正定；各观测量互不相关时，为对角矩阵。各观测量互不相关时，为对角矩阵。当为等精度观测，则为单位阵。当为等精度观测，则为单位阵。3.4 协因数阵与权阵二、权二、权阵阵返回返回3.4 协因数阵与权阵注意：当注意：当P为非对角阵为非对角阵时，时，Pii不是观测量不是观测量Li的的权，因为：权，因为：例例3-103-103.5 协因数传播律 设有观测值设有观测值X的线性函数：的线性函数：由协方差传播律得：由协方差传播律得：根据协因数阵的定义得：根据协因数阵的定义得：代入上式得：代入上式得：这就是协因数传播律！这就是协因数传播律！一、观测值线性函数的情况一、观测值线性函数的情况3.5 协因数传播律 设有观测值设有观测值X的非线性函数：的非线性函数：将其线性化后，得：将其线性化后，得：二、观测值非线性函数的情况二、观测值非线性函数的情况3.5 协因数传播律 三、权倒数传播律三、权倒数传播律对于非线性函数：对于非线性函数：先将其线性化：先将其线性化：同样由协因数传播律可得：同样由协因数传播律可得：这就是权倒数传播律！这就是权倒数传播律！返回返回