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1、第三章第三章 协方差传播率及权协方差传播率及权第三章第三章 协方差传播律及权协方差传播律及权3-1 观测向量及其方差观测向量及其方差协方差矩阵协方差矩阵3-2 协方差传播率协方差传播率3-3 协方差传播律的应用协方差传播律的应用3-4 权与定权的常用方法权与定权的常用方法3-5 协因数和协因数传律协因数和协因数传律3-6 由真误差计算中误差及其实际应用由真误差计算中误差及其实际应用3-7 系统误差的传播系统误差的传播第三章第三章 协方差传播率及权协方差传播率及权 作为衡量精度的指标，中误差可衡量一组观测值的精度。在实际工作中，我们得到的观测值往往是由多组观测值所构成的观测向量。比如，在GPS测
2、量中，基线观测值 就是观测向量。衡量观测向量之精度的指标是方差协方差矩阵。一般地，设n维观测向量为 则其方差协方差矩阵定义为：3-1 观测向量及其方差观测向量及其方差协方差矩阵协方差矩阵第三章第三章 协方差传播率及权协方差传播率及权式中：为观测向量的期望；为第i组观测值的方差；为第i组观测值关于第j组观测值的协方差，协方差用来描述第i个观测值与第j个观测值之间的相关程度。第三章第三章 协方差传播率及权协方差传播率及权 1、协方差传播律的作用、协方差传播律的作用 （图图31示例示例）计算观测向量函数的方差协方差矩阵，从而评定观测向量函数的精度。2、预备公式、预备公式当随机变量 两两独立时，有X、
3、Y相互独立时：3-2 协方差传播率协方差传播率第三章第三章 协方差传播率及权协方差传播率及权3、观测向量线性函数的方差、观测向量线性函数的方差 设观测向量X及其期望和方差为：观测向量线性函数为 式中：为常数。第三章第三章 协方差传播率及权协方差传播率及权Z的期望为Z的方差为即万能公式万能公式教材：例教材：例 31，32，33 P25下角例题下角例题习题：习题：3.2.07(1)，3.2.11(1)第三章第三章 协方差传播率及权协方差传播率及权4、多个观测向量线性函数的方差、多个观测向量线性函数的方差协方差矩阵协方差矩阵 若观测向量的多个线性函数为则令第三章第三章 协方差传播率及权协方差传播率及
4、权于是，观测向量的多个线性函数可写为 故有 式中：为对称方阵。若还有观测向量的另外r个线性函数 其矩阵形式为：第三章第三章 协方差传播率及权协方差传播率及权则有：而同理：教材：例教材：例 34，35，P30上角例题上角例题第三章第三章 协方差传播率及权协方差传播率及权5、观测向量非线性函数的方差、观测向量非线性函数的方差协方差矩阵协方差矩阵 设观测向量 的非线性函数为：已知X的协方差矩阵DXX，求函数Z的方差DZZ 基本思想：a、利用泰勒级数展开，略去二次以上项，得到函数的线性表达式；b、应用协方差传播律。第三章第三章 协方差传播率及权协方差传播率及权在近似值 处展开 当X与X0非常接近时，可
5、以略去二次以上小项（影响非常小）微分以后的系数均为具体数值，将常数提取出来，即得：第三章第三章 协方差传播率及权协方差传播率及权如果令：也可写为：因此只要对非线性函数求全微分，获得系数矩阵即可应用协方差传播率第三章第三章 协方差传播率及权协方差传播率及权6、多个观测向量非线性函数的方差、多个观测向量非线性函数的方差协方差矩阵协方差矩阵 基本思想：a、利用泰勒级数展开，略去二次以上项，得到函数的线性表达式；b、应用协方差传播律。设观测向量的t个非线性函数为：第三章第三章 协方差传播率及权协方差传播率及权 对上式求全微分，得第三章第三章 协方差传播率及权协方差传播率及权令 则由误差传播定律得：由以
6、上推导知，求非线性函数的方差协方差矩阵比求线性函数的方差协方差矩阵只多一个求全微分的步骤。教材：例教材：例 36、37，P33上角例题上角例题第三章第三章 协方差传播率及权协方差传播率及权 1)水准测量的精度水准测量的精度2)同精度独立观测值平均值的精度同精度独立观测值平均值的精度3)若干独立误差的联合影响若干独立误差的联合影响4)交会定点的精度交会定点的精度5)GIS线元要素的方差线元要素的方差6)时间观测序列平滑平均值的方差时间观测序列平滑平均值的方差3-3 协方差传播率的应用协方差传播率的应用第三章第三章 协方差传播率及权协方差传播率及权应用协方差传播律时应注意的问题应用协方差传播律时应
7、注意的问题（1）根据实际测量，正确地列出函数式；（2）全微分所列函数式，并用观测值计算偏导 数值；（3）计算时注意各项的单位要统一；（4）将微分关系写成矩阵形式；（5）直接应用协方差传播律，得出所求问题的方差协方差矩阵。第三章第三章 协方差传播率及权协方差传播率及权 权的概念表达观测值方差之间比例关系的数字特征观测值所占的比重，精度越高，比重越大，即与方差大小成反比。权的定义权的意义，不在于其数值的大小，重要的是它们之间的比例关系。单位权中误差的概念 权为1的观测值所对应的中误差，称为单位权中误差。定权的常用方法1、水准测量的权2、同精度观测值之算术平均值的权教材：例教材：例 38，393-4
8、 权与定权的常用方法权与定权的常用方法第三章第三章 协方差传播率及权协方差传播率及权协因数与协因数阵协因数与协因数阵 权与方差成反比，但习惯上总是找一个与方差成正比的量，并称这个量为协因数。权阵权阵3-5 协因数与协因数传播律协因数与协因数传播律第三章第三章 协方差传播率及权协方差传播率及权 设观测向量的t个非线性函数为：第三章第三章 协方差传播率及权协方差传播率及权 对上式求全微分，得第三章第三章 协方差传播率及权协方差传播率及权令 则由误差传播定律得：第三章第三章 协方差传播率及权协方差传播率及权协因数传播律协因数传播律教材：例教材：例 310，311，312，313习题：习题：3.5.5
9、3，3.5.56，3.5.58，3.5.64 第三章第三章 协方差传播率及权协方差传播率及权由前一章知，同精度独立观测值计算中误差不同精度独立观测值计算中误差3-5 由真误差计算中误差及其实际应用由真误差计算中误差及其实际应用第三章第三章 协方差传播率及权协方差传播率及权由真误差计算中误差的实际应用由真误差计算中误差的实际应用a.由三角形闭合差计算测角中误差b.由双观测值之差求中误差第三章第三章 协方差传播率及权协方差传播率及权由改正数计算中误差由改正数计算中误差由于由于第三章第三章 协方差传播率及权协方差传播率及权由改正数计算中误差由改正数计算中误差第三章第三章 协方差传播率及权协方差传播率
10、及权由改正数计算中误差由改正数计算中误差第三章第三章 协方差传播率及权协方差传播率及权 a.观测值的系统误差与综合方差b.其中 为系统误差系统误差为非随机变量，且与偶然误差互相独立，则即有综合方差3-7 系统误差的传播系统误差的传播第三章第三章 协方差传播率及权协方差传播率及权当系统误差 为偶然误差 的1/5时当系统误差 为偶然误差 的1/3时因此当系统误差为偶然误差的1/3或更小时，一般可忽略系统误差的影响第三章第三章 协方差传播率及权协方差传播率及权b.系统误差的传播第三章第三章 协方差传播率及权协方差传播率及权c.系统误差与偶然误差的联合传播系统误差为常数或常系差时 由于第三章第三章 协方差传播率及权协方差传播率及权当有 n 个观测值时：当Z为非线性函数时，首先线性化，然后利用上述公式即可 系统误差为随机系统误差时系统误差为随机系统误差时第三章第三章 协方差传播率及权协方差传播率及权小结：小结：1、方差、方差协方差矩阵的定义协方差矩阵的定义2、协方差传播律、协方差传播律（线性和非线性）3、应用协方差传播律所应注意的问题、应用协方差传播律所应注意的问题4、权与定权的常用方法（含协因数）、权与定权的常用方法（含协因数），权阵权阵5、系统误差的传播、系统误差的传播