第三章协方差传播律及权课件.ppt

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1、 第三章第三章 协方差传播律及权协方差传播律及权 2/5/20231第一节第一节 协方差传播律协方差传播律一一、协方差传播律、协方差传播律 在实际工作中，往往会遇到某些量的大小并不是直在实际工作中，往往会遇到某些量的大小并不是直接测定的，而是由观测值通过一定的函数关系间接计算出来接测定的，而是由观测值通过一定的函数关系间接计算出来的，即常常遇到的某些量是观测值的函数。这类例子很多，的，即常常遇到的某些量是观测值的函数。这类例子很多，例如，在一个三角形中，观测了三内角例如，在一个三角形中，观测了三内角L1L1、L2L2、L3L3，其闭合其闭合差差 和将闭合差平均分配之后所行的各角平差值和将闭合差

2、平均分配之后所行的各角平差值为为又如，在侧方交会中（如图又如，在侧方交会中（如图1-71-7），已知），已知A A、B B两点的坐标两点的坐标x xA A、y yA A和和x xB B、y yB B，它们之间的距离为，它们之间的距离为S S0 0和坐标方位角为和坐标方位角为a a0 0,由交会观测角由交会观测角L L1 1、L L2 2通过以下公式求交会点的坐标：通过以下公式求交会点的坐标：2/5/20232 现在提出这样一个问题：观测值的函数的中误差值的中现在提出这样一个问题：观测值的函数的中误差值的中误差之间，存在着怎样的关系？观测值函数的协因数与观测误差之间，存在着怎样的关系？观测值函数

3、的协因数与观测值的协因素之间，存大着怎样的关系？本节将导出这些关系值的协因素之间，存大着怎样的关系？本节将导出这些关系式，我们把这些关系式称为广义传播律。式，我们把这些关系式称为广义传播律。二、协方差传播律二、协方差传播律1 1观测值线性函数的协方差阵观测值线性函数的协方差阵 返回目录设有观测值设有观测值 ，其数学期望，其数学期望 ，协方差阵为，协方差阵为2/5/20233即即其中其中 为为Xi 的方差，的方差，为为Xi与与Xj的协方差，又设有的协方差，又设有X的线性函数为的线性函数为式中式中 式的纯量形式为式的纯量形式为2/5/20234现在来求现在来求Z Z的方差的方差D DZZZZ。取数

4、学期望，得。取数学期望，得 根据方差的定义可知，根据方差的定义可知，Z Z的方差为的方差为 代入上式，得代入上式，得所以所以 将上式展开成纯量形式，得将上式展开成纯量形式，得 返回目录2/5/20235 当向量中的各分量当向量中的各分量 两两独立时，它们之间的两两独立时，它们之间的协方差协方差 。此时上式为此时上式为2 2多个观测值线性函数的协方差阵多个观测值线性函数的协方差阵设有观测值设有观测值 ，它的数学期望，它的数学期望 与协方差阵与协方差阵 ，若有若有x x的的m m个线性函数个线性函数2/5/20236下面来求函数下面来求函数Z Z1 1、Z Z2 2、Z Zm m、的方差和它们之间

5、的协方差。的方差和它们之间的协方差。若令若令则上式可写为则上式可写为 也就是要求也就是要求Z Z的协方差阵的协方差阵D DZZZZ。因为因为Z Z 的数学期望为的数学期望为 所以，所以，Z Z的协方差阵为的协方差阵为 返回目录2/5/20237 设另外还有设另外还有X X的的r r个线性函数个线性函数 若记若记 返回目录2/5/20238Y Y的数学期望为的数学期望为 Y Y的协方差阵为的协方差阵为 下面再求下面再求Y Y关于关于Z Z的互协方差阵的互协方差阵 根据互协方差阵的定义可知根据互协方差阵的定义可知 将诸式代入上式得将诸式代入上式得所以所以 就是由就是由X X 的协方差阵求它的两组函

6、数的协方差阵求它的两组函数Y Y和和Z Z的互协方差阵的公式的互协方差阵的公式返回目录2/5/20239三、非线性函数广义传播律三、非线性函数广义传播律设有观测值设有观测值 的非线性函数的非线性函数已知已知X X的协方头阵为的协方头阵为D DXXXX，需求，需求Z Z的方差的方差 。为了计算非线性函数为了计算非线性函数Z=fZ=f（X X）的方差，必须先将非线性）的方差，必须先将非线性函数线性化。具体方法是：函数线性化。具体方法是：1 1取取X X 的近似值的近似值X X即即2 2在在X X处按台劳级数展，并略去二次以上各项，则得处按台劳级数展，并略去二次以上各项，则得式中，式中，2/5/20

7、2310 若令若令 3 3改写为改写为 dZdZ=FdXFdX 4 4依据广义传播律依据广义传播律 即得即得 或或 由上式可知，非线性函数的广义传播律在形式上与线性函由上式可知，非线性函数的广义传播律在形式上与线性函数的广义传播律是相同的。其区别仅在于为线性函数时，系数的广义传播律是相同的。其区别仅在于为线性函数时，系数矩阵数矩阵F F是已知的；而为非线性函数时，系数矩阵是已知的；而为非线性函数时，系数矩阵F F要通过线要通过线性化才能获得。性化才能获得。返回目录2/5/202311协方差传播应用步骤协方差传播应用步骤:根据实际情况确定观测值与函数根据实际情况确定观测值与函数,写出具体表达式写

8、出具体表达式写出观测量的协方差阵写出观测量的协方差阵对函数进行线性化对函数进行线性化协方差传播协方差传播2/5/202312 例1:设 ，已知 ，求 的方差 。例2:若要在两已知点间布设一条附和水准路线,已知每公里观测中误差等于5.0mm,欲使平差后线路中点高程中误差不大于10mm,问该路线长度最多可达几公里?2/5/202313例3：在一个三角形中，同精度独立观测得到三个内角L1、L2、L3，其中误差为，将闭合差平均分配后各角的协方差阵。例4：设有函数，已知求2/5/202314例例5 5、根据极坐标法测设、根据极坐标法测设P P点的坐标，设已知点的坐标，设已知点无误差，测角中误差为点无误差

9、，测角中误差为mm，边长中误差边长中误差mms s，试，试推导推导P P点的点位中误差。点的点位中误差。ABPmssmump2/5/202315第二节第二节 协方差传播律的应用协方差传播律的应用一一、水准测量的精度、水准测量的精度1 1水准测量总高差的中误差水准测量总高差的中误差 经经N N个测站测定个测站测定A A、B B两水准点间的高差，其中第两水准点间的高差，其中第i i站的观站的观测高差为测高差为h hi i，则，则A A、B B两水准点间的总高差两水准点间的总高差h hABAB为为 设各测站观测高差是精度相同的独立观测值，其中误差均为设各测站观测高差是精度相同的独立观测值，其中误差均

10、为 则可由协方差传播律并顾及则可由协方差传播律并顾及 求得求得h hABAB的方差的方差 由此得中误差由此得中误差 返回目录2/5/202316 若水准路线敷设在平坦地区，前后两测站间的距离若水准路线敷设在平坦地区，前后两测站间的距离s s 大致相等，设大致相等，设A A、B B间的距离为间的距离为S S，则测站数则测站数N=S/sN=S/s，代入代入 上式得上式得 如果如果S=S=1 1kmkm，s s以以kmkm为单位，则一公里的测站数为为单位，则一公里的测站数为 而一公里观测高差的中误差即为而一公里观测高差的中误差即为 所以，距离为所以，距离为S S公里的公里的A A、B B两点的观测高

11、差的中误差为两点的观测高差的中误差为 返回目录2/5/202317二同精度观测值的算术平均值的权二同精度观测值的算术平均值的权 设对某量以同精度独立观测了设对某量以同精度独立观测了N N次，得观测值次，得观测值L L1 1,L,L2 2,L Ln n 它们的中误差均等于它们的中误差均等于 则则N N个观测值的算术平均值个观测值的算术平均值x x为为 由协方差传播律知，平均值由协方差传播律知，平均值x x的方差的方差 中误差为中误差为 返回目录2/5/202318 设在三角网中独立等精度观测了各三角形之内角，中误差皆设在三角网中独立等精度观测了各三角形之内角，中误差皆为为 ，并设各三角形的闭合差

12、为、，并设各三角形的闭合差为、WW1 1，WW2 2,WWn n即，即，WWi i=A=Ai i+B+Bi i+C+Ci-i-180180。设闭合差的中误差是。设闭合差的中误差是 。应用误差传播定律。应用误差传播定律有有 ，因为闭合差是真误差，故由中误差定义可得闭合差，因为闭合差是真误差，故由中误差定义可得闭合差的中误差是的中误差是，三、由三角形闭合差计算测角中误差菲列罗公式三、由三角形闭合差计算测角中误差菲列罗公式2/5/202319四、若干独立误差的联合影响四、若干独立误差的联合影响 在测量中常常遇到这种情况：一个观测结果同时受到许多在测量中常常遇到这种情况：一个观测结果同时受到许多独立误

13、差的联合影响。例如照准误差、读数误差、目标误差和独立误差的联合影响。例如照准误差、读数误差、目标误差和仪器误差对测角的影响。在这种情况下观测结果的真误差是各仪器误差对测角的影响。在这种情况下观测结果的真误差是各个独立误差的代数和，即个独立误差的代数和，即 由于这里的真误差相互独立，各种误差的出现都是随机的。根由于这里的真误差相互独立，各种误差的出现都是随机的。根据方差传播定律可知据方差传播定律可知 即观测结果的方差等于各个独立误差所对应的方差之和。即观测结果的方差等于各个独立误差所对应的方差之和。2/5/202320五、限差的确定五、限差的确定 例如：已知二等三角测量中的观测角中误差是例如：已

14、知二等三角测量中的观测角中误差是1 1，在求三，在求三角形闭合差的限差时有角形闭合差的限差时有 例如：已知用例如：已知用T T3 3经纬仪观测每一个方向的中误差是经纬仪观测每一个方向的中误差是1.21.2 ，设归零差为设归零差为d d，两次照准零方向的观测值是，两次照准零方向的观测值是L L1 1和和L L2 2。则求归零差。则求归零差的极限误差时有的极限误差时有于是归零差的限差是于是归零差的限差是 但在实际作业中，归零差中不仅包含偶然误差的影响，还受一些但在实际作业中，归零差中不仅包含偶然误差的影响，还受一些系统误差的一些。所以规范轨道的限差应当放宽一些。系统误差的一些。所以规范轨道的限差应

15、当放宽一些。2/5/202321六、三角高程测量的精度六、三角高程测量的精度 若在若在A、B两点间进行三角高程测量，在两点间进行三角高程测量，在A点观测点观测B点的高度点的高度角是角是 ，两点间的水平距离是，两点间的水平距离是S，在不考虑仪器高和目标，在不考虑仪器高和目标高的情况下，可计算高的情况下，可计算A、B两点间高差的基本公式是两点间高差的基本公式是设设s和和 的中误差是的中误差是 、，则由方差传播定律可得两点间，则由方差传播定律可得两点间高差的中误差是高差的中误差是在实际应用中，由于距离的中误差远远小于测角中误差，所以在实际应用中，由于距离的中误差远远小于测角中误差，所以第一项可忽略不

16、计；又因为垂直角一般小于第一项可忽略不计；又因为垂直角一般小于 ，可以认为，可以认为 。故得。故得表明三角高程测量的中误差与三角点的距离成正比。表明三角高程测量的中误差与三角点的距离成正比。2/5/202322 第三节 权与定权的常用方法一权的定义 设有观测值设有观测值L Li i(i=1,2,n)(i=1,2,n)它们的方差为它们的方差为 如选定任一常数如选定任一常数 则定义则定义 并称为观测值的权。并称为观测值的权。由权的定义式可以写出各观测值的权之间的比例关系为由权的定义式可以写出各观测值的权之间的比例关系为 可见，对于一组观测值，其权之比等于相应方差的倒数之比，可见，对于一组观测值，其

17、权之比等于相应方差的倒数之比，这就表明，方差（或中误差）愈小，其权愈大；或者说，精这就表明，方差（或中误差）愈小，其权愈大；或者说，精度愈高，其权愈大。因此，权可以作为比较观测值之间的精度愈高，其权愈大。因此，权可以作为比较观测值之间的精度高低的一种指标。度高低的一种指标。返回目录 返回本节2/5/202323回目录 返回本节是可以任意定的常数，例如在如图的水准网中，是可以任意定的常数，例如在如图的水准网中，已知各条路线的距离为已知各条路线的距离为S1=1.5kmS1=1.5kmS2=2.5km S2=2.5km S3=2.0km S3=2.0km S4=4.0km S4=4.0km S5=3

18、.0kmS5=3.0km在该水准网中，如果我们并不知道每公里观测中误差的具体数在该水准网中，如果我们并不知道每公里观测中误差的具体数值，而只知道每公里观测高差的精度相同，例如，水准网中的值，而只知道每公里观测高差的精度相同，例如，水准网中的所有水准路线都是按同一等级水准测量规定的技术要求进行观所有水准路线都是按同一等级水准测量规定的技术要求进行观测的，那么，一般就可认为每公里观测高差的精度是相同的，测的，那么，一般就可认为每公里观测高差的精度是相同的，此时若假定每公里观测高差差的中误差为此时若假定每公里观测高差差的中误差为 ，则根据协方差，则根据协方差传播律可知，各线路观测高差的中误差为传播律

19、可知，各线路观测高差的中误差为2/5/202324如令如令 ，则得，则得可以看出，在上述事先给定的条件之下（即每公里观测高可以看出，在上述事先给定的条件之下（即每公里观测高差的精度相同，各线路的距离不等），由于差的精度相同，各线路的距离不等），由于 ，其，其中中 是一个定值，是一个定值，Si Si为第为第i i条线路的公里数，当条线路的公里数，当Si Si愈小，则愈愈小，则愈小，而其对应的权则愈大，反之亦然。所以，通过权的大小，而其对应的权则愈大，反之亦然。所以，通过权的大小可以反映各观测高差的精度高低。小可以反映各观测高差的精度高低。若另选若另选 则得则得 这一组权虽然由于所取的值不同，其大

20、小与前一组不这一组权虽然由于所取的值不同，其大小与前一组不同，但它们同样能反映各观测高差间的精度高低。同，但它们同样能反映各观测高差间的精度高低。由以上例子可知，对于一组已知中误差的观测值由以上例子可知，对于一组已知中误差的观测值而言：而言：（1 1）选定了一个）选定了一个 值，即有一组对应的权。或者说有值，即有一组对应的权。或者说有一组权，必有一个对应的一组权，必有一个对应的 值。值。2/5/202325（2 2）一组观测值的权，其大小是随）一组观测值的权，其大小是随 的不同而异，但不论的不同而异，但不论 选用何值，权之间的比例关系始终不变。如果设观测值选用何值，权之间的比例关系始终不变。如

21、果设观测值 对于选定的对于选定的 和和 的权分别为的权分别为 和和 则有则有例如，前述的两组权之比为例如，前述的两组权之比为（3 3）为了使权能起到比较精度高低的作用，在同一问题中只）为了使权能起到比较精度高低的作用，在同一问题中只能选定一个能选定一个 值，不能同时选用几个不同的值，不能同时选用几个不同的 值，否则就破值，否则就破坏了权之间的比例关系。坏了权之间的比例关系。（4 4）只要事先给定了一定的条件，例如，已知每公里观测高）只要事先给定了一定的条件，例如，已知每公里观测高差的精度相同和各水准线路的公里数，则不一定要知道每公里差的精度相同和各水准线路的公里数，则不一定要知道每公里观测高差

22、精度的具体数值，就要以确定出权的数值。观测高差精度的具体数值，就要以确定出权的数值。由以上讨论可知，方差用来反映观测值的绝对精度，而权仅由以上讨论可知，方差用来反映观测值的绝对精度，而权仅是用来比较各观测值相互之间精度高低的比例数。因而，权是用来比较各观测值相互之间精度高低的比例数。因而，权的意义，不在于它们本身数值的大小，而重要的是它们之间的意义，不在于它们本身数值的大小，而重要的是它们之间所存在的比例关系。所存在的比例关系。2/5/202326 在上述的水准网的前一组权在上述的水准网的前一组权 中，因令中，因令 ，实际上就，实际上就是以是以h h5 5的精度作为标准，其它观测高差的精度都是

23、和它进行的精度作为标准，其它观测高差的精度都是和它进行比较。因此，比较。因此，h h5 5的权的权p p5=15=1而其它的观测高差的权，则是以而其它的观测高差的权，则是以p p5 5作为单位而确定出来的。同样，在后一组权作为单位而确定出来的。同样，在后一组权 中，因令中，因令 故故 ，其它观测，高差的权，就是以，其它观测，高差的权，就是以 作为单位而确定出来的。作为单位而确定出来的。由此可见，凡是中误差等于由此可见，凡是中误差等于 的观测值，其权必然等于的观测值，其权必然等于1 1；或；或者说，权为者说，权为1 1的观测值的中误差必然等于的观测值的中误差必然等于 。因此，通常称。因此，通常称

24、 为单位权中误差，而称为单位权中误差，而称 为单位权方差或方差因子，把权等为单位权方差或方差因子，把权等于于1 1的观测值，称为单位权观测值。例如，在例中，前一组权的观测值，称为单位权观测值。例如，在例中，前一组权中的中的p p5 5=1,=1,此时令此时令 所以就是单位权中误差，就是单位权所以就是单位权中误差，就是单位权观测值；而后一组权中的此时令观测值；而后一组权中的此时令 ，所所 以以 就是单位权中误差，就是单位权中误差，就是单位权观测值。就是单位权观测值。因为因为 可以是任意选定的某一常数，故所选定的也可能不等可以是任意选定的某一常数，故所选定的也可能不等于某一个具体观测值的中误差。于

25、某一个具体观测值的中误差。二、单位权中误差二、单位权中误差2/5/202327 例如，对于上述水准网，若选定例如，对于上述水准网，若选定 ，则可求得，则可求得一组权为一组权为在确定一组同类元素的观测值的权时，所选取的单位权中误差在确定一组同类元素的观测值的权时，所选取的单位权中误差的单位，一般是与观测值中误差的单位相同的，由于权是单位的单位，一般是与观测值中误差的单位相同的，由于权是单位权中误差平方与观测值中误差平方之比，所以，权一般是一组权中误差平方与观测值中误差平方之比，所以，权一般是一组无量纲的数值，也就是说，在这种情况下权是没有单位的。但无量纲的数值，也就是说，在这种情况下权是没有单位

26、的。但如果需要确定权的观测值（或它们的函数）包含有两种以上的如果需要确定权的观测值（或它们的函数）包含有两种以上的琐类型元素时，情况就不同了。例如，要确定其权的观测值琐类型元素时，情况就不同了。例如，要确定其权的观测值（或它们的函数）包含有角度和长度，它们的中误差的单位分（或它们的函数）包含有角度和长度，它们的中误差的单位分别为别为“秒秒”和和“毫米毫米”。这时，不再是这时，不再是5 5个观测值中某一个的中误差。因而，也就不个观测值中某一个的中误差。因而，也就不出现数值为出现数值为1 1的权。所以为了实际的需要或计算上的方便，的权。所以为了实际的需要或计算上的方便，可以选取某一假定的观测值作为

27、单位权观测值，以这个假定可以选取某一假定的观测值作为单位权观测值，以这个假定观测值的中误差作为单位权中误差。如这里选观测值的中误差作为单位权中误差。如这里选 它是代它是代表路线长度为表路线长度为6 6公里的观测高差的中误差，因此，路线长度公里的观测高差的中误差，因此，路线长度为为6 6公里的观测高差就是单位权观测值，它的中误差就是单公里的观测高差就是单位权观测值，它的中误差就是单位权中误差。位权中误差。2/5/202328 若选取的单位权中误差的单位是秒，即与角度观测值之中误若选取的单位权中误差的单位是秒，即与角度观测值之中误差单位相同，那么，各个角度观测值的权是无量纲（或无单差单位相同，那么

28、，各个角度观测值的权是无量纲（或无单位）的，而长度观测值的权的量纲则为位）的，而长度观测值的权的量纲则为“秒秒2/mm22/mm2”。这种这种情况在平差计算中是常常会遇到的。情况在平差计算中是常常会遇到的。返回目录 返回本节2/5/202329三、测量中常用的定权方法三、测量中常用的定权方法1 1水准路线的权水准路线的权 经经N N个测站测定个测站测定A A、B B两水准点间的高差，其中第两水准点间的高差，其中第i i站的观站的观测高差为测高差为hi hi，则，则A A、B B两水准点间的总高差两水准点间的总高差h hABAB为为 如果以如果以P PABAB代表代表h hABAB的权，并设单位

29、权中误差为的权，并设单位权中误差为 则根据权的定义式得则根据权的定义式得 即水准路线的权与该路线上所设测站数成反比。即水准路线的权与该路线上所设测站数成反比。设各测站观测高差是精度相同的独立观测值，其中误差均为设各测站观测高差是精度相同的独立观测值，其中误差均为 ，则可由协方差传播律顾及，则可由协方差传播律顾及 ，由此得中误差，由此得中误差2/5/202330如果设单位权中误差为如果设单位权中误差为 则得则得 即平坦地区水准路线的权与该路线的长度成反比。即平坦地区水准路线的权与该路线的长度成反比。2、同精度观测值的算术平均值的权同精度观测值的算术平均值的权设对某量以同精度独立观测了设对某量以同

30、精度独立观测了N N次，得观测值次，得观测值 它们的中误差均等于它们的中误差均等于 ，则，则N N个观测值的算术平均值个观测值的算术平均值x x为为由协方差传播律知，平均值由协方差传播律知，平均值x x的方差的方差式中误差为式中误差为2/5/202331 若有若有 ，它们分别是，它们分别是 次同精度次同精度 观测值的平均值，若每次观测的中误差均为观测值的平均值，若每次观测的中误差均为 ，则，则LiLi的中误差为的中误差为 如果如果P=1 C=NP=1 C=NC C的意义的意义 1.C1.C是一次观测的权倒数是一次观测的权倒数 2.C2.C是单位权观测值的观测次数是单位权观测值的观测次数 令令则

31、由权定义可得则由权定义可得 的权的权 为为如果2/5/2023323 3、丈量距离的权丈量距离的权设单位距离的中误差均相等，为设单位距离的中误差均相等，为，则长度为则长度为则长度为则长度为距离中误差为距离中误差为距离中误差为距离中误差为令令令令则则则则C C是单位长度的丈量距离的权，也是单位权观测值的长度是单位长度的丈量距离的权，也是单位权观测值的长度是单位长度的丈量距离的权，也是单位权观测值的长度是单位长度的丈量距离的权，也是单位权观测值的长度2/5/2023331 1在一等三角锁中共测量了九个三角形，各三角形闭合差分在一等三角锁中共测量了九个三角形，各三角形闭合差分别是、。求测角中误差。别

32、是、。求测角中误差。2 2已知每一测站的高差是已知每一测站的高差是4 4个同精度水准仪观测结果的中数，个同精度水准仪观测结果的中数，此中数的中误差是。求（此中数的中误差是。求（1 1）1616个测站高差和的中误差，个测站高差和的中误差，（2 2）若每一个测站只用一台水准仪进行测量，求）若每一个测站只用一台水准仪进行测量，求1616个测站高个测站高差和的中误差。差和的中误差。3 3设在全长设在全长9 9公里的两水准点间分等长的公里的两水准点间分等长的9 9段实测高差，若求段实测高差，若求得两点高差的中误差是。求每公里观测高差的中误差。得两点高差的中误差是。求每公里观测高差的中误差。4 4水准测量

33、中，水准测量中，1010公里观测高差的中误差是。求公里观测高差的中误差是。求5 5公里观测公里观测高差的中误差。高差的中误差。5 5二、三等三角测量的测角中误差分别是、。试求二、三等二、三等三角测量的测角中误差分别是、。试求二、三等三角测量的闭合差的限差。三角测量的闭合差的限差。6 6若每公里水准路线的往返观测的允许闭合差是，则若每公里水准路线的往返观测的允许闭合差是，则4 4公里公里路线往返高差的闭合差应当是多少？路线往返高差的闭合差应当是多少？2/5/202334 第四节第四节 协因数和协因数传播律协因数和协因数传播律一一、协因数协因数 由权的定义知道，观测值的权与它的方差成反比。设有观测

34、由权的定义知道，观测值的权与它的方差成反比。设有观测值值L Li i和和L Lj j，它们的方差分别为它们的方差分别为 和和 ，我们令，我们令称称QiiQii和和QjjQjj分别为分别为LiLi和和LjLj的协因数或权倒数。的协因数或权倒数。仍然是单位权中误差。仍然是单位权中误差。或写为或写为2/5/202335 二、协因数阵二、协因数阵 前面我们已经定义了一个观测值的协因数，即观测值的前面我们已经定义了一个观测值的协因数，即观测值的权倒数，其表达式为：权倒数，其表达式为：有了协方差的概念后，即可定义两个随机变量之间的互有了协方差的概念后，即可定义两个随机变量之间的互协因数，其表达式为：协因数

35、，其表达式为：2/5/202336 现将现将n n维随机向量维随机向量 的方差的定义同乘以一个纯量因子的方差的定义同乘以一个纯量因子 ，并顾及以上两式，则得：，并顾及以上两式，则得：通常，将由协因数通常，将由协因数 和互协因数和互协因数 按照一定顺序排列成的矩按照一定顺序排列成的矩阵称为协因数阵，记作阵称为协因数阵，记作 ，即，即2/5/202337 在协因数阵在协因数阵 中，主对角线元素实为随机变量中，主对角线元素实为随机变量 的协因的协因数，即权倒数，而非主对角元素数，即权倒数，而非主对角元素 实为随机变量实为随机变量 关于随机变量关于随机变量 的互协因数，且有的互协因数，且有 。上式表明

36、：任一随机向量的协方差阵恒等于它的协因数阵与单位权上式表明：任一随机向量的协方差阵恒等于它的协因数阵与单位权方差因子的乘积。方差因子的乘积。任一随机向量的协因数阵与协方差阵之间的关系式为任一随机向量的协因数阵与协方差阵之间的关系式为互协因数互协因数 与协方差与协方差 一样，也是两个随机变量相关程度一样，也是两个随机变量相关程度的标志。当的标志。当 时，时，则则 互不相关。互不相关。2/5/202338 式中，式中，Q QXXXX、Q QYYYY分别为分别为X X，Y Y向量的协因数阵，向量的协因数阵，Q QXYXY中的元中的元素就是素就是XiXi关于关于YiYi的相关协因数，而的相关协因数，而

37、Q Q XYXY称为互协因数阵称为互协因数阵Q QXXXX和和Q QYYYY互为转量。当互为转量。当Q QXYXY=0=0，则表示则表示X X、Y Y这两个向量组互不相这两个向量组互不相关。换言之，欲证明两个向量组是互不相关的，只需证明这关。换言之，欲证明两个向量组是互不相关的，只需证明这两量间的互协因数阵为零即可。两量间的互协因数阵为零即可。同样，如果有观测值同样，如果有观测值 ，若当若当则则Z Z的协因数阵的协因数阵QzzQzz为为2/5/202339三、权阵三、权阵 一个观测值一个观测值LiLi的权的权Pi Pi与其协因数与其协因数 QiiQii互为倒数，即有互为倒数，即有即得观测值向量

38、即得观测值向量X X的权阵与其协方差阵之间的关系式为的权阵与其协方差阵之间的关系式为即，观测值向量即，观测值向量X X的权阵是其协因数阵的权阵是其协因数阵 的逆阵。或者的逆阵。或者说，协因数阵和权阵互为逆矩阵。因此，下式成立说，协因数阵和权阵互为逆矩阵。因此，下式成立将上述概念推广，即可定义将上述概念推广，即可定义n n维观测值向量维观测值向量 的权阵的权阵 为为或写为或写为2/5/202340设有独立观测值设有独立观测值 ，其方差为，其方差为 ，权为，权为Pi Pi，单位权方差为单位权方差为 ，现组成向量和矩阵，现组成向量和矩阵 由于由于D DXXXX是对称矩阵，因此，是对称矩阵，因此，P

39、PXXXX也是对称矩阵。若记权阵为：也是对称矩阵。若记权阵为：则有则有2/5/202341 可见，可见，P PLLLL是由独立观测值是由独立观测值LiLi的权的权pi pi构成的对角阵，且构成的对角阵，且P PLLLL与权与权逆阵（协因数阵）逆阵（协因数阵）Q QLLLL互为逆阵，通常称互为逆阵，通常称P PLLLL为为L L的权阵。类似的权阵。类似地，对相关的观测向量地，对相关的观测向量X X，如令如令L L的协因数阵为的协因数阵为则有则有2/5/202342这时，这时，P PXXXX与与Q QXXXX均不是对角矩阵，它们分别为均不是对角矩阵，它们分别为进一步展开得：进一步展开得：2/5/2

40、02343二、协因数传播律二、协因数传播律 由于任何一向量的协方差阵总是等于单位权方差因子由于任何一向量的协方差阵总是等于单位权方差因子 与该向量的协因数阵的乘积，因此，可以很方便地由协方差与该向量的协因数阵的乘积，因此，可以很方便地由协方差传播律的公式得到协因数传播律的公式传播律的公式得到协因数传播律的公式上式又称为权倒数传播律，显然，权倒数传播律是协因数传播律上式又称为权倒数传播律，显然，权倒数传播律是协因数传播律的一个特例。的一个特例。协方差传播律和协因数传播律合称为广义传播律。特殊情况，协方差传播律和协因数传播律合称为广义传播律。特殊情况，当当 互相独立，并且只有一个函数互相独立，并且

41、只有一个函数2/5/202344第五节第五节由真误差计算中误差及其实际应用由真误差计算中误差及其实际应用一一、用不同精度的真误差计算权中误差的基本公式用不同精度的真误差计算权中误差的基本公式 设有一组同精度独立观测值设有一组同精度独立观测值 ，它们的数学期望为，它们的数学期望为 ，真误差为，真误差为 ,有有的数学期望为的数学期望为 ，它们的中误差也等于，它们的中误差也等于 。由于。由于LiLi和和 都服从正态分布，所以可以将它们写为都服从正态分布，所以可以将它们写为观测值观测值LiLi的中误差为的中误差为2/5/202345 现在设现在设 ，是一组不同精度的独立观测值，它们所对是一组不同精度的

42、独立观测值，它们所对应的数学期望，中误差和权分别为应的数学期望，中误差和权分别为当当n n为有限值时为有限值时根据权的定义知根据权的定义知对应的真误差对应的真误差2/5/202346 可以看到，为了求得单位权中误差可以看到，为了求得单位权中误差 ，应需要得到一组精，应需要得到一组精度相同且其权为度相同且其权为1 1的独立的真误差。我们不妨假定的独立的真误差。我们不妨假定 是一组同是一组同精度，且权为精度，且权为 的独立的真误差，并设的独立的真误差，并设 与与 有关系有关系这是一组同精度且权为这是一组同精度且权为1 1的真误差，由于的真误差，由于 是独立的真误差，是独立的真误差，所以，所以，也是

43、一组独立的真误差，即有也是一组独立的真误差，即有根据协方差传播律知根据协方差传播律知所以，所以，2/5/202347 上式就是根据一组不同精度的真误差所定义的单位权中误上式就是根据一组不同精度的真误差所定义的单位权中误差的理论值。实用上，由于差的理论值。实用上，由于n n总是有限的，故只能求得单位权总是有限的，故只能求得单位权中误差中误差 的估值的估值 ，即，即则可写出则可写出2/5/202348 设有一系列观测值设有一系列观测值Li 组成的向量组成的向量 ，其中、，其中、和和 分别是观测值向量的真误差向量、自协方差阵、权分别是观测值向量的真误差向量、自协方差阵、权阵和自协因素阵（权逆阵）。并

44、设阵和自协因素阵（权逆阵）。并设 是单位权方差，则它是单位权方差，则它们存在如下关系：们存在如下关系：上式两边取矩阵的迹，有上式两边取矩阵的迹，有2/5/202349当各观测值是独立等精度观测时，其权可视为当各观测值是独立等精度观测时，其权可视为1 1，则有，则有当各观测值相互独立时，则有当各观测值相互独立时，则有2/5/202350二二、由真误差计算中误差的实际应用由真误差计算中误差的实际应用1 1由双观测值之差求中误差由双观测值之差求中误差 在测量工作中，常常对一系列被观测量分别进行成对的观在测量工作中，常常对一系列被观测量分别进行成对的观测。例如，在水准测量中对每段进行返观测；在导线测量

45、中测。例如，在水准测量中对每段进行返观测；在导线测量中第条一边测量两次等。这种成对的观测，称为双观测，对同第条一边测量两次等。这种成对的观测，称为双观测，对同一个量所进行的两次观测称为一个观测对。一个量所进行的两次观测称为一个观测对。设对量设对量 各测两次，得独立观测值为各测两次，得独立观测值为其中观测对其中观测对 和和 是对量是对量XiXi的两次观测的结果。又假定的两次观测的结果。又假定不同的观测对的精度不同，而同一观测对的两个观测值不同的观测对的精度不同，而同一观测对的两个观测值的精度相同，的精度相同，返回目录2/5/202351设已知各观测对的权分别为设已知各观测对的权分别为即即 和和

46、的权都为的权都为p pi i 对于任何一个观测量而言，不论其真值对于任何一个观测量而言，不论其真值X Xi i的大小如何，的大小如何，都应有都应有即真值与它本身的真值为零。即真值与它本身的真值为零。现在已对每个量现在已对每个量X Xi i进行两次观测，由于观测值带有误差，因进行两次观测，由于观测值带有误差，因此，每个量的两观测值的差数一般是不等于零的，此，每个量的两观测值的差数一般是不等于零的，设设 式中式中d di i是第是第i i个观测量个观测量X Xi i的两次观测值的差数。既然已知差数的零的两次观测值的差数。既然已知差数的零点值应为零，因此，点值应为零，因此，d di i也就是各差数的

47、真误差。即也就是各差数的真误差。即 按权倒数传播律可得按权倒数传播律可得di di的权倒数为的权倒数为 即即返回目录2/5/202352 这样，这们就得到了这样，这们就得到了n n个差数的真误差个差数的真误差 和它们的权和它们的权 可得由双观测值之差求单位权中误差的公式为可得由双观测值之差求单位权中误差的公式为 当当n n有限时，其估值为有限时，其估值为按权的定义，可求得各观测值按权的定义，可求得各观测值 和和 的中误差为的中误差为 而第而第i i对观测值的平均值对观测值的平均值 的中误差为的中误差为返回目录2/5/202353 如果所有的观测值如果所有的观测值 都是同精度的，都是同精度的，可

48、令它们的权可令它们的权Pi Pi都等于都等于1 1，各观测测值的中误差为，各观测测值的中误差为 而每对观测值的平均值而每对观测值的平均值XiXi的中误差为的中误差为 其估值为其估值为 返回目录2/5/202354 2 2由三角形闭合差求测角中误差由三角形闭合差求测角中误差 设三个三角网中，以同精度独立观测了各三角形之内角，由设三个三角网中，以同精度独立观测了各三角形之内角，由各观测角值计算而得的三角形内角和的闭合分别为各观测角值计算而得的三角形内角和的闭合分别为 它们是一组零点误差，三角形内角和的中误差为它们是一组零点误差，三角形内角和的中误差为 其中其中 为三角形的个数为三角形的个数 由于内

49、角和由于内角和 是一个三角形中三个观测角值是一个三角形中三个观测角值 和和 之和之和 即即 根据协方差传播律可得根据协方差传播律可得 式中式中 为三角形三内角和的中误差，为三角形三内角和的中误差，为各内角观测值的中误为各内角观测值的中误差。因此测角中误差为差。因此测角中误差为 返回目录2/5/202355 第六节第六节 系统误差的传播系统误差的传播 前几节所讲的问题，是以观测值只含有偶然误差为前提的前几节所讲的问题，是以观测值只含有偶然误差为前提的。也就是说，要求在测量过程中设法消除系统误差，但由于。也就是说，要求在测量过程中设法消除系统误差，但由于种种原因，观测成果中总是或多或少地存在残余的

50、系统误差，种种原因，观测成果中总是或多或少地存在残余的系统误差，这些系统误差的数值和符号随着观测条件的变化而变化。这些系统误差的数值和符号随着观测条件的变化而变化。由于系统误差产生的原因多种多样，它们的性质各不相同，由于系统误差产生的原因多种多样，它们的性质各不相同，因而只能对不同的具体情况采用不同的处理方法，不可以得因而只能对不同的具体情况采用不同的处理方法，不可以得到些通用的处理方法。所以，对于残余的系统误差对成果的到些通用的处理方法。所以，对于残余的系统误差对成果的影响，也不可能有严密的计算方法。这里仅讲估计系统误差影响，也不可能有严密的计算方法。这里仅讲估计系统误差的概念和一种在某些情