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1、第6章 运动的分解与合成第6章 运动的分解与合成运动分解与合成的有关概念运动分解与合成的有关概念质点和刚体的运动分解与合成质点和刚体的运动分解与合成、动点动点、动系、定系、动系、定系运动的相对性运动的相对性 三种运动：速度与加速度三种运动：速度与加速度 速度合成定理速度合成定理加速度合成定理加速度合成定理（定理（定理1 1、定理、定理2 2）刚体的平面运动刚体的平面运动速度计算方法：基点法、速度投影法、速度瞬心法速度计算方法：基点法、速度投影法、速度瞬心法加速度计算方法：基点法加速度计算方法：基点法ppt/75本章介绍质点和刚体的运动分解与合成的有关概念，包括动点、动系、定系以及相对运动、牵连
2、运动和绝对运动的有关概念，即三种运动、三种速度、三种加速度；介绍质点或刚体运动的速度合成定理和加速度合成定理；介绍刚体平面运动的速度和加速度计算方法。在公式推导时，要用到转动刚体上固连坐标系的单位矢量对时间的一阶导数的泊松公式。ppt/75运动分解与合成的有关概念运动分解与合成的有关概念在工业生产、工程实践和日常生活中，我们经常会看到由多个物体组成的系统（例如汽车，各种机构等）的运动。组成系统的各个物体也不是铁板一块，各自按一定的方式做运动，如果将其中的一个运动物体运动物体取为参照系，系统中的其它物体相对于选定的参照系在做运动，这就是物体之间的相对运动相对运动。ppt/75运动分解与合成的有关
3、概念运动分解与合成的有关概念为了研究系统中某个物体的运动，一个简单的做法是将其简化为质点质点，将系统中另一个运动物体选为参照参照系系，那么关于该物体运动的研究将会因参照系选取的不同而得到不同的结论。例如考虑地月日系统地月日系统的运动的运动：将月球简化为一个质点，如果以地心为参照系，那么月球在绕地心的椭圆轨道上做周期运动；如果以太阳中心为参照系，那么月球的运动将是很复杂的空间曲线运动。ppt/75实例实例1 1：地月日系统地月日系统的运动的运动质点运动分析质点运动分析我们可以说：月球作为一个质点的空间曲线运动分解运动分解为两种简单运动：绕地椭圆运动与跟随地心的绕日椭圆运动；或者反过来说，上述两种
4、简单的椭圆运动合成运动合成为月球复杂的空间曲线运动。ppt/75这就是关于质点的质点的运动分解与合成运动分解与合成的概念（两个平面曲线运动的合成运动的合成与空间曲线运动运动的分解的分解）。7ppt/758ppt/75实例实例2：汽车车轮汽车车轮刚体运动分析刚体运动分析假设汽车在高等级公路的直线段行驶，路面平整，车轮在地面上沿直线轨迹做滚动，而车体（车厢）作平行移动。如果以车厢（或车轮中心）为参照系，车轮相对于该参照系做定轴转动。我们可以说：车轮的运动分解运动分解为两种简单的运动：跟随车厢的平行移动平行移动与相对于车厢的定轴转动定轴转动，反之，也可以说：这两种简单的运动合运动合成成为车轮的滚动。
5、这就是刚体运动刚体运动（平行移动、定轴转动与车轮滚动）的分解与合成。ppt/75车轮的运动车轮的运动刚体的刚体的平面运动问题平面运动问题关于车轮的运动分析属于刚体的平面运动问题，只要车轮在运动过程中不偏离初始所在的平面。平面运动平面运动是指刚体在运动过程中，刚体上各点到某个参考平面的距离保持不变。ppt/7511ppt/75运动分解与合成的有关概念运动分解与合成的有关概念无论是质点质点还是刚体刚体的运动分解与合成，都是因为选取了不同的参照系，从而将相对复杂的运动分解运动分解为比较简单的两种运动，或者将相对简单的两种运动合成运动合成为比较复杂的运动。选取不同的参照系选取不同的参照系是运动分解与合
6、成的关键。ppt/75实例实例3 3：轮缘上各点：轮缘上各点质点运动分析质点运动分析在地面上的观察者看来，车轮做纯滚动，车轮的轮心做直线运动，而其余各点的运动轨迹并不是简单的圆周曲线，而是比较复杂的旋轮线。如果以轮心为参照系，轮缘上各点绕轮心做圆周运动。因此，轮缘上各点比较复杂的旋轮线运动分解运动分解为两种简单运动：绕轮心的圆周运动圆周运动与跟随轮心的直线运动直线运动;反之，绕轮心的圆周运动与跟随轮心的直线运动合成运动合成为轮缘上各点的旋轮线运动旋轮线运动。ppt/7514轮缘上点的运动轨迹轮缘上点的运动轨迹ppt/7515ppt/75运动分解与合成的有关概念运动分解与合成的有关概念动点动点：
7、运动的质点或运动刚体上的一个点简称为动点。例如月球或行驶过程中汽车车轮上的任意点。动系动系：相对于地面上某静止物体而运动的参照系，称为运动参照系运动参照系，与运动参照系固连的坐标系，简称为动系。例如固连在行驶过程中汽车车厢（轮心）上的坐标系。根据研究问题的需要和方便，可以将坐标系固连在不同的运动物体运动物体上而成为动系动系。定系定系：相对于地面固定不动的参照系，称为固定参照固定参照系系，与固定参照系连接、固定不动的坐标系，简称为定系。例如固连在路边加油站的坐标系。ppt/75运动分解与合成的有关概念运动分解与合成的有关概念对于动点而言，动系相对于定系的运动称为牵连运动牵连运动，t时刻在动系上与
8、动点重合之点称为牵连点牵连点，牵连点的速度和加速度称为动点的牵连速度牵连速度和牵连加速度牵连加速度；动点或刚体相对于动系的运动称为相对运动相对运动，相对运动的速度和加速度称为相对速度相对速度和相对加速度相对加速度；动点或刚体相对于定系的运动称为绝对运动绝对运动，绝对运动的速度和加速度称为绝对速度绝对速度和绝对加速度绝对加速度。根据上面对汽车车轮以及车轮上各点的运动分析，可以推知：动点或刚体的绝对运动可以分解分解为牵连运动和相对运动，相反，牵连运动和相对运动合成合成为绝对运动。ppt/7518ppt/7519ppt/7520ppt/7521ppt/75运动的运动的相对性相对性特别提示特别提示：因
9、为在研究物体的运动时必须选定参照系，所以关于运动分析的所有结论都是相对的，从这个角度来说，运动的本质就是运动的相对性运动的相对性。这里提到的三种运动：牵连运动、相对运动和绝对运动，其实都是一种相对运动，只是针对选定的不同物体和选定的不同参照系而言的。ppt/75速度合成定理速度合成定理如图所示，选取定系oxyz 和动系oxyz，如果已知动点的牵连速度，记为ve，以及动点的相对速度，记为vr，动点的绝对速度，记为va。dt 时间里点A沿相对运动轨迹的位移为dur=vrdt，点A沿牵连点运动轨迹的位移为due=vedt.牵连点是瞬时概念，所谓牵连点的轨迹是指将动点在t时刻的相对位置固定，跟随动系一
10、起运动的轨迹。ppt/75速度合成定理速度合成定理如果将点A的绝对位移记为 由图中几何关系，有所以由此即得速度合成定理速度合成定理：对任何形式的牵连运动，动点的绝对速度等于牵连速度与相对速度的矢量和。ppt/75运动运动分解与合成方法的应用分解与合成方法的应用1.用于物体系统或机构物体系统或机构的运动分析：已知一个刚体的运动参数，求与之联系的其它刚体的运动参数；2.用于公式推导公式推导：在推导加速度合成定理的公式时，要用到速度合成定理；3.用于单个刚体单个刚体的运动分析：可以用来研究刚体的平面运动和刚体的一般运动，从中推导关于速度和加速度的计算公式。ppt/7526例例1：小小车车沿沿水水平平
11、面面运运动动，速速度度为为u，杆杆AB的的A端端与与小小车车斜斜面面CD保持接触。利用运动分解与合成的方法，分析杆保持接触。利用运动分解与合成的方法，分析杆AB上上A点的运动。点的运动。动点动点：杆：杆AB上的上的A点点动系动系：安装在小车：安装在小车CD上上绝对运动：绝对运动：A竖直向下的运动竖直向下的运动相对运动：相对运动：A沿沿DC的直线运动的直线运动牵连运动：小车水平向右的平动牵连运动：小车水平向右的平动解：解：运动分解与合成方法举例运动分解与合成方法举例ppt/7527例例2：曲曲柄柄OA绕绕O轴轴转转动动，其其A端端推推动动滑滑杆杆BCDE沿沿铅铅直直导导槽槽运运动动。利用运动分解
12、与合成的方法，分析杆利用运动分解与合成的方法，分析杆OA上上A点的运动。点的运动。动点动点：杆：杆OA上的上的A点点动系动系：安装在滑杆：安装在滑杆BCDE上上绝对运动：绝对运动：A绕绕O的圆周运动的圆周运动相对运动：相对运动：A沿沿CB水平向左运动水平向左运动牵连运动：滑杆竖直向上的平动牵连运动：滑杆竖直向上的平动解：解：运动分解与合成方法举例运动分解与合成方法举例ppt/7528例例3：杆杆OAB绕绕O转转动动，带带动动与与之之保保持持接接触触的的滑滑块块C沿沿铅铅垂垂槽槽运运动动。利用运动分解与合成的方法，分析杆利用运动分解与合成的方法，分析杆OAB上上B点的运动。点的运动。动点动点：杆
13、：杆OAB上的上的B点点动系动系：安装在滑块：安装在滑块C上上绝对运动：绝对运动：B绕绕O圆周运动圆周运动相对运动：相对运动：B沿沿C下表面的运动下表面的运动牵连运动：滑块竖直向上平动牵连运动：滑块竖直向上平动解：解：运动分解与合成方法举例运动分解与合成方法举例ppt/7529例例4：L型型杆杆BCD沿沿水水平平导导槽槽向向左左移移动动，并并带带动动与与之之保保持持接接触触的的杆杆OA绕绕O轴转动。试分析轴转动。试分析A点的速度。点的速度。ppt/7530解：利用运动分解与合成的方法，分析杆解：利用运动分解与合成的方法，分析杆BCD上上B点的运动。点的运动。动点动点：杆：杆BCD上的上的B点点
14、动系动系：安装在杆：安装在杆OA上上绝对运动：绝对运动：B水平向左运动水平向左运动相对运动：相对运动：B沿沿AO的运动的运动牵连运动：牵连运动：OA的定轴转动的定轴转动ppt/7531例例5：偏偏心心凸凸轮轮绕绕O轴轴转转动动，推推动动与与之之保保持持接接触触的的AB杆杆沿沿水水平平导导槽运动。利用运动分解与合成的方法，分析杆槽运动。利用运动分解与合成的方法，分析杆AB的运动速度。的运动速度。动点动点：杆：杆AB上的上的A点点动系动系：安装在凸轮：安装在凸轮C上上相对运动：相对运动：A绕绕C的圆周运动的圆周运动绝对运动：绝对运动：A的水平往复运动的水平往复运动牵连运动：凸轮的定轴转动牵连运动：
15、凸轮的定轴转动解解ppt/7532关于动点和动系的选择：关于动点和动系的选择：1.1.原则上，动点和动系的选择是任意的；原则上，动点和动系的选择是任意的；2.2.如如果果方方便便，动动点点一一般般选选择择在在两两个个物物体体的的接接触触点处，且在其中一个刚体上有固定位置；点处，且在其中一个刚体上有固定位置；3.3.动动系系选选择择安安装装在在运运动动形形式式已已知知或或运运动动形形式式较较为简单的物体上；为简单的物体上；4.4.动动点点和和动动系系要要有有相相对对运运动动，不不要要选选在在同同一一刚刚体上。体上。ppt/7533ppt/7534ppt/7535ppt/7536ppt/7537p
16、pt/7538ppt/7539ppt/7540ppt/7541ppt/7542Bppt/7543Bppt/7544例6：偏心圆轮绕O轴以角速度作顺时针转动，使杆AB沿铅直槽上下移动，点O在滑槽的轴线上，圆轮半径是R，偏心距e。求当圆心C与轴O在同一水平面上时顶杆的速度。ppt/7545动点：杆动点：杆AB上的上的A点点动系：安装在偏心轮动系：安装在偏心轮C上上绝对运动：绝对运动：A竖直向上的运动竖直向上的运动相对运动：相对运动：A沿轮沿轮C的圆周运动的圆周运动牵连运动：圆轮牵连运动：圆轮C的定轴转动的定轴转动大小：未知大小：未知 已知已知 未知未知方向：已知方向：已知 已知已知 已知已知ppt
17、/7546例7：三角形楔块B置于楔块A的斜面上，若A块以 vA=3m/s的速度向左运动，=30，求B块的速度。解 动点：楔块B斜边上一点c动系：安装在楔块A上绝对运动：点c竖直向上运动相对运动：点c沿斜面的运动牵连运动：楔块A的水平向左平动ppt/7547例 8：图 示 曲 柄 摇 杆 机 构，已 知 O1O=l=20cm，OA角 速 度0=3rad/s，求图示位置杆O1B的角速度。ppt/7548解解:所以所以动点：杆动点：杆OA上的上的A点点 动系：安装在摆杆动系：安装在摆杆O1 B上上绝对运动：绝对运动：A绕绕O作圆周运动作圆周运动相对运动：相对运动：A沿沿O1 B向上运动向上运动牵连运
18、动：牵连运动：O1B绕绕O1作定轴转动作定轴转动ppt/7549 例9：如图所示为裁纸板的简图。纸板ABCD放在传送带上，并以匀速度v1=0.05m/s与传送带一起运动，裁纸刀固定在刀架K上，刀架K以匀速度v2=0.13m/s沿固定导杆EF运动，试问导杆EF的安装角 应取何值才能使切割下的纸板成矩形。ppt/7550解解 以刀架以刀架K为动点为动点动系：安装在纸板动系：安装在纸板ABCD上上绝对运动：沿导杆的直线运动绝对运动：沿导杆的直线运动相相对对运运动动：垂垂直直于于纸纸板板的的运运动动方方向的直线运动向的直线运动牵牵连连运运动动：随随纸纸板板一一起起作作水水平平向向左的平动左的平动速度矢
19、量图如下速度矢量图如下ppt/7551例10：直线AB、CD相交成角，直线AB以速度v1沿垂直于AB的方向向下运动，而直线CD以速度v2沿垂直于CD的方向向右下方移动。求套在这两直线交点处小环M处速度大小。解：1)以AB为动系 M点的速度矢量如左图所示。2)以CD为动系M点的速度矢量如上图所示。ppt/7552向向v2上投影得到上投影得到ppt/75加加速度合成定理速度合成定理速度合成定理适用于动系做任何运动的情况，但是，对于不同的牵连运动，加速度合成将有不同的形式。到目前为止，我们只学习了刚体的两种简单运动：平行移动和定轴转动。下面分别就牵连运动为平行移动和定轴转动的两种情况，讨论动点的加速
20、度合成问题。ppt/75牵连运动为平动牵连运动为平动的加的加速度合成定理速度合成定理如果已知动点A的相对运动方程式中 r 是由动系的坐标原点 指向动点A的矢径，相对速度矢量vr 和相对加速度矢量ar 由矢径r的相对导数相对导数表示为ppt/75矢量在矢量在运动坐标系里运动坐标系里的的相对导数相对导数相对导数相对导数是指在运动坐标系里，不考虑i、j、k三个单位矢量方向可能的变化，只对矢量的分量关于时间t求导数。如果求导数时考虑单位矢量方向的变化，则称为绝对导数绝对导数。对牵连运动为平行移动的情况，相对导数等于绝对导数。ppt/75牵连运动为平动牵连运动为平动的加的加速度合成定理速度合成定理当牵连
21、运动为平行移动时，由此可知 ，即动系做平动时，牵连加速度矢量等于牵连速度矢量对时间的一阶导数。动系做平动时，牵连加速度矢量不随牵连点位置的改变而变化，完全由动系自己的速度变化引起。ppt/75牵连运动为平动牵连运动为平动的加的加速度合成定理速度合成定理另外，是单位常矢量，与时间无关，所以这表明动系做平动时，相对加速度矢量等于相对速度矢量对时间的一阶导数。根据速度合成定理，得到ppt/75牵连运动为平动牵连运动为平动的加的加速度合成定理速度合成定理综上所述，得到这就是牵连运动为平行移动时的加速度合成定理，称为加速度合成定理1。加速度合成定理加速度合成定理1：牵连运动为平行移动时，动点的绝对加速度
22、等于牵连加速度与相对加速度的矢量和。ppt/7559例11：小环M同时套在直杆AB及固定圆环C上，圆环C的半径为R，AB在圆环平面内以速度u向下匀速运动，从而带动M沿圆环C运动。求M的加速度。解解：以以M为为动动点点，AB为为动动系系，速度矢量图如左所示速度矢量图如左所示vevavrMR牵连运动为平行移动问题举例牵连运动为平行移动问题举例ppt/7560加速度矢量如下图所示加速度矢量如下图所示将加速度矢量式向将加速度矢量式向MC方向投影得到方向投影得到Rppt/7561例12：一外形为半圆弧的凸轮，半径r=30cm，沿水平方向向右作匀加速运动，其加速度a1=80cm/s2。凸轮推动直杆AB沿铅
23、直导槽运动。在图示瞬时，v1=60cm/s，求AB杆在该瞬时的速度和加速度。解：以AB杆上的A为动点，凸轮为动系，速度矢量图如左。ppt/7562加速度矢量如右图加速度矢量如右图将加速度矢量式投影到将加速度矢量式投影到AO方向方向ppt/7563例例13：已已知知曲曲柄柄OA=R=10cm，绕绕O以以匀匀速速n=120rpm转转动动，求求在在图示位置，滑道图示位置，滑道BCD的速度和加速度的大小。的速度和加速度的大小。根据图示几何关系，它们可根据图示几何关系，它们可组成一等边三角形，因此组成一等边三角形，因此解解：以以铰铰链链A为为动动点点，BCD为为动动系系，速速度度矢矢量量如如左图所示。左
24、图所示。ppt/7564加速度矢量如左图加速度矢量如左图将矢量式投影到将矢量式投影到O1A方向方向所以，作平动的滑道所以，作平动的滑道BCD的速度和加速度分别为的速度和加速度分别为ppt/7565例14：设动点M在圆盘上半径为r的圆槽内相对于圆盘以大小不变的速率Vr作圆周运动，同时圆盘以匀角速度绕定轴O转动。试分析点M的加速度。解：以M为动点，圆盘为动系牵连运动绝对运动aa与 ar+ae相比，多了一项aC，该项称为科氏加速度。相对运动动系做定轴转动问题举例动系做定轴转动问题举例ppt/75牵连运动为牵连运动为定轴转动的加定轴转动的加速度合成定理速度合成定理牵连运动为定轴转动时，动点A的相对速度
25、矢量和相对加速度矢量仍然为根据定轴转动刚体上固连坐标系的单位矢量导数的泊松公式，有ppt/75牵连运动为牵连运动为定轴转动的加定轴转动的加速度合成定理速度合成定理即这表明在牵连运动为定轴转动时，相对速度矢量对时间的一阶导数并不等于相对加速度矢量，而是多了w we vr 这一项，这是因为即使相对运动为直线运动，动系的转动也将引起相对速度方向的改变。ppt/75牵连运动为牵连运动为定轴转动的加定轴转动的加速度合成定理速度合成定理下面将证明：牵连速度矢量对时间的一阶导数不等于牵连加速度矢量，也要加上 w we vr这一项，即 这是因为做定轴转动的动系上不同点的速度不同，动点相对位置的改变将引起牵连点
26、位置的变化，从而引起牵连速度的变化，这种变化完全是由动点的相对运动和动系的转动引起的。加加速速度度合合成成定定理理2 2：牵连运动为定轴转动时，动点的绝对加速度等于牵连加速度、相对加速度与科氏加速度的矢量和，其中科氏加速度等于动系转动的角速度矢量与相对速度矢量叉积的两倍，记为ac=2w we vr。ppt/75加加速度合成定理速度合成定理2的证明的证明由速度合成定理根据转动刚体上一点的速度矢量公式，有ve=w we r转动刚体上一点的加速度矢量公式为 式中a ae为动系做定轴转动的角加速度矢量。根据乘积函数的导数公式，得到ppt/75加加速度合成定理速度合成定理2 2的证明的证明利用由加速度定
27、义式得到亦即这就是牵连运动为定轴转动时的加速度合成定理。证讫。ppt/75质点或刚体复杂运动的分解与合成质点或刚体复杂运动的分解与合成在研究质点和刚体、刚体和刚体之间的相对运动时，可能遇到质点或刚体复杂运动的分解与合成问题。我们知道速度合成与牵连运动的形式无关，至于加速度合成，我们介绍了牵连运动为平行移动和定轴转动两种情况下的定理1和定理2。当牵连运动为比较复杂的运动时，可以采用类似的方法讨论加速度的合成。例如，当牵连运动为刚体的平面运动时，运动分解与合成的研究方法仍然适用。ppt/7572课堂练习：如图所示，设凸轮绕水平固定轴O做匀速转动，角速度为，另有一小虫子A在凸轮上以不变的相对速度v沿
28、直槽爬行，已知在图示瞬时，AO=r，直槽与水平线的夹角等于30o，试分析小虫子A的加速度。OArvCppt/7573例15：火车M以等速v0沿子午线自南往北行驶，如图所示，因地球自转，设定坐标系以地心为原点，坐标轴分别指向恒星，地球的平均半径为R。忽略地球绕太阳的公转，求火车M在北纬 度处的绝对加速度在地球固连坐标系中的表达式。ppt/7574解：动点火车M动系固连于地球的oxyz绝对运动空间曲线运动；相对运动M点在子午面内的匀速圆周运动；牵连运动地球绕 oz轴的匀速圆周运动。地球自西向东旋转，地球角速度沿oz轴的正向，其大小为ppt/7575牵连加速度牵连加速度，方向垂直于z轴：相对加速度相对加速度，方向指向地心o：科氏加速度科氏加速度，沿M点纬线切线向西：根据加速度合成定理：ppt/75