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1、第四章 正态分布主讲教师：王丽艳主讲教师：王丽艳 徐栋徐栋第一节 正态分布120名名18岁女孩身高的频数分布直方图：岁女孩身高的频数分布直方图：一、正态分布与正态曲线一、正态分布与正态曲线、正态分布（常态分布）：中间多，两侧逐渐减少 的基本对称的频数分布。随机变量服 从正态分布，记为 即随机变量服从参数是和 2的正态 分布。2、正态曲线：中央高，两侧逐渐下降，两端无限延伸 与横轴相靠而不相交，左右完全对称的 钟形曲线。二、正态分布的性质1 1、曲线是单峰，位于、曲线是单峰，位于 x x 轴上方，且在轴上方，且在 处有最大值。处有最大值。2 2、曲线以直线、曲线以直线 为对称轴，对称地向两边下降
2、，为对称轴，对称地向两边下降，以以 x x 轴为渐近线。轴为渐近线。3 3、曲线与横轴之间的面积是、曲线与横轴之间的面积是1 1。4 4、和和 是正态分布的两个参数。是正态分布的两个参数。决定曲线的位置，称为决定曲线的位置，称为位置参数位置参数位置参数位置参数；决定曲线的形状，称为决定曲线的形状，称为形状参数形状参数形状参数形状参数。当当 较小时，曲线较小时，曲线“高高”且且“瘦瘦”；当当 较大时，曲线较大时，曲线“矮矮”且且“胖胖”。第二节 标准正态分布一、标准正态分布一、标准正态分布一、标准正态分布一、标准正态分布 对于任一均数为对于任一均数为 ，标准差为，标准差为 的随机变量的随机变量
3、的的正态分布，都可以作一个变量代换，使其成为正态分布，都可以作一个变量代换，使其成为 =0 =0，=1 =1 的标准正态分布，记为的标准正态分布，记为 ,表示随机变表示随机变量量U U服从参数为服从参数为0 0和和1 1的标准正态分布。的标准正态分布。二、标准正态密度函数的图象二、标准正态密度函数的图象二、标准正态密度函数的图象二、标准正态密度函数的图象（一）表的构造（一）表的构造 1 1、标准正态分布的横轴变量、标准正态分布的横轴变量 u u,即表中左上角所即表中左上角所对对 应的行与列。应的行与列。2 2、值表示标准正态曲线下由值表示标准正态曲线下由 到某个到某个 u u 值所值所 围成的
4、面积。围成的面积。（二）正态分布表的使用（二）正态分布表的使用 1 1、已知变量、已知变量 u u 值查出对应的面积。值查出对应的面积。(u u )2 2、已知面积去找出相对应的变量、已知面积去找出相对应的变量 u u 值。值。(u u)三、标准正态分布表(三三三三)计算方法计算方法计算方法计算方法1、已知求对应的面积（概率）（1）求某个值以左的面积 P(u0.25)P(u-0.84)（2）求某个值以右的面积 P(u2.58)P(u-1.93)（3）求两个值所围成的面积 P(1.25u2.34)P(-2.4u-1.3)P(-1u2)P P(u(u0.25)=(0.25)=0.59870.25)
5、=(0.25)=0.5987P(u-0.84)=(-0.84)=0.2005P P(u(u2.58)=1-(2.58)=1-0.9951=0.00492.58)=1-(2.58)=1-0.9951=0.0049P P(u(u-1.93)=1-(-1.93)=1-0.0268=0.9732-1.93)=1-(-1.93)=1-0.0268=0.9732P P(1.25(1.25u u2.34)=(2.34)-(1.25)2.34)=(2.34)-(1.25)=0.9904-0.8944=0.096 =0.9904-0.8944=0.096P P(-2.4(-2.4u u-1.3)=(-1.3)-
6、(-2.4)-1.3)=(-1.3)-(-2.4)=0.0968-0.0082=0.0886 =0.0968-0.0082=0.0886P P(-1(-1u u2)=(2)-(-1)2)=(2)-(-1)=0.9773-0.1587=0.8186 =0.9773-0.1587=0.8186 2 2、已知面积（概率）求对应的值、已知面积（概率）求对应的值、已知面积（概率）求对应的值、已知面积（概率）求对应的值 例例例例:已知变量服从正态分布，已知变量服从正态分布，求求 解：直接反查正态分布表可知，与概率解：直接反查正态分布表可知，与概率0.89070.8907相对应的相对应的 u u值为值为1.
7、231.23，与概率，与概率0.09180.0918相对应的值相对应的值u u为为-1.33-1.33，即即 =1.23 =1.23，=-1.33 =-1.33。第三节 正态分布在体育中的应用一、估计达到某标准的人数一、估计达到某标准的人数(x u )例：设某年级学生跳远测验的样本统计量例：设某年级学生跳远测验的样本统计量x=5.00m,S=0.40m。根据这个样本定出标准为。根据这个样本定出标准为5.60m以上为以上为5分，分，5.40m以上为以上为4分，分，4.60m以上为及格。求各以上为及格。求各等级人数百分比各是多少？等级人数百分比各是多少？(田赛田赛)估计达到某标准人数的步骤：1、将
8、某标准的 x 转换为 u 值。2、制作正态分布草图，以确定估计范围。3、查表找到估计范围的面积。4、计算估计范围的人数。练习练习：在某市区初三女生中随机抽测立定跳远的成绩：x=158.6 cm,S=18.3 cm.若该地区初三女生共有850人,试估计成绩分别超过150 cm、185 cm、200 cm的人数百分比及人数。例：某校初二女生100人，50m跑成绩的x=9.3s，S=0.59s。现规定小于或等于8.8s 为优秀，9.2 s为良好，9.6 s为及格，问该年级女生达到各标准的人数百分比及人数各为多少？(径赛)练习练习：某年龄组180人100跑 x=15.24s，S=0.53s。若优秀定为
9、14 s,良好为14.68 s,及格定为 16s，试分别求成绩达到优秀、良好、及格和不及格的人数及百分比。例：某大型网球运动中心，每天接待的人数服从 正态分布，xN(800,1502)，试求：（1）每天接待人数在6501000人之间的概率；（2）每天接待人数超过1100人的概率；（3）每天接待人数不足350人的概率。练习：练习：现有10000名成年男子，假定身高服从正态分布其均数=175cm，标准差=15cm。(1)试估计其中有多少人身高在177厘米以下;（2）试估计其中有多少人身高至少是183厘米。二、制定考核标准(u x)例例:测得某年级男生铅球成绩x=7.20m，S=0.39m。若规定按
10、现有水平让10达到优秀,60达到 良好（不含优秀），5不及格。问各标准是 多少？(田赛)制定考核标准的步骤：制定考核标准的步骤：1、制定正态曲线的分布草图。2、计算出从-到各u值所围成的面积。3、查表求各等级的u值。4、求各等级标准的x值。练习：练习：随机抽取某年级部分学生测试跳高 x=1.40,S=0.10.若规定15达到优秀，25达到 良好，7不及格。试确定各等级的成绩。例：例：某年级学生100米跑的 x=14.7s，S=0.7 s。按现有水平要求10达到优秀，30达 到良好，8不及格，其余为及格。求各 等级的成绩标准各是多少？（径赛）练习：练习：测得某校初三女生800米跑成绩的 x=23
11、6.36s (即 3min56.36 s ),S=20.08s,规定优秀、良好、及格 人数的百分比分别是15%、30%、45%，问各标准各为多少？三、审核可疑数据（确定正常值范围）三、审核可疑数据（确定正常值范围）数据的审核方法还有很多，如以事物出现的概率为依数据的审核方法还有很多，如以事物出现的概率为依据，依据正态分布规律可知，实测值在据，依据正态分布规律可知，实测值在 范围范围内的数目占所有实测值的内的数目占所有实测值的99.73%99.73%，即，即10001000个数据中平均只个数据中平均只有有2 2个多（不到个多（不到3 3个）数据在上述范围之外。因此，随机抽个）数据在上述范围之外。
12、因此，随机抽样时要抽到上述范围之外数据是可能性极小的小概率事样时要抽到上述范围之外数据是可能性极小的小概率事件，可视为可疑数据。件，可视为可疑数据。例：随机抽测某地例：随机抽测某地500500名初三女生同学的体重名初三女生同学的体重(服从正态分布）服从正态分布）x x=48.2=48.2kgkg S S=5.14=5.14kgkg.该地区初三女生的体重实测值分别是该地区初三女生的体重实测值分别是 x x1 1=65=65 kgkg,x x2 2=53=53kgkg,x x3 3=32.5=32.5kgkg.试审核这三个数据是否可试审核这三个数据是否可疑。疑。解：解：所以，检验区间为所以，检验区间为32.7832.78，63.6263.62。x x1 1、x x2 2为可疑数据，为可疑数据，x x3 3 在区间内，不是可疑数据。在区间内，不是可疑数据。复习思考题复习思考题返 回 取不同值时的曲线取不同值时的曲线返 回 取不同值时的曲线取不同值时的曲线返 回