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1、1.1.欧拉的简介欧拉的简介2.2.欧拉的成就欧拉的成就3.3.欧拉函数欧拉函数4.4.欧拉的故事欧拉的故事5.5.欧拉渊博的知识欧拉渊博的知识6.6.欧拉高尚的品德欧拉高尚的品德 欧拉，全名是欧拉，全名是莱昂哈德莱昂哈德欧拉欧拉（Leonhard EulerLeonhard Euler，17071707年年4 4月月5 5日日17831783年年9 9月月1818日日 ），），17071707年出生在年出生在瑞士瑞士的的巴塞尔巴塞尔城。城。1818世纪最优秀的世纪最优秀的数学家数学家，也是历史上最伟大的，也是历史上最伟大的数学家之一，被称为数学家之一，被称为“分析的化身分析的化身”。他是瑞士
2、数学家和物理学家。他被称为历史上最伟大他是瑞士数学家和物理学家。他被称为历史上最伟大的两位数学家之一。欧拉是第一个使用的两位数学家之一。欧拉是第一个使用“函数函数”一词来描一词来描述包含各种参数的表达式的人，例如：述包含各种参数的表达式的人，例如：y=F(x)(y=F(x)(函数的函数的定义由莱布尼兹在定义由莱布尼兹在16941694年给出年给出)。他是把微积分应用于物。他是把微积分应用于物理学的先驱者之一。理学的先驱者之一。返回 欧拉和欧拉和丹尼尔丹尼尔伯努利伯努利一起，建立了弹性体一起，建立了弹性体的的力矩力矩定律：作用在定律：作用在弹性弹性细长杆上的力矩正比于细长杆上的力矩正比于物质的弹
3、性和通过物质的弹性和通过质心质心轴和垂直于两者的截面的轴和垂直于两者的截面的惯惯 性动量。性动量。他还直接从牛顿运动定律出发，建立了他还直接从牛顿运动定律出发，建立了流体流体力学力学里的欧拉方程。这些方程组在形式上等价于里的欧拉方程。这些方程组在形式上等价于粘度粘度为为0 0的的纳维纳维-斯托克斯方程斯托克斯方程。人们对这些方程。人们对这些方程的主要兴趣在于它们能被用来研究冲击波。的主要兴趣在于它们能被用来研究冲击波。他对他对微分方程微分方程理论作出了重要贡献。他还是理论作出了重要贡献。他还是欧拉近似法的创始人，这些计算法被用于欧拉近似法的创始人，这些计算法被用于计算力计算力学学中。此中最有名
4、的被称为欧拉方法。中。此中最有名的被称为欧拉方法。在在数论数论，对正整数，对正整数n n，欧拉函数是少于或等，欧拉函数是少于或等于于n n的数中与的数中与n n互质的数的数目。此函数以其首互质的数的数目。此函数以其首名研究者欧拉命名，它又称为名研究者欧拉命名，它又称为Eulers totient Eulers totient functionfunction、函数、欧拉商数等。函数、欧拉商数等。例如例如(8)=4(8)=4，因为，因为1,3,5,71,3,5,7均和均和8 8互质。互质。从欧拉函数引伸出来在环论方面的事实和从欧拉函数引伸出来在环论方面的事实和拉格朗日定理构成了拉格朗日定理构成了
5、欧拉定理欧拉定理的证明。的证明。返回 函数的值函数的值函数的值函数的值 (1)=1(1)=1(1)=1(1)=1（唯一和（唯一和（唯一和（唯一和1 1 1 1互质的数就是互质的数就是互质的数就是互质的数就是1 1 1 1本身）。本身）。本身）。本身）。若若若若n n n n是质数是质数是质数是质数p p p p的的的的k k k k次幂，次幂，次幂，次幂，(n)=pk-p(k-1)=(p-1)p(k-1)(n)=pk-p(k-1)=(p-1)p(k-1)(n)=pk-p(k-1)=(p-1)p(k-1)(n)=pk-p(k-1)=(p-1)p(k-1)，因为除了，因为除了，因为除了，因为除了p
6、 p p p的倍数外，其他数都跟的倍数外，其他数都跟的倍数外，其他数都跟的倍数外，其他数都跟n n n n互质。互质。互质。互质。欧拉函数是欧拉函数是欧拉函数是欧拉函数是积性函数积性函数积性函数积性函数若若若若m,nm,nm,nm,n互质，互质，互质，互质，(mn)=(m)(n)(mn)=(m)(n)(mn)=(m)(n)(mn)=(m)(n)。特殊性质：当特殊性质：当特殊性质：当特殊性质：当n n n n为奇数是，为奇数是，为奇数是，为奇数是，(2n)=(n),(2n)=(n),(2n)=(n),(2n)=(n),证明于上述类似。证明于上述类似。证明于上述类似。证明于上述类似。证明：设证明：
7、设证明：设证明：设A,B,CA,B,CA,B,CA,B,C是跟是跟是跟是跟m,n,mnm,n,mnm,n,mnm,n,mn互质的数的集，据中国互质的数的集，据中国互质的数的集，据中国互质的数的集，据中国剩余定理剩余定理剩余定理剩余定理，A*BA*BA*BA*B和和和和C C C C可建立一一对应的关系。因此可建立一一对应的关系。因此可建立一一对应的关系。因此可建立一一对应的关系。因此(n)(n)(n)(n)的值使用算术基本定理便的值使用算术基本定理便的值使用算术基本定理便的值使用算术基本定理便知，知，知，知，若若若若 n=p(n=p(n=p(n=p(（下标（下标（下标（下标p p p p）)p
8、|n p|n p|n p|n 则则则则(n)=(p-1)p(n)=(p-1)p(n)=(p-1)p(n)=(p-1)p(（下标（下标（下标（下标p p p p）-1)=n(1-1/p)-1)=n(1-1/p)-1)=n(1-1/p)-1)=n(1-1/p)p|n p|n p|n p|n p|n p|n p|n p|n 例如例如例如例如(72)=(2332)=(2-1)2(3-1)(3-1)3(2-1)=24(72)=(2332)=(2-1)2(3-1)(3-1)3(2-1)=24(72)=(2332)=(2-1)2(3-1)(3-1)3(2-1)=24(72)=(2332)=(2-1)2(3-
9、1)(3-1)3(2-1)=24 返回 欧拉是数学史上著名的数学家，他在数论、几何学、天文数学、欧拉是数学史上著名的数学家，他在数论、几何学、天文数学、微积分等好几个数学的分支领域中都取得了出色的成就。不过，这个微积分等好几个数学的分支领域中都取得了出色的成就。不过，这个大数学家在孩提时代却一点也不讨老师的喜欢，他是一个被学校除了大数学家在孩提时代却一点也不讨老师的喜欢，他是一个被学校除了名的小学生。名的小学生。事情是因为星星而引起的。事情是因为星星而引起的。当时，小欧拉在一个教会学校里读当时，小欧拉在一个教会学校里读书。有一次，他向老师提问，天上有多少颗星星。老师是个神学的信书。有一次，他向
10、老师提问，天上有多少颗星星。老师是个神学的信徒，他不知道天上究竟有多少颗星，圣经上也没有回答过。其实，天徒，他不知道天上究竟有多少颗星，圣经上也没有回答过。其实，天上的星星数不清，是无限的。我们的肉眼可见的星星也有几千颗。这上的星星数不清，是无限的。我们的肉眼可见的星星也有几千颗。这个老师不懂装懂，回答欧拉说：个老师不懂装懂，回答欧拉说：“天有有多少颗星星，这无关紧要，天有有多少颗星星，这无关紧要，只要知道天上的星星是上帝镶嵌上去的就够了。只要知道天上的星星是上帝镶嵌上去的就够了。”欧拉感到很奇怪：欧拉感到很奇怪：“天那么大，那么高，地上没有扶梯，上帝是怎么把星星一颗一颗镶天那么大，那么高，地
11、上没有扶梯，上帝是怎么把星星一颗一颗镶嵌到一在幕上的呢？上帝亲自把它们一颗一颗地放在天幕，他为什么嵌到一在幕上的呢？上帝亲自把它们一颗一颗地放在天幕，他为什么忘记了星星的数目呢？上帝会不会太粗心了呢？忘记了星星的数目呢？上帝会不会太粗心了呢？他向老师提出了心中的疑问，老师又一次被问住了，涨红了脸，他向老师提出了心中的疑问，老师又一次被问住了，涨红了脸，不知如何回答才好。老师的心中顿时升起一股怒气，这不仅是因为一不知如何回答才好。老师的心中顿时升起一股怒气，这不仅是因为一个才上学的孩子向老师问出了这样的问题，使老师下不了台，更主要个才上学的孩子向老师问出了这样的问题，使老师下不了台，更主要的是，
12、老师把上帝看得高于一切。小欧拉居然责怪上帝为什么没有记的是，老师把上帝看得高于一切。小欧拉居然责怪上帝为什么没有记住星星的数目，言外之意是对万能的上帝提出了怀疑。在老师的心目住星星的数目，言外之意是对万能的上帝提出了怀疑。在老师的心目中，这可是个严重的问题。中，这可是个严重的问题。在欧拉的年代，对上帝是绝对不能怀疑的，人们只能做思想的奴隶，绝对不允许自由思考。小欧拉没有与教会、与上帝“保持一致”，老师就让他离开学校回家。但是，在小欧拉心中，上帝神圣的光环消失了。他想，上帝是个窝囊废，他怎么连天上的星星也记不住？他又想，上帝是个独裁者，连提出问题都成了罪。他又想，上帝也许是个别人编造出来的家伙，
13、根本就不存在。回家后无事，他就帮助爸爸放羊，成了一个牧童。他一面放羊，一面读书。他读的书中，有不少数学书。爸爸的羊群渐渐增多了，达到了100只。原来的羊圈有点小了，爸爸决定建造一个新的羊圈。他用尺量出了一块长方形的土地，长40米，宽15米，他一算，面积正好是600平方米，平均每一头羊占地6平方米。正打算动工的时候，他发现他的材料只够围100米的篱笆，不够用。若要围成长40米，宽15米的羊圈，其周长将是110米（15+15+40+40=110）父亲感到很为难，若要按原计划建造，就要再添10米长的材料；要是缩小面积，每头羊的面积就会小于6平方米。小欧拉却向父亲说，不用缩小羊圈，也不用担心每头羊的领
14、地会小于原来的计划。他有办法。父亲不相信小欧拉会有办法，听了没有理他。小欧拉急了，大声说，只有稍稍移动一下羊圈的桩子就行了。父亲听了直摇头，心想：“世界上哪有这样便宜的事情？”但是，小欧拉却坚持说，他一定能两全齐美。父亲终于同意让儿子试试看。小欧拉见父亲同意了，站起身来，跑到准备动工的羊圈旁。他以一个木桩为中心，将原来的40米边长截短，缩短到25米。父亲着急了，说：“那怎么成呢？那怎么成呢？这个羊圈太小了，太小了。”小欧拉也不回答，跑到另一条边上，将原来15米的边长延长，又增加了10米，变成了25米。经这样一改，原来计划中的羊圈变成了一个25米边长的正方形。然后，小欧拉很自信地对爸爸说：“现在
15、，篱笆也够了，面积也够了。”父亲照着小欧拉设计的羊圈扎上了篱笆，100米长的篱笆真的够了，不多不少，全部用光。面积也足够了，而且还稍稍大了一些。父亲心里感到非常高兴。孩子比自己聪明，真会动脑筋，将来一定大有出息。父亲感到，让这么聪明的孩子放羊实在是及可惜了。后来，他想办法让小欧拉认识了一个大数学家伯努利。通过这位数学家的推荐，1720年，小欧拉成了巴塞尔大学的大学生。这一年，小欧拉13岁，是这所大学最年轻的大学生。返回 欧拉是18世纪科学界的代表人物，是那个时代的巨人。他是历来最有才华、最博学的人物之一，也是历史上最多产的一位数学家。欧拉渊博的知识，无穷无尽的创作精力和空前丰富的著作，都是令人
16、惊叹不已的！他从19岁开始发表论文，直到76岁，半个多世纪写下了浩如烟海的书籍和论文。据统计他那不倦的一生，共写下了856篇论文，专著32部，其中分析、代数、数论占40%，几何占18%，物理和力学占28%，天文学占11%，弹道学、航海学、建筑学等占3%，彼得堡科学院为了整理他的著作，足足忙碌了四十七年。到今几乎每一个数学领域都可以看到欧拉的名字，从初等几何的欧拉线，多面体的欧拉定理，立体解析几何的欧拉变换公式，四次方程的欧拉解法到数论中的欧拉函数，微分方程的欧拉方程，级数论的欧拉常数，变分学的欧拉方程，复变函数的欧拉公式等等数不胜数。欧拉的兴趣十分广泛，他研究过天文学、物理学、航海学、建筑学、
17、地质学、化学等等，在这些领域，欧拉也留下了大量的论文、著作。返回 欧拉的品格是很高的，拉格朗日是稍后于欧拉的大数学家，从19岁起和欧拉通信，讨论等周问题的一般解法，这引起变分法的诞生。等周问题是欧拉多年来苦心考虑的问题，拉格朗日的解法，博得欧拉的热烈赞扬，1759年10月2日欧拉在回信中盛称拉格朗日的成就，并谦虚地压下自己在这方面较不成熟的作品暂不发表，使年青的拉格朗日的工作得以发表和流传，并赢得巨大的声誉。他晚年的时候，欧洲所有的数学家都把他当作老师，著名数学家拉普拉斯（Laplace）曾说过：“读读欧拉、读读欧拉，它是我们大家的老师！”当欧拉64岁高龄之时，一场突如其来的大火烧掉了他几乎全部的著述，而神奇的欧拉用了一年的时间口述了所有这些论文并作了修订。一年以后，1783年9月18日的下午，欧拉为了庆祝他计算气球上升定律的成功，请朋友们吃饭，那时天王星刚发现不久，欧拉写出了计算天王星轨道的要领，还和他的孙子逗笑，喝完茶后，突然疾病发作，烟斗从手中落下，口里喃喃地说：我要死了，欧拉终于停止了生命和计算。返回