《广东省惠州市2022届高三下学期一模数学试题解析版.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《广东省惠州市2022届高三下学期一模数学试题解析版.pdf（21页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、试卷第 1 页，共 5 页 广东省惠州市 2022 届高三下学期一模数学试题 本试卷满分 150 分考试用时 120 分钟 注意事项：1答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，并将条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损 2选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上 3非选择题必须用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液不按以上要求作答的答案无效 4考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回 一、单
2、项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知集合2,1,2,3M ，2,2N ，下列结论成立的是（）AMN BMN CMNM D1MN 2若抛物线22ypx（0p）上一点 P（2，0y）到其焦点的距离为 4，则抛物线的标准方程为（）Ay2=2x By2=4x Cy2=6x Dy2=8x 3已知tan2，32，则cossin（）A55 B55 C3 55 D3 55 4若20222202201220221 2xaa xa xax，则122022aaa（）A1 B0 C1 D2 5现有3名学生报名参加校园文化活动的3个项目，每人
3、须报1项且只报1项，则恰有2名学生报同一项目的报名方法有（）A36种 B18种 C9种 D6种 6已知 42e,4(16)143,4xxf xxx，则当0 x 时，2xf与 2f x的大小关系是（）试卷第 2 页，共 5 页 A 22xff x B 22xff x C 22xff x D不确定 7设等差数列 na的公差为 d，若2nanb，则“0d”是“1nnbb（nN）”的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 8中国的 5G 技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：2log1SCWN，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率 C取决
4、于信道带宽 W信道内信号的平均功率 S信道内部的高斯噪声功率 N的大小，其中SN叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的 1 可以忽略不计，按照香农公式，若不改变带宽 W，而将信噪比SN从 1000 提升至 5000，则 C 大约增加了（）（附：lg20.3010）A20%B23%C28%D50%二、多选题 9对于实数,a b c，下列结论正确的是（）A若ab，则acbc B若22acbc，则ab C若0ab，则|ab D若0cab，则11cacb 10如图，点 O是正八边形 ABCDEFGH的中心，且1AB，则（）AAH与CF能构成一组基底 B0OA OC C2OAOCOB D22AC
5、CD 11已知函数 sinf xAx（其中0A，0，）的部分图象如图所试卷第 3 页，共 5 页 示，则下列结论正确的是（）A函数 f x的图象关于2x直线对称 B函数 f x的图象关于点,012对称 C函数 f x在区间3 6，上单调递增 D1y 与图象 231212yfxx的所有交点的横坐标之和为83 12近年来，纳米晶的多项技术和方法在水软化领域均有重要应用.纳米晶体结构众多，下图是一种纳米晶的结构示意图，其是由正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为 n 的几何体，则下列说法正确的有（）A该结构的纳米晶个体的表面积为27 3n B该结构的纳米晶个体的体积为323 212
6、n C该结构的纳米晶个体外接球的表面积为2114n D二面角 A1A2A3B3的余弦值为13 三、填空题 13已知 i 是虚数单位，则复数41 i2的模等于_.14已知双曲线C的渐近线方程为22yx，则双曲线C的标准方程可以是试卷第 4 页，共 5 页 _.（写出一个正确的方程即可.）15若一个圆台的侧面展开图是半圆面所在的扇环，且扇环的面积为4，圆台上下底面圆的半径分别为1r，2r（12rr），则2221rr_.16如图，曲柄连杆机构中，曲柄 CB 绕 C点旋转时，通过连杆 AB 的传递，活塞做直线往复运动.当曲柄在 CB0位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点 A 在 A0处.设连杆 A
7、B 长 200mm，曲柄 CB长 70mm，则曲柄自 CB0按顺时针方向旋转 53.2时，活塞移动的距离（即连杆的端点 A移动的距离 A0A）约为_mm.（结果保留整数）（参考数据：sin53.20.8）四、解答题 17惠州市某高中学校组织航天科普知识竞赛，分小组进行知识问题竞答.甲乙两个小组分别从 6 个问题中随机抽取 3 个问题进行回答，答对题目多者为胜.已知这 6 个问题中，甲组能正确回答其中 4 个问题，而乙组能正确回答每个问题的概率均为23.甲乙两个小组的选题以及对每题的回答都是相互独立，互不影响的.(1)求甲小组至少答对 2 个问题的概率；(2)若从甲乙两个小组中选拔一组代表学校参
8、加全市决赛，请分析说明选择哪个小组更好？18在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，1 cos2coscosBACB，且ADDC.(1)求证：2bac；(2)当BDb时，求cosABC.19已知数列 ,nnab满足21122(1),1,8nnnbanabab，且数列 nb是等差数列.(1)求数列 na的通项公式：(2)设数列 na的前n项和为nT，若110An n且110nT，求集合 A 中所有元素的和T.试卷第 5 页，共 5 页 20如图 1 所示，梯形 ABCD 中，AB=BC=CD=2，AD=4，E为 AD 的中点，连结BE，AC交于 F，将ABE沿 BE折叠，使得
9、平面 ABE平面 BCDE（如图 2）.(1)求证：AFCD；(2)求平面 AFC 与平面 ADE 的夹角的余弦值.21已知抛物线 C1：24yx与椭圆 C2：22221xyab（0ab）有公共的焦点，C2的左右焦点分别为 F1，F2，该椭圆的离心率为12.(1)求椭圆 C2的方程；(2)如图，若直线 l与 x轴，椭圆 C2顺次交于 P，Q，R（P点在椭圆左顶点的左侧），且PF1Q与PF1R互为补角，求F1QR面积 S 的最大值.22已知函数 21esin12xf xmxx（mR）.(1)当 m=0 时，讨论 f x的单调性；(2)若不等式 0 x f x对,2 2x 恒成立，求 m的取值范围
10、.答案第 1 页，共 16 页 参考答案：1C【解析】【分析】分别根据子集的概念、交集和并集运算、补集运算分析选项是否成立.【详解】对于 A：集合2,1,2,3M ，2,2N ，不满足MN，则 A 错；对于 B：2,2MN，则 B 错；对于 C：MNM，则 C 正确；对于 D：1,3MN，则 D 错.故选：C.2D【解析】【分析】由抛物线的定义可解答.【详解】抛物线22ypx上一点02,Py到焦点的距离等于到其准线的距离，即为 4，242p，解得4p，抛物线的标准方程为28yx.故选：D.3A【解析】【分析】由sintan2cos及22sincos1解出sin与cos即可求解.【详解】因为si
11、ntan2cos，且22sincos1，32，所以2 5sin5，5cos5，答案第 2 页，共 16 页 所以52 55cossin555 .故选：A.4B【解析】【分析】令0 x，得01a，再令1x，即可求解【详解】令0 x，代入得01a，令1x，得0122022=1aaaa，所以1220220aaa.故选：B.5B【解析】【分析】首先从3名学生中选2名选报同一项目作为一个整体，然后从3个项目中选择2个项目排列即可，利用分步乘法计数原理可得结果.【详解】根据题意首先从3名学生中选2名选报同一项目作为一个整体，然后从3个项目中选择2个项目排列即可，故不同的报名方法种数为2233CA18.故选
12、：B.6B【解析】【分析】求出函数 f x的单调区间，令22xx，得2x 或4，结合图像可得02x，24x，4x 三段2x和2x的大小关系，再根据函数 f x的单调性即可得出 2xf与 2f x的大小关系.【详解】解：由函数 42e,4(16)143,4xxf xxx，答案第 3 页，共 16 页 得函数 f x在,4上递增，在4,16上递减，在16,上递增，作出函数2xy 和2yx的图像，如图所示，令22xx，得2x 或4，结合图像可知，当02x时，2420 xx，则 22xff x，当24x时，24216xx，则 22xff x，当4x 时，2216xx，则 22xff x，综上所述，当0
13、 x 时，22xff x.故选：B.7C【解析】答案第 4 页，共 16 页【分析】利用指数函数的单调性、数列增减性的定义以及等差数列的定义，结合充分、必要性定义判断即可.【详解】充分性：若0d，则10nnaad，即1nnaa，122nnaa，即1nnbb，所以充分性成立；必要性：若1nnbb，即122nnaa，1nnaa，则10nnaad，必要性成立.因此，“0d”是“1nnbb”的充要条件.故选：C.8B【解析】【分析】根据题意写出算式，再利用对数的换底公式及题中的数据可求解.【详解】将信噪比SN从 1000 提升至 5000 时，C 大约增加了222log1 5000log1 1000l
14、og1 1000WWW 222lg5000lg1000log 5001log 1001lg51 lg2lg2lg20.2323%lg1000log 100133lg2.故选：B.9BCD【解析】【分析】根据不等关系对选项一一分析即可.【详解】对于 A，当0c时，acbc，故 A 错误；对于 B，若22acbc，则ab，故 B 正确；对于 C，若0ab，则|ab，故 C 正确；对于 D，若0cab，则 0cacb，从而有11cacb，故正确.故选：BCD 答案第 5 页，共 16 页 10BC【解析】【分析】对 A，由正八边形性质可证AH与CF平行，即可由基底定义判断；对 B，由正八边形性质可证
15、OAOC，即可由向量数量积与向量垂直的关系判断；对 C，由OAOC，利用平行四边形法则即可计算；对 D，由AC CDAB CDBC CD，即可根据向量数量积定义计算【详解】连接 BG，CF，由正八边形的性质可知，AHBG，CFBG，所以AHCF，所以AH与CF是共线向量，所以AH与CF不能构成一组基底，A 项错误；1242AOC，所以OAOC，所以0OA OC，B 项正确；因为OAOC，由平行四边形法则可知，2OAOCOB，C 项正确；正八边形的每一个内角为138284，ABCD，所以232cos42AC CDABBCCDAB CDBC CDBC，D 项错误（或者从正八边形的性质可知AC与CD
16、的夹角为锐角，则有0AC CD可判断 D 错误）.故选：BC 11BCD【解析】根据图象求出函数解析式，再判断各选项【详解】由题意2A，254312T，22，又22sin 223，答案第 6 页，共 16 页 42,32kkZ，又，6，()2sin(2)6f xx 72266，2x不是对称轴，A 错；sin 20126，,012是对称中心，B 正确；3 6x ，时，2,62 2x ，()f x在,3 6 上单调递增，C 正确；2sin 216x，1sin 262x，2266xk或522,66xkkZ，即xk或3xk，kZ，又231212x，40,33x，和为83，D 正确 故选：BCD【点睛】
17、关键点点睛：本题考查三角函数的图象与性质，解题关键是掌握“五点法”，通过五点法求出函数解析式，然后结合正弦函数性质确定函数()f x的性质本题方法是代入法，整体思想，即由已知求出26x的值或范围，然后结合正弦函数得出结论 12ABD【解析】【分析】对于 A：该几何体是由 4 个正三角形和 4 个正六边形构成，代公式计算即可.对于 B：棱长为 a 的正四面体的高为63a，根据割补法代公式计算.对于 C：设外接球球心为 O，三角形123A A A的中心为O，正六边形212121B BC C D D的中心为O，则 O 在O O 上，计算可得；对于 D：二面角1233AA AB是原正四面体侧面和底面成
18、角的补角，计算可得.【详解】对于 A：该几何体是由 4 个正三角形和 4 个正六边形构成，所以表面积2223344 67 344Snnn ，故 A 正确；对于 B：棱长为 a 的正四面体的高为63a，所以答案第 7 页，共 16 页 22313613623 233434334312Vnnnnn，故 B 正确；对于 C：设外接球球心为 O，三角形123A A A的中心为O，正六边形212121B BC C D D的中心为O，则 O 在O O 上，几何体上下底面距离为62 6633nnn，可得22222 633nRRnn，计算整理得22118Rn，因此该几何体的外接球表面积为221142SRn，故
19、 C 错误；对于 D：二面角1233AA AB为是原正四面体侧面和底面成角的补角，如图，过正四面体的顶点V作VO 平面ABC于O点，易知O为ABC的中心，延长BO交AC于D点，则D为AC的中点，连接VD，设正四面体的棱长为 2，则2sin33BD，所以22 333BOBD，1333ODBD，因为VO 平面ABC，所以VOAC，又ACBD，VOBDO，所以AC 平面VBD，VD 平面VBD，所以ACVD，所以VDB即为所求侧面VAC与底面ABC所成二面角的平面角，在Rt VOD中，1cos3ODODVDBVDBD，所以侧面与底面所成二面角的平面角的余弦值为13，所以二面角 A1A2A3B3的余弦
20、值为13，故 D 正确.故选：ABD.131【解析】【分析】根据复数运算化简目标复数，再求其模长即可.【详解】答案第 8 页，共 16 页 因为242221 i1 i2ii1222，所以模为 1.故答案为：1.142202xy 【解析】【分析】对双曲线C的焦点位置进行分类讨论，确定a、b的等量关系，可得出双曲线C的标准方程.【详解】若双曲线C的焦点在x轴上，则22ba，此时222ab，则双曲线的方程为222221xybb，此时双曲线C的方程可表示为2202xy；若双曲线C的焦点在y轴上，则22ab，此时222ba，则双曲线的方程为222212yxaa，此时双曲线C的方程可表示为2202xy.综
21、上所述，双曲线C的方程可表示为2202xy.故答案为：2202xy（可以取具体的数值）.152【解析】【分析】先求得圆台的母线长，然后根据圆台的侧面积公式列方程，化简求得2221rr.【详解】圆台的侧面展开图是半圆面所在的扇环，所以圆台的母线长为21212222rrrr，圆台的侧面积为221221212222242rrrrrr，所以22212rr.故答案为：2 1636 答案第 9 页，共 16 页【解析】【分析】在ABC中，利用正弦定理求出7sin25BAC，再求出cosBAC，cosACB，再利用两角和的正弦公式可求出sinABC，再利用正弦定理可求出AC，从而可求得答案【详解】如图，在A
22、BC中，200AB，70BC，53.2ACB，4sin5ACB，由正弦定理，sin7sin25BCACBBACAB，ABBC，ACBBAC，故BAC为锐角，2724cos12525BAC，243cos155ACB 42437117sinsin525525125ABCACBBAC，所以sin1175200234sin1254ABABCACACB，故00002007023436 mmA AA BB CAC.故曲柄0CB按顺时针方向旋转53 2.时活塞移动的距离约为 36mm.故答案为：36 17(1)45(2)甲小组参加决赛更好【解析】【分析】（1）甲小组至少答对 2 道题目可分为答对 2 题或者
23、答对 3 题，分别求出其概率，然后由互斥事件的概率加法公式可得答案.（2）甲小组抽取的 3 题中正确回答的题数为 X，则 X 的取值分别为 1，2，3,求出 X的期望和方差，设乙小组抽取的三题中正确回答的题数为 Y，则23,3YB，求出求出 Y 的期望答案第 10 页，共 16 页 和方差，比较得出答案.(1)甲小组至少答对 2 道题目可分为答对 2 题或者答对 3 题；214236C C325CP X，304236C C13C5P X 所求概率3142555P X (2)甲小组抽取的 3 题中正确回答的题数为 X，则 X 的取值分别为 1，2，3.124236C C11C5P X，结合（1）
24、可知 1311232555E X ，22213121222325555D X.设乙小组抽取的三题中正确回答的题数为 Y，则23,3YB，2323E Y ，22231333D Y 由 E XE Y，D XD Y可得，甲小组参加决赛更好.18(1)证明见解析(2)34【解析】【分析】（1）依题意利用二倍角公式及两角和差的余弦公式得到2sinsinsinBAC，再由正弦定理将角化边即可；（2）依题意D是边AC的中点，则12BDBABC，根据向量数量积的运算律及余弦定理得到22252acb，最后由余弦定理计算可得；(1)证明：因为1 cos2coscosBACB 所以22sincoscosBACAC，
25、答案第 11 页，共 16 页 所以22sincoscossinsincoscossinsinBACACACAC 所以2sinsinsinBAC，结合正弦定理2sinsinsinabcRABC，可得2bac，命题得证.(2)解：由题意ADDC知，点D是边AC的中点，则12BDBABC 两边平方整理得22242BDBABCBA BC，即22242cosbcaacABC 根据余弦定理2222cosbcaacABC 两式相加得22252acb，再由余弦定理222222532cos224bbacbABCacb 19(1)21nnann (2)3055【解析】【分析】(1)根据21122(1),1,8n
26、nnbanabab 求出1b和2b，根据等差数列定义即可求出nb，从而求出 na通项公式；(2)分 n为奇数和偶数时讨论数列 na的前n项和为nT，由110nT 即可求出 A.(1)由 21nnnban，故 21nnnabn，可得111ab，224ab，又111ab，228ab，11b，22b，数列 nb是等差数列，数列 nb的公差211dbb，答案第 12 页，共 16 页 nbn，21nnann；(2)由(1)得 21nnann，10a，222212221210nnaannnn，可得2112322210000nnnTaaaaa，n为奇数时0nT，故 1，3，5，.109 都是集合 A中的元
27、素，又22212022212nnnnTTannn，n为偶数时1nTn n，由1110n n得10n，2，4，6，8，10，是集合 A中的元素，1 1091 31092468 10553030253030552T .20(1)证明见解析(2)155【解析】【分析】（1）通过证明AF 面 BCDE，来证得AFCD；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法来求得平面 AFC与平面 ADE的夹角的余弦值.(1)连接 EC，则ABEBCECDE 都是正三角形，四边形 ABCE 是菱形，所以AFBE，CFBE，又因为面ABE 面 BCDE，面ABE面BCDEBE，AF 面 ABE，所以AF 面 BCDE，又因
28、为CD 面 BCDE，所以AFCD；(2)由（1）知 FBFCFA 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，1,0,0E，2,3,0D，0 03A,，1,3,0ED ，1,0,3EA，答案第 13 页，共 16 页 设平面 ADE 的法向量为,mx y z，3030ED mxyEA mxz ，令3x，3,1,1m，平面 AFC的法向量为1,0,0n，设平面 AFC 与平面 ADE的夹角的大小为，315cos55 1m nmn，所以平面 AFC与平面 ADE 的夹角的余弦值为155.21(1)22143xy(2)3 34【解析】【分析】（1）根据抛物线角点可得椭圆半焦距，结合离心率可解；（2）由
29、题可知110QFRFkk，设直线方程，联立椭圆方程消元，利用韦达定理、弦长公式和点到直线的距离公式表示出面积，化简，由基本不等式可得.(1)由题意可得，抛物线的焦点为1,0，所以椭圆的半焦距1c，又椭圆的离心率12cea，所以2a，则2224 13bac，即3b，答案第 14 页，共 16 页 所以椭圆2C的方程为22143xy.(2)设11,Q x y，22,R x y，11,0F，1PFQ与1PFR互补，110QFRFkk，所以1212011yyxx，化简整理得1222110 x yyx yy，设直线 PQ为0 xmyn m，联立直线与椭圆方程22143xmynxy 化简整理可得22234
30、63120mymnyn，222224364 343120bacm nmn，可得2234nm，由韦达定理，可得122634mnyym，212231234nyym，将11xmyn，22xmyn代入，可得1212210my ynyy，再将代入，可得22264613434m nmn nmm，解得4n ，PQ 的方程为4xmy，且由可得，23416m，即24m，由点11,0F 到直线 PQ 的距离221 1 04311dmm ，122212122221134141822134FQRmSQR dmyyy ymm 令24mt，0t，则121818163163FQRtSttt 183 342 3 16，当且仅
31、当163tt时，2 213m 等号成立，答案第 15 页，共 16 页 所以1FQR面积 S 最大值为3 34.22(1)函数 f x在R上单调递增；(2)1,.【解析】【分析】（1）求得 fx，再求二阶导数，根据二阶导数的正负判断 fx的单调性，从而求得其正负，即可判断原函数的单调性；（2）根据（1）中所求，对 fx进行适度放缩，对参数m与1的大小关系进行分类讨论，利用导数研究函数单调性和最值，即可证明.(1)当0m 时，21e12xf xx，则 exfxx 令 g xfx，则 e1xgx 因为0 x 时，0gx；0 x 时，0gx 所以函数 g x在区间,0单调递减，在0,单调递增 所以
32、010fxg xg，所以函数 f x在 R 上单调递增.(2)因为 0 xf x 对,2 2x 恒成立，且 0010ef 所以当0,2x时，有 0f x；当,02x 时，有 0f x 由（1）知e1xx，所以 ecos1cosxfxmxxmx 由,2 2x ，得cos0,1x 当1m 时，1cos1 cos0fxmxx ，所以函数 f x在,2 2 单调递增 答案第 16 页，共 16 页 所以当0,2x时，00f xf；当,02x 时，00f xf 所以当1m 时，0 xf x 对,2 2x 恒成立.当1m 时，令 h xfx，则 esin1xh xmx 令 m xh x，则 ecosxm
33、xmx 因为,2 2x ，有cos0,1x，所以 ecose0 xxm xmx 所以函数 h x在区间,2 2 单调递增，且有 00e10h 所以当,02x 时，0h x；当0,2x时，0h x 所以函数 fx在,02单调递减，在0,2单调递增 因为 010fm，2e022f 所以存在0,02x 使得 00fx，且0,0 xx时，0fx 所以函数 f x在区间0,0 x上单调递减，即 000f xf，则有 000 x f x与条件 0 xf x 矛盾，即1m 不合题意.综上，可得实数 m 的取值范围是1,.【点睛】本题考察利用导数判断函数单调性，以及利用导数由恒成立问题求参数范围的问题；其中解决第二问的关键是利用第一问中的结论e1xx对导数进行放缩，同时利用零点存在定理找到当1m 时的矛盾点0 x，也是重中之重，属综合困难题.